第04讲 平面向量的应用（9个知识点+12大核心考点+变式训练+举一反三）-（寒假衔接课堂）2025年高一数学寒假衔接讲义（人教版2019必修第二册）

第04讲 平面向量的应用（9个知识点+12大核心考点+变式训练+举一反三） 题型一 用向量证明线段垂直 题型二 用向量解决夹角问题 题型三 用向量解决线段的长度问题 题型四 力的合成 题型五 速度、位移的合成 题型六 功、动量的计算 题型七 余弦定理解三角形 题型八 余弦定理边角互化的应用 题型九 正弦定理边角互化的应用 题型十 三角形面积公式及其应用 题型十一 正、余弦定理的其他应用 题型十二 求三角形面积的最值或范围 1．余弦定理 (1)余弦定理及其推论的表示 文字表述 三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍. 公式表述 a2=b2+c2-2bccosA，b2=a2+c2-2accosB，c2=a2+b2-2abcosC. 推论 (2)对余弦定理的理解 ①余弦定理对任意的三角形都成立. ②在余弦定理中，每一个等式都包含四个量，因此已知其中三个量，利用方程思想可以求得未知的量. ③余弦定理的推论是余弦定理的第二种形式，适用于已知三角形三边来确定三角形的角的问题.用余弦 定理的推论还可以根据角的余弦值的符号来判断三角形中的角是锐角还是钝角. ④余弦定理的另一种常见变式：+-=2bcA，+-=2acB，+-=2abC. 2．正弦定理 (1)正弦定理的表示 在△ABC中，若角A,B,C对应的边分别是a,b,c，则各边和它所对角的正弦的比相等，即==. (2)正弦定理的常见变形 在△ABC中，由正弦定理得===k(k>0)，则a=kA，b=kB，c=kC，由此可得 正弦定理的下列变形： ①=，=，=，aB=bA，aC=cA，bC=cB； ②======； ③a:b:c=A:B:C； ④===2R，（R为△ABC外接圆的半径）. (3)三角形的边角关系 由正弦定理可推导出，在任意三角形中，有“大角对大边，小角对小边”的边角关系. 3．解三角形 (1)解三角形的概念 一般地，三角形的三个角A,B,C和它们的对边a,b,c叫做三角形的元素.在三角形中，已知三角形的几个 元素求其他元素的过程叫做解三角形. (2)余弦定理在解三角形中的应用 利用余弦定理可以解决以下两类解三角形的问题： ①已知两边及它们的夹角，求第三边和其他两个角； ③已知三边，求三角形的三个角. (3)正弦定理在解三角形中的应用 公式==反映了三角形的边角关系. 由正弦定理的推导过程知，该公式实际表示为：=，=，=.上述的 每一个等式都表示了三角形的两个角和它们的对边的关系.从方程角度来看，正弦定理其实描述的是三组方程，对于每一个方程，都可“知三求一”，于是正弦定理可以用来解决两类解三角形的问题： ①已知两角和任意一边，求其他的边和角， ③已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角. 4．对三角形解的个数的研究 已知三角形的两角和任意一边，求其他的边和角，此时有唯一解，三角形被唯一确定. 已知三角形的两边和其中一边的对角，求其他的边和角，此时可能出现一解、两解或无解的情况，三 角形不能被唯一确定. (1)从代数的角度分析“已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角”时三角形解的情况，下面以已知 a,b和A，解三角形为例加以说明. 由正弦定理、正弦函数的有界性及三角形的性质可得： ①若B=>1，则满足条件的三角形的个数为0； ②若B==1，则满足条件的三角形的个数为1； ③若B=<1，则满足条件的三角形的个数为1或2. 显然由0<B=<1可得B有两个值，一个大于，一个小于，考虑到“大边对大角”、“三 角形内角和等于”等，此时需进行讨论. (2)从几何的角度分析“已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角”时三角形解的情况，以已知a,b和A，解三角形为例，用几何法探究如下： 图形 关系式 解的个数 A为锐角 ①a=bsin A； ②a≥b 一解 bsinA<a<b 两解 a<bsinA 无解 A为钝角或直角 a>b 一解 a≤b 无解 5．三角形的面积公式 (1)常用的三角形的面积计算公式 ①=a=b=c (,,分别为边a,b,c上的高). ②将=bC，=cA，=aB代入上式可得=abC=bcA=acB，即三 角形的面积等于任意两边与它们夹角的正弦值乘积的一半. (2)三角形的其他面积公式 ①=r(a+b+c)= rl，其中r,l分别为△ABC的内切圆半径及△ABC的周长. ②=，=，=. 1.解三角形中的重要模型——中线模型 (1)中线长定理：在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，AD是BC边上的中线，则. (2)向量法：. 