专题04 任意角的正弦、余弦、正切、余切（3大考点+4种题型）-【寒假自学课】2024年高一数学寒假提升学与练（沪教版2020）

学科网（北京）股份有限公司 专题04 任意角的正弦、余弦、正切、余切（3大考点+4种题型） 思维导图 核心考点聚焦 考点一、任意角的正弦、余弦、正切、余切 考点二、单位圆 考点三、同角三角关系 考点一、任意角的正弦、余弦、正切、余切 1. 任意角的正弦、余弦、正切、余切 我们将锐角置于平面直角坐标系中，锐角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，那么它的终边在第一象限. 在角的终边上任取异于原点的一点，则点与原点的距离为 过P作x轴的垂线垂足为M，则线段OM的长度为x，线段MP的长度为y. 锐角的正弦、余弦、正切及余切的定义 ，， ，. 这说明锐角的正弦、余弦、正切及余切可以用角的终边上点的坐标来定义. 这样，就可以对任意给定的角，定义其相应的正弦、余弦、正切及余切. 在任意角的终边上任取异于原点的一点，设其坐标为，并令，必有. 这样，就可以分别定义角的正弦、余弦、正切及余切为 ， ， （），（）. 【注意】当（），即角的终边位于轴上，无意义；而当（），即角的终边位于轴上时，无意义. 2. 任意角的正弦、余弦、正切、余切的符号 【注意】任意角的正弦、余弦、正切、余切的符号：一全二正弦，三切四余弦 考点二、单位圆 根据定义，角的正弦、余弦、正切及余弦值仅与角的大小有关，而与角的终边上的点的位置无关，因此我们可以用角的终边上到原点距离为1（）的点来确定角的正弦、余弦、正切及余切值. 半径为1个单位的圆称为单位圆. 本章中，如无特别说明，单位圆通常指在平面直角坐标系中以坐标原点为圆心，以1为半径的圆. 设角的终边与单位圆的交于唯一的一点，则根据定义可知， ，. 因此，单位圆上点的坐标必可以写为（）. 考点三、同角三角关系 设角的终边经过异于原点的一点，并记. 由定义，有，，（），（）. 由，就有 . 当时，有 . 当时，有 . 当、都有意义时，有 . 【注意】（1）“同角”的概念与角的表达形式无关，如：，. （2）利用“平方关系”公式，最终需求平方根，会出现两解，应尽可能少用，若使用时，要注意讨论符号. 题型一：正弦、余弦、正切、余切的求解 【例1】（1）（2021春•宝山区校级试题）角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的正半轴重合，其终边上有一点，则　 　． （2）（2021春•徐汇区校级试题）若角的始边落在轴正半轴，终边落在直线上，则　 　． （3）（2021春•徐汇区试题）已知角的终边上的一点，，则　 　． 【变式1】（2021春•浦东新区校级试题）★☆☆☆☆ 已知点在角的终边上，且，则　 　. 【变式2】（2021春•金山区校级试题） 已知角的终边经过点，，则　　 ． 【变式3】（2020秋•徐汇区校级试题）★☆☆☆☆ 若角终边过点，且，则等于　　． 题型二：正弦、余弦、正切、余切的符号 【例2】（2021春•虹口区校级试题）已知点在第四象限，则角是第　 　象限角． 【变式1】已知是第三象限的角，则的符号是　 　号（填正或负）. 【变式2】已知，则角所在的象限为　 　． 【变式3】函数的值域是　 　． 题型三：单位圆 【例3】求的正弦、余弦和正切值. 【变式】、若角α的终边与单位圆相交于点，则sin α的值为 题型四：同角三角函数 【例4】已知，且为第二象限的角，求，及. 【变式1】已知，求、及. 【变式2】已知，求下列各式的值：（1）； （2）. 一、填空题 1、如果角α的终边过点P(2sin30°，－2cos30°)，则sinα的值等于 2、设角α的终边上有一点P(4，－3)，则2sin α＋cos α的值是 3、已知P(－2，y)是角α终边上一点，且sin α＝－，则cos α＝________ 4、当α为第四象限时，－的值是____________． 5、若三角形的两内角α，β满足sin α·cos β<0，则此三角形必为 三角形。 6、已知角α的终边上有一点P，则sinα＋cosα＝________. 7、若sin α<0，tan α>0，则α在第__________象限． 8、若角α的终边上有一点P(－4，a)，且sin α·cos α＝，则a＝________. 9、若sinα=，且α为第四象限角，则tanα的值等于 10、若，则的值是 11、已知sin α＋