专题04 平面向量的应用（10大题型）-2025年高一数学寒假精髓讲解与强化训练（人教A版）

专题04 平面向量的应用 【题型归纳目录】 题型一：向量在平面几何中的应用 题型二：向量在解析几何中的应用 题型三：向量在物理学的应用 题型四：余弦定理的应用 题型五：正弦定理的应用 题型六：利用正余弦定理判断三角形的形状 题型七：正余弦定理举例应用 题型八：面积与周长问题 题型九：解三角形范围与最值问题 题型十：三角形多解问题 【思维导图】 【知识点梳理】 知识点一：向量在平面几何中的应用 向量在平面几何中的应用主要有以下几个方面： （1）证明线段相等、平行，常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，有时用到向量减法的意义． （2）证明线段平行、三角形相似，判断两直线（或线段）是否平行，常运用向量平行（共线）的条件：（或）． （3）证明线段的垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形，判断两直线（线段）是否垂直等，常运用向量垂直的条件：（或）． （4）求与夹角相关的问题，往往利用向量的夹角公式． （5）向量的坐标法，对于有些平面几何问题，如长方形、正方形、直角三角形等，建立直角坐标系，把向量用坐标表示，通过代数运算解决几何问题． 知识点诠释： 用向量知识证明平面几何问题是向量应用的一个方面，解决这类题的关键是正确选择基底，表示出相关向量，这样平面图形的许多性质，如长度、夹角等都可以通过向量的线性运算及数量积表示出来，从而把几何问题转化成向量问题，再通过向量的运算法则运算就可以达到解决几何问题的目的了． 题型一：向量在平面几何中的应用 【典例1-1】在中，，，M是边上靠近A的一个三等分点，问：在线段上是否存在点，使得？ 【典例1-2】如图，在正方形中，P是对角线AC上一点，垂直于点E，垂直于点F．求证：．    【变式1-1】如图，在平行四边形中，、依次是对角线上的两个三等分点，设 . (1)请用 与 表示 ; (2)用向量方法证明：四边形是平行四边形. 【变式1-2】在平行四边形中，，，和交于点P． (1)若，求x的值； (2)求的值． 【变式1-3】如图，在中，已知边上的两条中线AM，BN相交于点.    (1)求AM的长度； (2)求∠MPB的正弦值. 知识点二：向量在解析几何中的应用 在平面直角坐标系中，有序实数对（x，y）既可以表示一个固定的点，又可以表示一个向量，使向量与解析几何有了密切的联系，特别是有关直线的平行、垂直问题，可以用向量方法解决． 常见解析几何问题及应对方法： （1）斜率相等问题：常用向量平行的性质． （2）垂直条件运用：转化为向量垂直，然后构造向量数量积为零的等式，最终转换出关于点的坐标的方程． （3）定比分点问题：转化为三点共线及向量共线的等式条件． （4）夹角问题：利用公式． 题型二：向量在解析几何中的应用 【典例2-1】在直角梯形中，，，，点是边上的中点. (1)若点满足，且，求的值； (2)若点是线段上的动点（含端点），求的取值范围. 【典例2-2】如图，AB为半圆O的直径，，C，D为（不含端点）上两个不同的动点.    (1)若C是上更靠近点B的三等分点，D是上更靠近点A的三等分点，用向量方法证明：且. (2)若与共线，求面积的最大值. 【变式2-1】已知矩形中，为中点，为边上的动点（不包括端点）. (1)求的最小值； (2)设线段与的交点为，求的最小值. 【变式2-2】已知中，,，是线段上一点，且，是线段上的一个动点. (1)若，求（用的式子表示）； (2)求的取值范围. 【变式2-3】已知四边形ABCD是边长为2的菱形，，P为平面ABCD内一点，AC与BP相交于点Q． (1)若，，求x，y的值； (2)求最小值． 知识点三：向量在物理中的应用 （1）利用向量知识来确定物理问题，应注意两方面：一方面是如何把物理问题转化成数学问题，即将物理问题抽象成数学模型；另一方面是如何利用建立起来的数学模型解释相关物理现象． （2）明确用向量研究物理问题的相关知识：①力、速度、位移都是向量；②力、速度、位移的合成与分解就是向量的加减法；③动量mv是数乘向量；④功即是力F与所产生位移s的数量积． （3）用向量方法解决物理问题的步骤：一是把物理问题中的相关量用向量表示；二是转化为向量问题的模型，通过向量运算解决问题；三是把结果还原为物理结论． 题型三：向量在物理学的应用 【典例3-1】如图，甲、乙分处河的两岸，欲拉船M逆流而上，需在正前方有的力．已知甲所用的力的大小为，且与M的前进方向的夹角为，求乙所用的力．    【典例3-2】已知两个力（单位：）与的夹角为，其中，某质点在这两个力的共同作用下，由点移动至点（单位：）． (1)求； (2)求与的合力对质点所做的功． 【变式3-1】已知质点受到三个力、、的作用，若它们的大小分别为，，，且三个力之间的夹角都为120°，求合力的大小和合力与所成角的大小. 【变式3-2】（1）如图，用两根绳子把重10N 的物体W吊在水平杆子上，，，求和处所受力的大小.（忽略绳子重量） （2）一个物体在一个平面内受到、、三个力的作用，沿合力方向移动了10米，求合力做的位移和功.其中，方向为北偏东；，方向为北偏东；，方向为北偏西. 知识点四、余弦定理 三角形任意一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．即： 余弦定理的变形公式： 知识点五、利用余弦定理解三角形 利用余弦定理可以解决下列两类三角形的问题： ①已知三角形的两条边及夹角，求第三条边及其他两个角； ②已知三角形的三条边，求其三个角． 知识点诠释：在余弦定理中，每一个等式均含有四个量，利用方程的观点，可以知三求一． 题型四：余弦定理的应用 【典例4-1】在中，已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【典例4-2】的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．