专题07两角和与差的余弦、正弦和正切公式（4大考点+8种题型）-【寒假自学课】2024年高一数学寒假提升学与练（沪教版2020）

学科网（北京）股份有限公司 专题07 两角和与差的余弦、正弦和正切公式（4大考点+8种题型） 思维导图 核心考点聚焦 考点一、两角和与差的余弦 考点二、两角和与差的正弦 考点三、两角和与差的正切 考点四、辅助角公式 题型一：给角求值问题 题型二：给值(式)求值问题 题型三：给值求角问题 题型四：三角恒等式的证明 题型五：辅助角公式的应用 题型六：两角和与差的正切公式的正用 题型七：两角和与差的正切公式的逆用 题型八：两角和与差的正切公式的变形运用 考点一、两角和与差的余弦 设、为任意给定的两个角，把它们的定点置于平面直接坐标系的原点，始边与轴的正半轴重合，而它们的终边分别于单位圆交于、两点. 点、的坐标分别为、. 下面考虑角的余弦. 为此把角、的终边及都绕原点旋转角，它们分别交单位圆于点及. 由于都转动了角，因此也可以是一个以射线为始边、以射线为终边的角，而点的坐标是，点的坐标是. 根据两点间的距离公式，在左图中，有 在右图中，有 因为将射线、同时绕原点旋转角，就分别得到射线、，所以， 从而得到，即. 这个式子对任意给定的角和都成立，称为两角差的余弦公式. 在两角差的余弦公式中，用代换，就可得到两角和的余弦公式： . 这样，我们就得到两角和与差的余弦公式 ， . 简记作 . 考点二、两角和与差的正弦 根据两角差的余弦公式和诱导公式，就可以得到两角和的正弦公式. 事实上， 将上式中的用代换，就可以得到两角差的正弦公式 . 这样，我们得到两角和与差的正弦公式 ， . 简记作 . 考点三、两角和与差的正切 根据两角和的正弦、余弦公式，就可以得到两角和的正切公式. 事实上， . 将上式中的用代换，就得到两角差的正切公式 . 这样，我们得到两角和与差的正切公式 ， . 简记作 . 考点四、辅助角公式 . 注意到为单位圆上的一点，由正弦及余弦的定义，存在唯一的角，使得 ，， 于是有 . 此公式我们称之为辅助角公式. 题型一：给角求值问题 【例1】　(1)cos的值为(　　) A.　　 B. C. D．－] (2)求下列各式的值： ①cos 75°cos 15°－sin 75°sin 195°； ②sin 46°cos 14°＋sin 44°cos 76°； ③cos 15°＋sin 15°. 【变式1】．化简下列各式： (1)cos(θ＋21°)cos(θ－24°)＋sin(θ＋21°)sin(θ－24°)； (2)－sin 167°·sin 223°＋sin 257°·sin 313°. 【变式2】(1)cos 70°sin 50°－cos 200°sin 40°的值为(　　) A．－　　　B．－　　　C.　　　D. (2)若θ是第二象限角且sin θ＝，则cos(θ＋60°)＝________. (3)求值：(tan 10°－). 【变式3】．化简求值： (1)； (2)sin(θ＋75°)＋cos(θ＋45°)－cos(θ＋15°)． 题型二：给值(式)求值问题 【例2】　(1)已知sin α－sin β＝1－，cos α－cos β＝，则cos(α－β)＝(　　) A．－　　　B．－ C.　　　D. (2)已知sin＝，α∈，求cos α的值． 【变式】已知锐角α，β满足cos α＝，sin(α－β)＝－，求sin β的值． 题型三：给值求角问题 【例3】　已知sin(π－α)＝，cos(α－β)＝，0＜β＜α＜，求角β的大小． 【变式1】．已知α，β均为锐角，且cos α＝，cos β＝，求α－β的值． 【变式2】(1)已知P，Q是圆心在坐标原点O的单位圆上的两点，且分别位于第一象限和第四象限，点P的横坐标为，点Q的横坐标为，则cos∠POQ＝________. (2)已知cos α＝，sin(α－β)＝，且α，β∈.求：①cos(2α－β)的值；②β的值． 题型四：三角恒等式的证明 【例4】求证：。 题型五：辅助角公式的应用 【例5】　(1)sin－cos＝________. (2)已知f(x)＝sin x－cos x，求函数f(x)的周期，值域，单调递增区间． 题型六：两角和与差的正切公式的正用 【例6】　(1)已知α，β均为锐角，tan α＝，tan β＝，则α＋β＝________. (2)如图，在△ABC中，AD⊥BC，D为垂足，AD在△ABC的外部，且BD∶CD∶AD＝2∶3∶6，则tan∠BAC＝________. 【变式】．(1)已知tanα－＝，则tan α＝________. (2)已知角α，β均为锐角，且cos α＝，tan(α－β)＝－，则tan β＝________. 题型七：两角和