2024年中考数学压轴题之二次函数相似三角形存在性问题（一）

2024年中考数学压轴题之二次函数相似三角形存在性问题（一） 1．如图，的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，O为坐标原点，A、B两点的坐标分别为、，抛物线经过B点，且顶点在直线上. （1）求抛物线对应的函数关系式； （2）若是由沿x轴向右平移得到的，当四边形ABCD是菱形时，试判断点C和点D是否在该抛物线上，并说明理由； （3）在（2）的条件下，若点F与点D关于y轴对称，过点F作直线GF交抛物线于点H、M.点H在点M左侧，连接GD、DM、HD.设直线GF解析式为，是否存在实数k，使得与相似.若存在，请求出k值以及的面积，若不存在，请说明理由. 2．已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点在×轴上． （1）若抛物线过点P（0， ），求证：a=b2？； （2）已知点P1（-2，1），P2（2，-1），P3（2，1）中恰有两点在抛物线上 ①求抛物线的解析式； ②设直线l：y= x+1与抛物线交于A，B两点，点M在直线y=n（n<0）上，过A，B两点分别作直线y=n（n<0）的垂线，垂足为C，D．是否存在这样的n的值，使得以点A，C，M为顶点的三角形与△BDM相似的点M恰有两个？若存在，请直接写出n的值；若不存在，请说明理由． 3．在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A（－3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C． （1）求这个二次函数的解析式； （2）点Q是线段AC上方的抛物线上一动点，过点Q作QE垂直于x轴，垂足为E．是否存在点Q，使以点B、Q、E为顶点的三角形与相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由； （3）点M为抛物线上一动点，在x轴上是否存在点Q，使以A，C、M、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由． 4．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线 经过点 和点 ，交 轴于点 ． （1）求抛物线的解析式及顶点 的坐标； （2）点 是抛物线上 、 之间的一点，过点 作 轴于点 ， 轴，交抛物线于点 ，过点 作 轴于点 ，当矩形 的周长最大时，求点 的坐标； （3）如图2，连接 、 ，点 在线段 上（不与 、 重合），作直线 轴交抛物线于点 ，是否存在点 ，使得 与 相似？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由． 5．如图1，在平面直角坐标系中，直线 与抛物线 交于 两点，其中 ， .该抛物线与y轴交于点C，与x轴交于另一点D. （1）求 的值及该抛物线的解析式； （2）如图2.若点P为线段 上的一动点(不与 重合).分别以 、 为斜边，在直线 的同侧作等腰直角△ 和等腰直角△ ，连接 ，试确定△ 面积最大时P点的坐标. （3）如图3.连接 、 ，在线段 上是否存在点Q，使得以 为顶点的三角形与△ 相似，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由. 6．如图，抛物线 与直线 分别交于A、B两点，且此抛物线与x轴的一个交点为C,连接AC,BC.已知A(0,3),C(-3,0) （1）求抛物线的解析式; （2）在抛物线对称轴l上找一点,使|MB-MC|的值最大,并求出这个最大值; （3）点P为y轴右侧抛物线上一动点,连接PA,过点P作PQ⊥PA,交y轴于点Q，问是否存在点P使得以A,P,Q为顶点的三角形与△ABC相似.若存在，求出所有符合条件的点P;若不存在，请说明理由。 7．如图，在平面直角坐标系 中，直线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 抛物线 的对称轴是直线 与 轴的交点为点 且经过点 两点． （1）求抛物线的解析式； （2）点 为抛物线对称轴上一动点，当 的值最小时，请你求出点 的坐标； （3）抛物线上是否存在点 ，过点 作 轴于点 使得以点 为顶点的三角形与 相似？若存在，请直接写出点 的坐标；若不存在，请说明理由． 8．如图，以D为顶点的抛物线 交x轴于点A， ，交y轴于点 . （1）求抛物线的解析式； （2）在直线BC上有一点P，使 的值最小，求点P的坐标； （3）在 轴上是否存在一点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形与 相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由. 9．如图，已知抛物线y＝ax2﹣2x+c经过△ABC的三个顶点，其中点A(0，1)，点B(9，10)，AC∥x轴． （1）求这条抛物线的解析式. （2）求tan∠ABC的值. （3）若点D为抛物线的顶点，点E是直线AC上一点，当△CDE与△ABC相似时，求点E的坐标． 10．如