若，，，则（   ） A． B． C．4 D．3 【变式4-1】在中，已知，，三边分别对应，，三角，，，，则（    ） A．3 B． C． D． 【变式4-2】在中，，则（    ） A． B． C． D．3 【变式4-3】在△ABC中，若，，，则边上的高为（    ） A．1 B． C． D．2 知识点六、正弦定理 正弦定理：在一个三角形中各边和它所对角的正弦比相等，即： 知识点诠释： （1）正弦定理适合于任何三角形； （2）可以证明（为的外接圆半径）； （3）每个等式可视为一个方程：知三求一． （4）利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题： ①已知两个角及任意—边，求其他两边和另一角； ②已知两边和其中—边的对角，求其他两个角及另一边． 题型五：正弦定理的应用 【典例5-1】中，角所对的边分别为，若，则（   ） A． B． C． D．或 【典例5-2】在中，角，，的对边分别为，，，若，，，则（   ） A．或 B． C． D．3 【变式5-1】在中，若，则角（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】在中，已知，，，则（    ） A．或 B． C． D．或 【变式5-3】在中，角A，B，C所对的边分别为，，，若，，，则（    ） A． B．1 C． D． 知识点七、解三角形的概念 一般地，我们把三角形的各内角以及它们所对的边叫做三角形的几何元素．任何一个三角形都有六个元素：三边、和三角． 在三角形中，由已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形． 有了关于解三角形的有关定理（如勾股定理、三角形的内角和定理、正弦定理，还有即将学习的余弦定理等），三角学特别是测量学得到了一次飞跃，它可以由已知的三角形的边和角来推断未知的边和角． 利用正、余弦定理解三角形 已知两边和一边的对角或已知两角及一边时，通常选择正弦定理来解三角形；已知两边及夹角或已知三边时，通常选择余弦定理来解三角形．特别是求角时尽量用余弦定理来求，尽量避免分类讨论． 在中，已知和A时，解的情况主要有以下几类： ①若A为锐角时： 一解 一解 两解 无解 ② 若A为直角或钝角时： 知识点八、三角形的形状的判定 1、特殊三角形的判定： （1）直角三角形 勾股定理：， 互余关系：，，； （2）等腰三角形 ，； 2、用余弦定理判定三角形的形状（最大角的余弦值的符号） （1）在中，； （2）在中，； （3）在中，； 题型六：利用正余弦定理判断三角形的形状 【典例6-1】在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，则为（    ）. A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【典例6-2】在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，，，则该三角形的形状是（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【变式6-1】在中，已知，则的形状为（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰或直角三角形 D．等边三角形 【变式6-2】在中，角所对的边分别是，若，则是（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【变式6-3】在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的形状是（    ）三角形 A．等腰 B．直角 C．等腰直角 D．等腰或直角 【变式6-4】在中，若，则此三角形为（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰或直角三角形 知识点九、解三角形应用题 1、解三角形在实际中应用非常广泛，如测量、航海、几何、物理等方面都要用到解三角形的知识，解题时应认真分析题意，并做到算法简练，算式工整，计算正确．其解题的一般步骤是： （1）准确理解题意，尤其要理解应用题中的有关名词和术语；明确已知和所求，理清量与量之间的关系； （2）根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出，将实际问题抽象成解三角形模型； （3） 分析与所研究的问题有关的一个或几个三角形，正确运用正弦定理和余弦定理，有顺序的求解； （4）将三角形的解还原为实际问题，注意实际问题中的单位及近似计算要求，回答实际问题． 2、解三角形应用题的基本思路 实际问题画图数学问题解三角形数学问题的解检验实际问题的解 题型七：正余弦定理举例应用 【典例7-1】如图，为测量山高，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点．从A点测得M点的仰角，C点的仰角以及；从C点测得，已知山高，则山高 m． 【典例7-2】龙爪塔位于通川区朝阳寺内， 龙爪塔据传因崖壁有石纹，下临深潭，影似龙爪而得名.龙爪塔相传由鲁班修建，据文物部门考证，该塔建于唐朝年间，乾隆十二（1747）年增刻本《达州志·舆地图》已绘有龙爪山图，先后经嘉庆十八（1813）年和光绪十四（1888）年两次补修.1987年11月按原貌对塔进行了维修，1989年对游人开放.为了测量塔的高度AB，选取与塔底B在同一水平面的两个基点C与D，现测得米，在C点测得塔顶的仰角，则塔的高度为 （参考数据） 【变式7-1】如图，某货轮在A处看灯塔B在货轮的北偏东，距离为海里，货轮由A处向正北航行到D处时，再看灯塔B在北偏东，则A与D间的距离为 海里． 【变式7-2】一艘游轮航行到处时看灯塔在的北偏东，距离为海里，灯塔在的北偏西，距离为海里，该游轮由沿正北方向继续航行到处时再看灯塔在其南偏东方向，则此时灯塔位于游轮的 方向用方向角作答 题型八：面积与周长问题 【典例8-1】在中，角所对的边分别为，已知，. (1)若，求的值； (2)若的面积，求和的值. 