2024年中考数学压轴题之二次函数相似三角形存在性问题（三）

2024年中考数学压轴题之二次函数相似三角形存在性问题（三） 1．如图，已知一次函数的图象经过，两点，且与轴交于点，二次函数的图象经过点，，连接． （1）求一次函数和二次函数的解析式． （2）求的正弦值． （3）在点右侧的轴上是否存在一点，使得与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 2．如图，一次函数与x轴，y轴分别交于A、C两点，二次函数的图象经过A、C两点，与x轴交于另一点B，其对称轴为直线． （1）求该二次函数表达式； （2）在y轴的正半轴上是否存在一点M，使以点M、O、B为顶点的三角形与相似，若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由； （3）在对称轴上是否存在点P，使为等腰三角形，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 3．如图1，平面直角坐标系中，抛物线过点，和，连接，点为抛物线上一动点，过点作轴交直线于点，交轴于点． （1）直接写出抛物线和直线的解析式； （2）如图2，连接，当为等腰三角形时，求的值； （3）当点在运动过程中，在轴上是否存在点，使得以，，为顶点的三角形与以，，为顶点的三角形相似（其中点与点相对应），若存在，直接写出点和点的坐标；若不存在，请说明理由． 4．抛物线交轴于两点（在的左边），交轴于点． （1）直接写出三点的坐标； （2）如图（1），作直线，分别交轴，线段，抛物线于三点，连接．若与相似，求的值； （3）如图（2），将抛物线平移得到抛物线，其顶点为原点．直线与抛物线交于两点，过的中点作直线（异于直线）交抛物线于两点，直线与直线交于点．问点是否在一条定直线上？若是，求该直线的解析式；若不是，请说明理由． 5．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且，，，抛物线的对称轴与直线BC交于点M，与x轴交于点N． （1）求抛物线的解析式； （2）若点P是对称轴上的一个动点，是否存在以P、C、M为顶点的三角形与相似？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由． （3）点Q是抛物线上位于x轴上方的一点，点R在x轴上，是否存在以点Q为直角顶点的等腰？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由． 6．如图，抛物线与 x 轴分别交于点 A、B，与 y 轴交于点 C， ，顶点 D ， 对称轴交 x 轴于点 Q． （1）求抛物线的解析式； （2）已知直线 与对称轴形成的夹角为 45°，动点M在对称轴上运动且位于点 D下方时，是否存在和相似？如果存在，求出点 M的坐标；如果不存在，请说明理由． 7．如图，抛物线经过点，点，交轴于点．连接，．为上的动点，过点作轴，交抛物线于点，交于点． （1）求这条抛物线的表达式； （2）过点作，垂足为点，设点的坐标为，请用含的代数式表示线段的长，并求出当为何值时有最大值，最大值是多少？ （3）点在运动过程中，是否存在这样的点，使得以，，为顶点的三角形与相似．若存在，请求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由． 8．如图，已知抛物线经过，，三点． （1）求该抛物线的解析式； （2）若P是直线右侧的抛物线上一动点，过点P作轴，垂足为M，是否存在点P，使得以A，P，M为顶点的三角形与相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由 9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴的正、负半轴分别交于点、，与轴交于点，已知，，：：4． （1）求该抛物线的表达式； （2）设该抛物线的对称轴分别与轴、交于点、，求的长； （3）在（2）的条件下，联结，如果点在该抛物线的对称轴上，当和相似时，求点的坐标． 10．如图1，平面直角坐标系中，抛物线交轴于，两点，交轴于点，点是线段上一个动点，过点作轴的垂线，交直线于点，交抛物线于点． （1）求抛物线的解析式； （2）当面积最大时，求点的坐标； （3）如图2，是否存在以点、、为顶点的三角形与相似，若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 11．综合与探究：如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C，连接.若在第四象限的抛物线上取一点M，过点M作轴于点D，交直线于点E. （1）求抛物线的表达式； （2）试探究抛物线上是否存在点M，使有最大值？若存在，求出点M的坐标和的最大值；若不存在，请说明理由； （3）连接 ，试探究是否存在点M，使得以M，C，E为顶点的三角形和相似？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由. 12．如图，已知二次函数的图象与x轴交于和两点，与y轴交于点，直线经过点A，且与y轴交于点D，与抛物线交于点E． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，点M在下方的抛物线上运动，求的面积最大值； （3）如图2，在y轴上是否存在点P，使得以D、E、P为顶点的三角形与相似，若存在，求出点P的坐标；若不存在，试说明理由． 13．如图，在平面直角坐标系中，矩形的边，，点A在x轴的