预习08讲 平面向量的应用（精讲+精练）2024年高一数学寒假自学提升课（人教A版2019必修第二册）

2024年高一数学寒假自学精品课（人教A版2019必修第二册） 预习08讲 平面向量的应用（精讲+精练） ①用向量解决垂直问题 ②用向量解决线段长度问题 ③用向量解决夹角问题 ④平面向量在物理中的应用 一、平面几何中的向量方法 （1）向量在平面几何中的应用 ① 平面两个向量的数量积：； ② 向量平行的判定: ； ③向量平行与垂直的判定:； ④平面内两点间的距离公式： （其中，） ⑤模长：； ； ⑥对于题目中遇到的有些平面图形(如长方形、正方形、直角三角形等)的计算求解问题,可通过建立平面直角坐标系,用坐标把向量表示出来,通过代数运算来解决(“形”转“数”). （2）用向量解决平面几何问题的步骤 ①建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为向量问题； ②通过向量运算,研究几何元素之间的关系,如距离、夹角等问题； ③把运算结果“翻译”成几何关系. 二、向量在物理中的应用举例 向量的定义有着丰富的物理背景,物理学中的位移、力、速度等都是既有大小又有方向的量,力所做的功就是向量的数量积的物理背景,因此,向量可以解决一些物理问题归纳. （1）力学问题的向量处理方法 ①解决此类问题必须用向量知识将力学问题转化为数学问题,即将力学各量之间的关系抽象成数学模型,再利用建立的数学模型解析或回答相关物理现象； ②向量是既有大小又有方向的量,表示向量的有向线段可以有共同的起点,也可以没有共同的起点.力是既有大小,又有方向的量.用向量知识解决共点力的问题,往往需要把向量平移到同一作用点上. （2）速度、位移问题的向量处理方法 速度、加速度与位移的合成和分解,实质就是向量的加减运算,而运动的叠加也用到了向量的合成. ①向量在速度、加速度上的应用,实质是通过向量的线性运算解决物理问题,最后获得物理结果. ②用向量解决速度、加速度和位移等问题,用的知识主要是向量的加法、减法以及数乘,有时也可借助坐标来求解. （3）功、动量问题的向量处理方法 物理上力做功的实质是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积,它的实质是力与位移的数量积,即(为与的夹角).功是一个标量,它可正,也可负.动量实际上是数乘向量. 题型一：用向量解决垂直问题 策略方法 可用向量方法求解的平面几何中的一些问题 (1)证明线段平行或相等或点共线问题,可用向量共线定理. (2)证明线段平行或相等、判断平面几何图形的形状等,可用向量数乘运算、向量共线定理. (3)证明线段垂直问题可以转化为线段对应向量的数量积为0. 【题型精练】 一、单选题 1．已知的三个顶点分别是，，，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．斜三角形 D．等腰直角三角形 2．在△ABC中，若，则△ABC的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 二、填空题 3．在四边形中，，则四边形的形状是 . 三、解答题 4．设是所在平面内的一点，且，试判断是的垂心. 5．已知在中，点是边上靠近点的四等分点，点为中点，设与相交于点.    (1)请用、表示向量； (2)设和的夹角为，若，且，求证：. 6．在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，(且)，D为AB的中点，E为的重心，F为的外心． (1)求重心E的坐标； (2)用向量法证明：． 7．如图所示，若D是△ABC内的一点，且AB2-AC2=DB2-DC2，求证：AD⊥BC. 题型二：用向量解决线段长度问题 策略方法 (1)用向量法求长度的策略 ①利用图形特点选择基底,用公式求解. ②建立坐标系,确定相应向量的坐标a=(x,y),则 (2)用向量法解决平面几何问题的两种思想方法 ①基向量法:选取适当的基底(基底中的向量尽量已知模或夹角),将题中涉及的向量用基底表示,利用向量的运算法则、运算律或性质计算. ②坐标法:建立平面直角坐标系,实现向量的坐标化,将几何问题中的长度、垂直、平行等问题转化为代数运算. 【题型精练】 一、单选题 1．在中，点D是边的中点，，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．已知，，，，点D在边上且，则长度为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 3．在平行四边形中，，垂足为P，若，则 ． 4．已知两点分别是四边形的边的中点，且，，，，则线段的长为是 三、解答题 5．在中，角所对的边分别为，. (1)求角的值； (2)若，边上的中点为，求的长度. 6．如图，在中，. (1)求的长； (2)求的长. 题型三：用向量解决夹角问题 【题型精练】 一、单选题 1．在中，，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．不能确定 2．在中，，