【典例8-2】记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)求角B的值； (2)若D为AC的中点，且，，求的面积. 【变式8-1】设锐角的内角的对边分别为， (1)求角； (2)若边，面积为，求的周长． 【变式8-2】已知内角，，的对边分别为，，，且满足. (1)求； (2)若，，求的周长. 【变式8-3】已知的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，的面积为，. (1)求的值； (2)若，求的周长. 题型九：解三角形范围与最值问题 【典例9-1】已知的内角的对边分别为，若． (1)求角C的大小； (2)若的面积为，求的最小值． 【典例9-2】在中，内角的对边分别为，且. (1)求角的大小； (2)点是上的一点，，且，求周长的最小值. 【变式9-1】在中，角所对的边分别为，已知． (1)求； (2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围． 【变式9-2】在中，角，，的对边分别为，，，且满足. (1)求； (2)若，求面积的最大值. 【变式9-3】在中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，若. (1)求角； (2)若点M在边上BC满足，且，求面积的最大值. 【变式9-4】在中，角，，的对边分别为，，，，． (1)求角； (2)若是线段的中点，且，求； (3)若为锐角三角形，求的周长的取值范围． 题型十：三角形多解问题 【典例10-1】在中，，，，若满足条件的有2个，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【典例10-2】在中，已知，则此三角形的解的情况是（   ） A．有一解 B．有两解 C．无解 D．有解但解的个数不确定 【变式10-1】在中，，，分别为，，的对边，给出下列四个条件： ①，， ；         ②，，； ③，，；  ④，，． 能判断三角形存在且有唯一解的是（    ） A．①④ B．②③ C．①②③ D．②③④ 【变式10-2】如果满足，， 的有且只有一个，那么实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式10-3】的内角，，所对的边分别为，，，已知，，若三角形有唯一解，则整数构成的集合为（    ） A． B． C． D． 【强化训练】 1．的内角，，的对边分别为，，，的面积为，且，，则边（   ） A． B． C． D． 2．在中，，是边中点，线段长为，，是边上一点，是的角平分线，则的长为（    ） A． B． C．2 D． 3．一艘渔船航行到处时看灯塔在的南偏东，距离为海里，灯塔在的北偏东，距离为海里，该渔船由沿正东方向继续航行到处时再看灯塔在其南偏西方向，则此时灯塔位于渔船的（    ） A．南偏东方向 B．南偏西方向 C．北偏西方向 D．北偏西方向 4．在中，，则的长为（    ） A． B．4 C． D．5 5．已知空间向量，，，，则（    ） A． B． C． D． 6．已知，，是的内角，，的对边．已知中，，则面积的最大值为（ ） A． B． C． D． 7．（多选题）在中，角、、所对的边分别为、、，，，若满足条件的三角形有且只有一个，则边的长可以是（     ） A． B． C． D．4 8．（多选题）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列结论正确的是（    ） A．若，，，则有两解 B．若，则是钝角三角形 C．若为锐角三角形，则 D．若，则为等腰三角形 9．（多选题）在中，角所对的边分别为，若，且，则下列结论一定成立的是（    ） A． B．的面积为 C．的周长为 D．外接圆半径为 10．（多选题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则（    ） A． B．的周长为 C． D．外接圆的面积为 11．在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，，，则外接圆的面积是 . 12．如图，为方便市民游览市区中心附近的“网红桥”，现准备在河岸一侧建造一个观景台P，已知AB，AC为夹角为的公路长度均超过5千米，在两条公路AB，AC上设立游客上、下点M，N，从观景台P到M，N建造两条观光线路PM，PN，测得千米，千米.若，则两条观光线路PM与PN之和的最大值为 千米. 13．在中，，为的中点，，为上一点，且，则 ． 14．在中，，，，角B的平分线交AC于点D，则 . 15．设三角形的内角的对边分别为且. (1)求角的大小； (2)若边上的高为，求三角形的周长. 16．在中，，，分别为内角所对的边，且满足． (1)求； (2)若，求周长的最大值． 17．记的内角的对边分别为，已知. (1)求的值； (2)若的面积为，求； (3)若，当角最大时，求的面积 18．在中，内角、、的对边分别为、、，且. (1)求的值； (2)若是锐角三角形，，求的取值范围. 19．在中，角的对边分别为，已知. (1)求的值； (2)若点在边上，且，求的面积. 20．在中， (1)求； (2)若，且的面积为，求的周长． