专题11 二元二次方程组的、列方程（组）解应用题（5大考点+5种题型）-【寒假自学课】2024年八年级数学寒假提升学与练（沪教版）

学科网（北京）股份有限公司 专题11 二元二次方程组的、列方程（组）解应用题（5大考点+5种题型） 思维导图 核心考点与题型分类聚焦 考点一：二元二次方程 考点二：二元二次方程组 考点三：二元二次方程组的解法 考点四：一元二次方程的应用 考点五：分式方程的应用 考点一：二元二次方程 考点二：二元二次方程组 考点三：二元二次方程组的解法 (1)解二元二次方程组的基本思想：是消元和降次. (2)题型一：解方程组即方程组由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组. 方法：代入消元法； 一般步骤：①将方程组中二元一次方程的一个未知数用另一个未知数的代数式表示；②将这个未知数所表示的代数式代入二元二次方程中，得到关于另一个未知数的一元二次方程；③解这个一元二次方程；④将求得的两个解分别代入二元一次方程，求相应的另一个未知数的值；⑤把相应的两组解写出来，即是原方程组的解. (3)题型二：解方程组（其中一个方程可以分解为两个一次因式积等于零的形式） 方法：因式分解法； 解法：把原方程组化为两个分别由一个二元一次方程和一个二元二次方程所组成的方程组，然后分别求解. 考点四：一元二次方程的应用 1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答． 2、列一元二次方程解应用题中常见问题： （1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a． （2）增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2＝后来数． （3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程． （4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解． 【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀” 1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系． 2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数． 3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程． 4．解：准确求出方程的解． 5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题． 6．答：写出答案． 考点五：分式方程的应用 1、列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答． 必须严格按照这5步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答叙述要完整，要写出单位等． 2、要掌握常见问题中的基本关系，如行程问题：速度＝路程时间；工作量问题：工作效率＝工作量工作时间等等． 列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能力． 题型一：二元二次方程 【例1】．（2022秋·上海·八年级校考阶段练习）写出一个二元二次方程_______________，使得该方程有一个解是． 【变式1】．（2022秋·上海·八年级校考期中）二元二次方程可以化为两个一次方程，它们是______． 题型二：二元二次方程组 【例2】．（2022秋·上海·八年级校考阶段练习）下列方程组中是二元二次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】．（2022秋·上海浦东新·八年级校考期中）方程组的解的情况是（   　） A．有两组相同的实数解 B．有两组不同的实数解 C．没有实数解 D．不能确定 【变式2】．（2022春·上海静安·八年级新中初级中学校考期末）写出一个由二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组___________，使它的解是和． 【变式3】．（2022秋·上海浦东新·八年级校考期中）方程组的解只有一组，则的取值范围是______． 题型三：二元二次方程组的解法 【例3】．（2022秋·上海·八年级期中）解方程组. 【变式1】．（2022秋·上海奉贤·八年级校考期末）解方程组： 【变式2】．（2022秋·上海浦东新·八年级校考期中）解方程组：． 【变式3】．（2022秋·上海·八年级校考期中）解方程组： 【变式4】．（2022秋·上海闵行·八年级上海市民办文绮中学校考阶段练习）解方程组： 【变式5】．（2022秋·上海·八年级上海市市西初级中学校考期中）“程，课程也，二物者二程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程．”这是我国古代著名数学家刘徽在《九章算术》对方程一词给出的注释．对于一些特殊的方程，我们给出两个定义：①若两个方程有相同的一个解，则称这两个方程为“相似方程”：