专题05诱导公式（6种题型）-【寒假自学课】2024年高一数学寒假提升学与练（沪教版2020）

学科网（北京）股份有限公司 专题05诱导公式（6种题型） 思维导图 核心考点聚焦 题型一：给角求值问题 题型二：给值(式)求值问题 题型三：利用诱导公式化简问题 题型四：利用诱导公式化简求值 题型五：利用诱导公式证明恒等式 题型六：诱导公式的综合应用 （），，，这些角都与角有特殊的关系. 已知角的正弦、余弦、正切及余切值，能够快速求出上述这些角的正弦、余弦、正切及余切值？这就是诱导公式要解决的问题. 由于角（）的终边与角的终边重合，因此由定义有如下诱导公式： ， ， ， （）. 由这组诱导公式，求任意角的正弦、余弦、正切及余切值可以转化为求范围内一个角的相应值. 角的终边与角的终边关于周对称，角的终边与单位圆交于点，而角的终边与单位圆交于点. 由于点与点关于轴对称，其横坐标相等，而纵坐标互为相反数，因此有如下诱导公式： ， ， ， . 由这组诱导公式，求负角的正弦、余弦、正切及余切值可以转化为求正角的相应值. 将角的终边绕着原点按逆时针方向旋转弧度，得到角的终边，这说明角和角的终边在同一条直线上，但方向相反. 角的终边与单位圆交于点. 由于点与点关于原点对称，其横坐标和纵坐标都互为相反数，因此有如下诱导公式： ， ， ， . 由这组诱导公式，求范围内的角的正弦、余弦、正切及余切值可以转化到范围内一个角的相应值. 角的终边与角的终边关于轴对称，角的终边与单位圆交于点，而角的终边与单位圆交于点. 由于点与点关于轴对称，其横坐标互为相反数，而纵坐标互相等，因此有如下诱导公式： ， ， ， . 由这组诱导公式，求范围内的角的正弦、余弦、正切及余切值可以转化到范围内一个角的相应值. 以上四组诱导公式说明，（），，的正弦、余弦、正切及余切值的绝对值等于角的相应量的绝对值【名称不变】，但这两个值之间可能差一个正负号. 由于诱导公式较多，记忆其中的正负号并不容易，但有一个简单的方法可以加以判断，即：当为锐角时，等式两边必须同正或同负. 例如，的绝对值应该与的绝对值相等，即成立. 但当为锐角时，是第二象限的角【符号看象限】，这时，而，所以前式中应该取负号，即有. 角的终边与角关于直线对称，角的终边与单位圆交于点，而角的终边与单位圆交于点. 由于点与点关于直线对称，则点的横坐标与点的纵坐标相等，而点的纵坐标与点的横坐标相等，因此有如下诱导公式： ， ， ， . 在以上公式中将用代换，就有. 同理，有如下诱导公式： ， ， ， . 上述两组诱导公式说明正弦和余弦可以相互转化，正切和余切也可以相互转化. 以上两组诱导公式说明角的正（余）弦、正（余）切值的绝对值，必等于角的余（正）弦、余（正）切值的绝对值【名称改变】，但这两者可能差一个正负号. 这个正负号的确定方法是：当角为锐角时，等式两边必须同正或同负. 例如，的绝对值应该同的绝对值相等，即成立. 但当为锐角时，是第二象限的角【符号看象限】，这时，而，所以前式中应该取负号，即有. 奇变偶不变，符号看象限. 例如，及都是的奇数倍，如果等式左边是，的正弦、余弦、正切、余切之一，那么等式右边相应的必定是的余弦、正弦、余切、正切，这就是“奇变”；而（）、、都是的偶数倍，等式两边的正弦、余弦、正切及余切的名称就应该相同，这就是“偶不变”. 等式右边角正弦、余弦、正切及余切前的符号可以将视为锐角（实际上此时可以为任意角），由等式左边的角所在的象限的正弦、余弦、正切及余切值的符号来确定，即“符号看象限”. 题型一：给角求值问题 【例1】　求下列各三角函数值： (1)sin 1 320°；(2)cos；(3)tan(－945°)． 【变式】计算：(1)cos＋cos＋cos＋cos； (2)tan 10°＋tan 170°＋sin 1 866°－sin(－606°)． 题型二：给值(式)求值问题 【例2】　(1)已知sin(α－360°)－cos(180°－α)＝m，则sin(180°＋α)·cos(180°－α)等于(　　) A.　　　　　 B. C. D．－ (2)已知cos(α－75°)＝－，且α为第四象限角，求sin(105°＋α)的值． 题型三：利用诱导公式化简问题 【例3】　设k为整数，化简： . 【变式】．化简：(1)； (2). 题型四：利用诱导公式化简求值 【例4】　(1)已知cos 31°＝m，则sin 239°tan 149°的值是(　　) A.　　 B. C．－ D．－ (2)已知sin＝，则cos的值为________． 题型五：利用诱导公式证明恒等式 【例5】　(1)求证： ＝. (2)求证：＝－tan θ. 【变式】．求证：＝－1. 题