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 平面向量的应用 【题型归纳目录】 题型一：向量在平面几何中的应用 题型二：向量在解析几何中的应用 题型三：向量在物理学的应用 题型四：余弦定理的应用 题型五：正弦定理的应用 题型六：利用正余弦定理判断三角形的形状 题型七：正余弦定理举例应用 题型八：面积与周长问题 题型九：解三角形范围与最值问题 题型十：三角形多解问题 【思维导图】 【知识点梳理】 知识点一：向量在平面几何中的应用 向量在平面几何中的应用主要有以下几个方面： （1）证明线段相等、平行，常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，有时用到向量减法的意义． （2）证明线段平行、三角形相似，判断两直线（或线段）是否平行，常运用向量平行（共线）的条件：（或）． （3）证明线段的垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形，判断两直线（线段）是否垂直等，常运用向量垂直的条件：（或）． （4）求与夹角相关的问题，往往利用向量的夹角公式． （5）向量的坐标法，对于有些平面几何问题，如长方形、正方形、直角三角形等，建立直角坐标系，把向量用坐标表示，通过代数运算解决几何问题． 知识点诠释： 用向量知识证明平面几何问题是向量应用的一个方面，解决这类题的关键是正确选择基底，表示出相关向量，这样平面图形的许多性质，如长度、夹角等都可以通过向量的线性运算及数量积表示出来，从而把几何问题转化成向量问题，再通过向量的运算法则运算就可以达到解决几何问题的目的了． 题型一：向量在平面几何中的应用 【典例1-1】在中，，，M是边上靠近A的一个三等分点，问：在线段上是否存在点，使得？ 【解析】如图所示，以为原点，建立平面直角坐标系，过点作于点， 由题可知，， 所以，假设在线段上存在点使得，则， 由与共线及得，，解得， 因为，所以线段上不存在点使得． 【典例1-2】如图，在正方形中，P是对角线AC上一点，垂直于点E，垂直于点F．求证：．    【解析】设，由为正方形，则有，， 则， ， 故 ，故. 【变式1-1】如图，在平行四边形中，、依次是对角线上的两个三等分点，设 . (1)请用 与 表示 ; (2)用向量方法证明：四边形是平行四边形. 【解析】（1）因为、依次是对角线上的两个三等分点， 所以， 于是有， 即； （2）因为、依次是对角线上的两个三等分点， 所以， 于是有， 即，因此， 显然有，不共线， 因此且， 所以四边形是平行四边形. 【变式1-2】在平行四边形中，，，和交于点P． (1)若，求x的值； (2)求的值． 【解析】（1）依题意可得， 又，， 所以，解得． （2）由（1）可得，则，即． 因为，即， 所以，即，所以， 所以． 【变式1-3】如图，在中，已知边上的两条中线AM，BN相交于点.    (1)求AM的长度； (2)求∠MPB的正弦值. 【解析】（1）因为AM是中线， 所以， 所以， 则； （2）由图象知：为向量的夹角， 因为， 所以， ，则， 又， ， 所以， 因为， 所以. 知识点二：向量在解析几何中的应用 在平面直角坐标系中，有序实数对（x，y）既可以表示一个固定的点，又可以表示一个向量，使向量与解析几何有了密切的联系，特别是有关直线的平行、垂直问题，可以用向量方法解决． 常见解析几何问题及应对方法： （1）斜率相等问题：常用向量平行的性质． （2）垂直条件运用：转化为向量垂直，然后构造向量数量积为零的等式，最终转换出关于点的坐标的方程． （3）定比分点问题：转化为三点共线及向量共线的等式条件． （4）夹角问题：利用公式． 题型二：向量在解析几何中的应用 【典例2-1】在直角梯形中，，，，点是边上的中点. (1)若点满足，且，求的值； (2)若点是线段上的动点（含端点），求的取值范围. 【解析】（1）如下图所示： 由可得， 所以， 又，可得 所以； （2）法1：以点为坐标原点，分别以为轴，为轴建立平面直角坐标系， 则，则， 由点是线段上的动点（含端点），可令， 所以，则， 所以， 由二次函数性质可得当时取得最小值； 当时取得最大值； 可得 法2：取中点，作垂足为，如下图所示： 则 显然当点位于点时，取到最大值3，当点位于点时，取到最小值， 可得 【典例2-2】如图，AB为半圆O的直径，，C，D为（不含端点）上两个不同的动点.    (1)若C是上更靠近点B的三等分点，D是上更靠近点A的三等分点，用向量方法证明：且. (2)若与共线，求面积的最大值. 【解析】（1）如图，建立平面直角坐标系. 由题意可知，， 则，，，， 得，， 因为，所以，且. （2）设C在第一象限，，， 则，， 得，的高为， 所以的面积为， 当时，的面积取得最大值，且最大值为. 【变式2-1】已知矩形中，为中点，为边上的动点（不包括端点）. (1)求的最小值； (2)设线段与的交点为，求的最小值. 【解析】（1）设，如图建立直角坐标系： ， 当时，有最小值，最小值为0； （2）由图可得： 则 ， 当且仅当即时取等号， 的最小值为. 【变式2-2】已知中，,，是线段上一点，且，是线段上的一个动点. (1)若，求（用的式子表示）； (2)求的取值范围. 【解析】（1）由得，解得， 又已知， ∴，故； （2）以C为原点，CB为轴，CA为轴建立平面直角坐标系， 则， 设，，可得， 由三点共线，可得，即， 代入整理得 ，， 当时，单调递增， 当时，单调递减， 故当时，取得最大值，最大值为， 又当时，，当时，， 故的取值范围为 【变式2-3】已知四边形ABCD是边长为2的菱形，，P为平面ABCD内一点，AC与BP相交于点Q． (1)若，，求x，y的值； (2)求最小值． 【解析】（1）当时，则为的中点， 由于,所以, 所以 （2）由于四边形ABCD是边长为2的菱形，且，建立如图所示的直角坐标系， 则, 取中点为，连接,则, 设 ， ， 故当时，取最小值， 知识点三：向量在物理中的应用 （1）利用向量知识来确定物理问题，应注意两方面：一方面是如何把物理问题转化成数学问题，即将物理问题抽象成数学模型；另一方面是如何利用建立起来的数学模型解释相关物理现象． （2）明确用向量研究物理问题的相关知识：①力、速度、位移都是向量；②力、速度、位移的合成与分解就是向量的加减法；③动量mv是数乘向量；④功即是力F与所产生位移s的数量积． （3）用向量方法解决物理问题的步骤：一是把物理问题中的相关量用向量表示；二是转化为向量问题的模型，通过向量运算解决问题；三是把结果还原为物理结论． 题型三：向量在物理学的应用 【典例3-1】如图，甲、乙分处河的两岸，欲拉船M逆流而上，需在正前方有的力．已知甲所用的力的大小为，且与M的前进方向的夹角为，求乙所用的力．    【解析】根据题意，设合力，则，且， 则， 所以 ， 所以， 设， 由，得 所以， 故乙所用的力，与M的前进方向夹角的余弦值为． 【典例3-2】已知两个力（单位：）与的夹角为，其中，某质点在这两个力的共同作用下，由点移动至点（单位：）． (1)求； (2)求与的合力对质点所做的功． 【解析】（1）由，与的夹角为，可设，则， 因为质点在这两个力的共同作用下，由点移动至点， 所以，即， 即，解得， 所以． （2）与的合力对质点所做的功为：． 【变式3-1】已知质点受到三个力、、的作用，若它们的大小分别为，，，且三个力之间的夹角都为120°，求合力的大小和合力与所成角的大小. 【解析】如图，以质点为坐标原点，向量所在的直线为轴，建立平面直角坐标系， 则，，， 于是合力，，，， 所以合力的大小为，与所成角的大小为. 【变式3-2】（1）如图，用两根绳子把重10N 的物体W吊在水平杆子上，，，求和处所受力的大小.（忽略绳子重量） （2）一个物体在一个平面内受到、、三个力的作用，沿合力方向移动了10米，求合力做的位移和功.其中，方向为北偏东；，方向为北偏东；，方向为北偏西. 【解析】（1）设、处所受力分别为、，的重力用表示，则. 以重力作用点为、的始点，作平行四边形，使为对角线， 则，，，则，， ∴，∴四边形为矩形. ∴，. ∴处受力的大小为，处受力的大小为. （2）如图，以物体初始位置为原点，以正东方向为轴正方向，建立平面直角坐标系， 依题意可得，，， 设合力为，所以， 则， 则， 所以位移， 所做的功为. 知识点四、余弦定理 三角形任意一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．即： 余弦定理的变形公式： 知识点五、利用余弦定理解三角形 利用余弦定理可以解决下列两类三角形的问题： ①已知三角形的两条边及夹角，求第三条边及其他两个角； ②已知三角形的三条边，求其三个角． 知识点诠释：在余弦定理中，每一个等式均含有四个量，利用方程的观点，可以知三求一． 题型四：余弦定理的应用 【典例4-1】在中，已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】在中，已知，，，由余弦定理，得. 故选：A． 【典例4-2】的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．若，，，则（   ） A． B． C．4 D．3 【答案】D 【解析】因为在中，，，， 所以由余弦定理可得：， 所以. 故选：D. 【变式4-1】在中，已知，，三边分别对应，，三角，，，，则（    ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【解析】由余弦定理可得， ， 故选:B. 【变式4-2】在中，，则（    ） A． B． C． D．3 【答案】A 【解析】由， 所以. 故选：A 【变式4-3】在△ABC中，若，，，则边上的高为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【解析】由余弦定理，得， 设边上的高为，则，解得. 故选：C. 知识点六、正弦定理 正弦定理：在一个三角形中各边和它所对角的正弦比相等，即： 知识点诠释： （1）正弦定理适合于任何三角形； （2）可以证明（为的外接圆半径）； （3）每个等式可视为一个方程：知三求一． （4）利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题： ①已知两个角及任意—边，求其他两边和另一角； ②已知两边和其中—边的对角，求其他两个角及另一边． 题型五：正弦定理的应用 【典例5-1】中，角所对的边分别为，若，则（   ） A． B． C． D．或 【答案】A 【解析】由题意，在中，则，所以， 因为，所以或，又，所以． 故选：A 【典例5-2】在中，角，，的对边分别为，，，若，，，则（   ） A．或 B． C． D．3 【答案】A 【变式5-1】在中，若，则角（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由正弦定理可知，可化为， 又，则，即， 再根据正弦定理可知，， 又，即，则， 又，所以. 故选：D. 【变式5-2】在中，已知，，，则（    ） A．或 B． C． D．或 【答案】C 【解析】因为在中，，，， 由正弦定理，得， 解得或， 又因为可得，所以不符合题意，舍去． 可得，故A，B，D错误． 故选：C. 【变式5-3】在中，角A，B，C所对的边分别为，，，若，，，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【解析】根据正弦定理，得，解得． 故选：A. 知识点七、解三角形的概念 一般地，我们把三角形的各内角以及它们所对的边叫做三角形的几何元素．任何一个三角形都有六个元素：三边、和三角． 在三角形中，由已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形． 有了关于解三角形的有关定理（如勾股定理、三角形的内角和定理、正弦定理，还有即将学习的余弦定理等），三角学特别是测量学得到了一次飞跃，它可以由已知的三角形的边和角来推断未知的边和角． 利用正、余弦定理解三角形 已知两边和一边的对角或已知两角及一边时，通常选择正弦定理来解三角形；已知两边及夹角或已知三边时，通常选择余弦定理来解三角形．特别是求角时尽量用余弦定理来求，尽量避免分类讨论． 在中，已知和A时，解的情况主要有以下几类： ①若A为锐角时： 一解 一解 两解 无解 ② 若A为直角或钝角时： 知识点八、三角形的形状的判定 1、特殊三角形的判定： （1）直角三角形 勾股定理：， 互余关系：，，； （2）等腰三角形 ，； 2、用余弦定理判定三角形的形状（最大角的余弦值的符号） （1）在中，； （2）在中，； （3）在中，； 题型六：利用正余弦定理判断三角形的形状 【典例6-1】在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，则为（    ）. A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【解析】由正弦定理得， 其中， 所以， 因为，所以， 故， 因为，所以， 故为直角三角形. 故选：C 【典例6-2】在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，，，则该三角形的形状是（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【解析】由，,则， 由，则， 由于，则， ，均为三角形的内角，，即， 故该三角形的形状是等腰三角形． 故选：B． 【变式6-1】在中，已知，则的形状为（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰或直角三角形 D．等边三角形 【答案】C 【解析】在中，由及余弦定理，得， 整理得，即， 而，因此或， 所以或，即为等腰三角形或直角三角. 故选：C 【变式6-2】在中，角所对的边分别是，若，则是（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【解析】在中，由正弦定理及，得， 而，因此，所以是等腰三角形. 故选：A 【变式6-3】在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的形状是（    ）三角形 A．等腰 B．直角 C．等腰直角 D．等腰或直角 【答案】D 【解析】由， 由余弦定理得， 化简得， 当时，即，则为直角三角形； 当时，得，则为等腰三角形； 综上：为等腰或直角三角形，故D正确． 故选：D． 【变式6-4】在中，若，则此三角形为（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】B 【解析】由可得， 又， 所以， 由于为的内角，所以， 故为等腰三角形， 故选：B 知识点九、解三角形应用题 1、解三角形在实际中应用非常广泛，如测量、航海、几何、物理等方面都要用到解三角形的知识，解题时应认真分析题意，并做到算法简练，算式工整，计算正确．其解题的一般步骤是： （1）准确理解题意，尤其要理解应用题中的有关名词和术语；明确已知和所求，理清量与量之间的关系； （2）根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出，将实际问题抽象成解三角形模型； （3） 分析与所研究的问题有关的一个或几个三角形，正确运用正弦定理和余弦定理，有顺序的求解； （4）将三角形的解还原为实际问题，注意实际问题中的单位及近似计算要求，回答实际问题． 2、解三角形应用题的基本思路 实际问题画图数学问题解三角形数学问题的解检验实际问题的解 题型七：正余弦定理举例应用 【典例7-1】如图，为测量山高，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点．从A点测得M点的仰角，C点的仰角以及；从C点测得，已知山高，则山高 m． 【答案】 【解析】在中，因，则， 在，，则， 由正弦定理可得，即，解得， 在中，，，则． 所以山高为. 故答案为：. 【典例7-2】龙爪塔位于通川区朝阳寺内， 龙爪塔据传因崖壁有石纹，下临深潭，影似龙爪而得名.龙爪塔相传由鲁班修建，据文物部门考证，该塔建于唐朝年间，乾隆十二（1747）年增刻本《达州志·舆地图》已绘有龙爪山图，先后经嘉庆十八（1813）年和光绪十四（1888）年两次补修.1987年11月按原貌对塔进行了维修，1989年对游人开放.为了测量塔的高度AB，选取与塔底B在同一水平面的两个基点C与D，现测得米，在C点测得塔顶的仰角，则塔的高度为 （参考数据） 【答案】33米 【解析】在中，，则， 由正弦定理，得， 由在点仰角为，得米. 故答案为：33米 【变式7-1】如图，某货轮在A处看灯塔B在货轮的北偏东，距离为海里，货轮由A处向正北航行到D处时，再看灯塔B在北偏东，则A与D间的距离为 海里． 【答案】24 【解析】在中，，， 所以，所以海里. 故答案为：24. 【变式7-2】一艘游轮航行到处时看灯塔在的北偏东，距离为海里，灯塔在的北偏西，距离为海里，该游轮由沿正北方向继续航行到处时再看灯塔在其南偏东方向，则此时灯塔位于游轮的 方向用方向角作答 【答案】南偏西 【解析】如图，在中，， 由正弦定理得 ，解得， 在 中，由余弦定理得 ， 因为 ，所以解得， 由正弦定理得 ，解得， 故 或， 因为，故为锐角，所以， 此时灯塔位于游轮的南偏西方向． 故答案为：南偏西 题型八：面积与周长问题 【典例8-1】在中，角所对的边分别为，已知，. (1)若，求的值； (2)若的面积，求和的值. 【解析】（1），且， ， 由正弦定理得， 又， ； （2）， . 由余弦定理得：， . 【典例8-2】记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)求角B的值； (2)若D为AC的中点，且，，求的面积. 【解析】（1）由正弦定理得，， 则由得：， 在中，， ，则， ，， ， ，； （2）∵D为AC的中点，，，① 由余弦定理得，，② 联立①②，解得， ， 的面积. 【变式8-1】设锐角的内角的对边分别为， (1)求角； (2)若边，面积为，求的周长． 【解析】（1）由及正弦定理，得， 又，得， 所以，又为锐角，所以； （2）由（1）得，则， 由余弦定理，得， 所以，所以， 所以的周长为． 【变式8-2】已知内角，，的对边分别为，，，且满足. (1)求； (2)若，，求的周长. 【解析】（1）因为， 所以由正弦定理得， 即， 又因为, 所以，且, 所以， 由因为，所以. （2）由（1）知， 因为，所以由正弦定理得, 由余弦定理得， 即，解得， 所以， 故的周长为. 【变式8-3】已知的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，的面积为，. (1)求的值； (2)若，求的周长. 【解析】（1）根据余弦定理可得，，则， 所以； （2）因为，所以， 又的面积为，所以，即， 因为，结合正弦定理可得， 又，所以，解得， 所以， 所以，即， 所以的周长为. 题型九：解三角形范围与最值问题 【典例9-1】已知的内角的对边分别为，若． (1)求角C的大小； (2)若的面积为，求的最小值． 【解析】（1）由，得， 所以， 因为，所以， 所以，所以； （2）因为，所以， 由余弦定理得， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为． 【典例9-2】在中，内角的对边分别为，且. (1)求角的大小； (2)点是上的一点，，且，求周长的最小值. 【解析】（1）由二倍角公式得， 故由正弦定理得，而， 故， 则； （2）设，设，则， 在中，，即 在中，，即 周长. 令，则 . 即周长最小值为. 【变式9-1】在中，角所对的边分别为，已知． (1)求； (2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围． 【解析】（1）， ，即， 由正弦定理得：， ， ，，，又，. （2）由正弦定理得：，， ， ，为锐角三角形，，， ，， 即面积的取值范围为. 【变式9-2】在中，角，，的对边分别为，，，且满足. (1)求； (2)若，求面积的最大值. 【解析】（1）因为，所以， 所以，所以， 因为，所以，所以， 所以，所以， 因为，所以，所以. （2）因为，所以， 所以，所以， 所以，当且仅当时取等号， 所以面积的最大值为. 【变式9-3】在中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，若. (1)求角； (2)若点M在边上BC满足，且，求面积的最大值. 【解析】（1）由， 由正弦定理得， 即，所以， 又，所以； （2）法一：由M在边BC上满足，可得， 两边平方可得， 所以，所以， 当且仅当时取“”， 所以，所以， 即面积的最大值为. 法二：由，则， 由余弦定理可得， 即， 可得， 又因为， 所以， 当且仅当时取“＝”， 所以，所以， 即面积的最大值为. 【变式9-4】在中，角，，的对边分别为，，，，． (1)求角； (2)若是线段的中点，且，求； (3)若为锐角三角形，求的周长的取值范围． 【解析】（1）由题及正弦定理可知：， ， 又，， ，， ，. （2）由（1）及余弦定理得：，即，① 又因为，则， 所以，② 由得：， 所以． （3）由（1）得，则，即， 由正弦定理可知，， 所以． 因为为锐角三角形，所以，， 即，，则，即， 则，故的周长的取值范围为． 题型十：三角形多解问题 【典例10-1】在中，，，，若满足条件的有2个，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据正弦定理，，则， 若满足条件的有两个，则，解得， 所以的取值范围是. 故选：D. 【典例10-2】在中，已知，则此三角形的解的情况是（   ） A．有一解 B．有两解 C．无解 D．有解但解的个数不确定 【答案】C 【解析】由正弦定理得， 则, 故不存在，即满足条件的三角形不存在． 故选：C 【变式10-1】在中，，，分别为，，的对边，给出下列四个条件： ①，， ；         ②，，； ③，，；  ④，，． 能判断三角形存在且有唯一解的是（    ） A．①④ B．②③ C．①②③ D．②③④ 【答案】B 【解析】①中，，，， 由正弦定理可得，即，可得， 因为角为锐角，所以角有两解，所以①不正确； ②中，由三边为定值，且满足任意两边之和大于第三边，所以②唯一确定三角形；所以②正确； ③中，由两边和夹角确定唯一三角形，可得③正确； ④中，由正弦定理可得，所以不存在这样的三角形，所以④不正确． 故选：B． 【变式10-2】如果满足，， 的有且只有一个，那么实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为在中，，， 所以到距离， 因为有且只有一个， 所以由图可知或， 即实数的取值范围是. 故选：D 【变式10-3】的内角，，所对的边分别为，，，已知，，若三角形有唯一解，则整数构成的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由正弦定理，得，则， 由于有唯一解，则或，解得或， 所以整数构成的集合为. 故选：C 【强化训练】 1．的内角，，的对边分别为，，，的面积为，且，，则边（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，解得， 由余弦定理得，所以. 故选：C. 2．在中，，是边中点，线段长为，，是边上一点，是的角平分线，则的长为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【解析】是边中点，则， 所以， 即，解得， ， 是的平分线，则，， ， 在中，， 故选：B． 3．一艘渔船航行到处时看灯塔在的南偏东，距离为海里，灯塔在的北偏东，距离为海里，该渔船由沿正东方向继续航行到处时再看灯塔在其南偏西方向，则此时灯塔位于渔船的（    ） A．南偏东方向 B．南偏西方向 C．北偏西方向 D．北偏西方向 【答案】D 【解析】如图， 由题意，在中，，，， 由正弦定理得， 所以， 在中，因为，， 由余弦定理得， 所以， 由正弦定理得， 所以， 因为，故为锐角， 故，此时灯塔C位于渔船的北偏西方向. 故选：D. 4．在中，，则的长为（    ） A． B．4 C． D．5 【答案】C 【解析】根据三角形内角和为，所以可知， 则， 根据正弦定理可知，代入解之可得. 故选：C 5．已知空间向量，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】空间向量，，，， 则三向量可能构成三角形的三边. 如图，设，则中，， . 故选：D 6．已知，，是的内角，，的对边．已知中，，则面积的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】中，因为，所以， 则，即， 又，则，即，则， 所以，所以， 所以， 当时，面积取得最大值为，故A正确. 故选：A. 7．（多选题）在中，角、、所对的边分别为、、，，，若满足条件的三角形有且只有一个，则边的长可以是（     ） A． B． C． D．4 【答案】BCD 【解析】若满足条件的三角形有且只有一个，则或，即或. 故选：BCD. 8．（多选题）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列结论正确的是（    ） A．若，，，则有两解 B．若，则是钝角三角形 C．若为锐角三角形，则 D．若，则为等腰三角形 【答案】ABC 【解析】对A：由，所以有两解，故A正确； 对B：由余弦定理：， 所以为钝角，即为钝角三角形，故B正确； 对C：因为三角形为锐角三角形， 所以，即，故C正确； 对D：因为，由正弦定理得：， 所以或，即或， 所以为等腰或直角三角形，故D错误. 故选：ABC 9．（多选题）在中，角所对的边分别为，若，且，则下列结论一定成立的是（    ） A． B．的面积为 C．的周长为 D．外接圆半径为 【答案】BC 【解析】，，可得，可得外接圆半径，故D错误； 因为， 所以， 所以， 所以， 当时，即，所以，，可得； 当时，即，由正弦定理得；故A不一定成立； 当时，此时，，，所以，， 所以的周长为：，的面积为：； 当时，，，，解得，， 所以的周长为：，的面积为：； 故BC一定成立. 故选：BC. 10．（多选题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则（    ） A． B．的周长为 C． D．外接圆的面积为 【答案】ABD 【解析】由，得，解得或（舍去）， 所以的周长为，A正确，B正确. 因为，所以，解得，C错误. 设外接圆的半径为R，因为，所以，外接圆的面积为，D正确. 故选：ABD. 11．在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，，，则外接圆的面积是 . 【答案】 【解析】在中，由，得，而， 由余弦定理得， 由正弦定理得外接圆， 所以外接圆的面积是. 故答案为： 12．如图，为方便市民游览市区中心附近的“网红桥”，现准备在河岸一侧建造一个观景台P，已知AB，AC为夹角为的公路长度均超过5千米，在两条公路AB，AC上设立游客上、下点M，N，从观景台P到M，N建造两条观光线路PM，PN，测得千米，千米.若，则两条观光线路PM与PN之和的最大值为 千米. 【答案】14 【解析】在中，，，， 由余弦定理知，所以， 在中，由余弦定理知，， 所以， 所以，即，当且仅当时，等号成立， 所以与之和的最大值为14． 故答案为：14 13．在中，，为的中点，，为上一点，且，则 ． 【答案】 【解析】取中点，连接，如图所示： 则有， 又因为， 所以，所以∥， 又因为为中点，所以为中点， 所以， 所以， 又因为为的中点，， 所以， 平方，得， 即， 解得， 在中，由余弦定理可得：， 所以， 在中，由余弦定理可得：， 将两边平方， 得， 所以. 故答案为： 14．在中，，，，角B的平分线交AC于点D，则 . 【答案】 【解析】在中，， 又∵， ∴，∴. 故答案为： 15．设三角形的内角的对边分别为且. (1)求角的大小； (2)若边上的高为，求三角形的周长. 【解析】（1）因为为三角形的内角，所以， 因为，所以可化为， 即，即，又易知， 解得，即. （2）由三角形面积公式得， 代入得：，所以， 故为正三角形，，周长等于 16．在中，，，分别为内角所对的边，且满足． (1)求； (2)若，求周长的最大值． 【解析】（1）因为， 由正弦定理可得， 且，即， 又因为，则， 可得，即，所以. （2）由余弦定理可得：， 即，可得， 又因为，可得，即， 当且仅当时，等号成立， 所以周长的最大值为. 17．记的内角的对边分别为，已知. (1)求的值； (2)若的面积为，求； (3)若，当角最大时，求的面积 【解析】（1），由正弦定理可得：， ，， 两边同时除以，可得：. （2）方法1：，则， 结合正弦定理得，， 即， 则， 所以，即， 解得，又， 所以. 方法2：同方法可得， 由（1）可得，所以， 即，又， 所以，解得，， 所以. （3）方法1：，， ，， ， 当且仅当时等号成立，此时取到最大值， ，当最大时，. 方法2：由（1）知，则， 所以 ，当且仅当，即时，取“=”， 此时，则，. 18．在中，内角、、的对边分别为、、，且. (1)求的值； (2)若是锐角三角形，，求的取值范围. 【解析】（1）因为， 由余弦定理可得. （2）因为，，则， 由正弦定理可得， 所以， ， 因为为锐角三角形，则，解得， 所以，，则， 故. 即的取值范围是. 19．在中，角的对边分别为，已知. (1)求的值； (2)若点在边上，且，求的面积. 【解析】（1）（法一）因为， 由正弦定理知， 所以3， 所以3， 即， 因为， 所以， 所以，即. （法二）因为， 所以， 所以， 由射影定理得，即. （法三）因为， 所以， 所以， 所以，即. （2）（法一）在中，， 在中，， 所以，所以， 所以，因为， 所以， 所以. （法二）， ， 所以，解之得. 下同法一. （法三）因为， 所以①， ②， 将②代入①得，解之得， 下同法一. 20．在中， (1)求； (2)若，且的面积为，求的周长． 【解析】（1）由题意结合正弦定理可得 ， 即， ∵，∴， ∴，故． （2）由，解得． 由余弦定理可得， ∴， ∴的周长为． 学科网（北京）股份有限公司 $$