6.解三角形中的重要模型——倍角模型 ，这样的三角形称为“倍角三角形”． 推论1：； 推论2：. 7.解三角形中的重要模型——角平分线模型 角平分线张角定理：如图，为平分线，则 8.三角形中的最值（范围）问题的解题策略： (1)正、余弦定理是求解三角形的边长、周长或面积的最值（范围）问题的核心，要牢牢掌握并灵活运 用．解题时要结合正弦定理和余弦定理实现边角互化，再结合角的范围、辅助角公式、基本不等式等研究其最值（范围）． (2)“坐标法”也是解决三角形最值问题的一种重要方法.解题时，要充分利用题设条件中所提供的特殊边 角关系，建立合适的直角坐标系，正确求出关键点的坐标，将所要求的目标式表示出来并合理化简，再结合三角函数、基本不等式等知识求其最值． 9．测量问题 (1)测量距离问题的基本类型和解决方案 当AB的长度不可直接测量时，求AB的距离有以下三种类型： 类型 简图 计算方法 A,B间不可达也不可视 测得AC=b，BC=a，C的大小，则由余弦定理得 B, C与点A可视但不可达 测得BC=a，B，C的大小，则A=π-(B+ C)，由正弦定理得 C,D与点A,B均可视不可达 测得CD=a及∠BDC,∠ACD,∠BCD,∠ADC的度数.在△ACD中，用正弦定理求AC；在△BCD中，用正弦定理求BC；在△ABC中，用余弦定理求AB. (2)测量高度问题的基本类型和解决方案 当AB的高度不可直接测量时，求AB的高度有以下三种类型： 类型 简图 计算方法 底部 可达 测得BC=a，C的大小，AB=a·tan C. 底部不可达 点B与C,D共线 测得CD=a及∠ACB与∠ADB的度数. 先由正弦定理求出AC或AD,再解直角三角形得AB的值. 点B与C , D不共线 测得CD=a及∠BCD,∠BDC,∠ACB的度数. 在△BCD中由正弦定理求得BC，再解直角三角形得AB的值. (3)测量角度问题 测量角度问题主要涉及光线(入射角、折射角)，海上、空中的追及与拦截，此时问题涉及方向角、方 位角等概念，若是观察建筑物、山峰等，则会涉及俯角、仰角等概念.解决此类问题的关键是根据题意、图形及有关概念，确定所求的角在哪个三角形中，该三角形中已知哪些量，然后解三角形即可. 【核心考点一 用向量证明线段垂直】 【例1】（21-22高一下·山西运城·期中）在平面四边形ABCD中，，，则该四边形的面积为（    ） A． B． C．13 D．26 【例2】（22-23高三·广东佛山·阶段练习）在中，若，则的形状是（    ） A．为钝角的三角形 B．为直角的直角三角形 C．锐角三角形 D．为直角的直角三角形 【例3】（24-25高二上·北京·阶段练习）如图，四面体的每条棱长都等于2，M，N分别是上的动点，则MN的最小值是 .此时= . 【例4】（23-24高二上·山东泰安·开学考试）在四边形中，，则四边形的形状是 . 【例5】（23-24高一·上海·课堂例题）菱形是四条边都相等的四边形，用向量方法证明菱形的对角线互相垂直． 【核心考点二 用向量解决夹角问题】 【例1】（22-23高二·全国·课后作业）在中，，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．不能确定 【例2】（22-23高三上·黑龙江绥化·期中）已知向量＝(－2，－1)，＝(λ，1)，若与的夹角为钝角，则λ的取值范围是（    ） A．（－，＋∞ ） B．(2，＋∞) C．（－，2）∪(2，＋∞) D．（－，0）∪(0，＋∞) 【例3】（23-24高一下·重庆·阶段练习）若向量，的夹角为钝角，则实数的取值范围为 ． 【例4】（23-24高一下·安徽合肥·阶段练习）已知正三角形的边长为，点在边上且，点为边的中点，与交于点，则的余弦为 【例5】（22-23高一下·湖南常德·阶段练习）如图，正方形的边长为是的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于点．    (1)求的余弦值． (2)若点自点逆时针沿正方形的边运动到点，在这个过程中，是否存在这样的点，使得？若存在，求出的长度，若不存在，请说明理由． 【核心考点三 用向量解决线段的长度问题】 【例1】（23-24高二下·湖南长沙·开学考试）在四边形中，，且，则（    ） A． B． C． D． 【例2】（23-24高二上·广东佛山·期中）已知的三个顶点分别是，，，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．斜三角形 D．等腰直角三角形 【例3】（23-24高一下·全国·课前预习）通过 ，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题． 【例4】（21-22高一·福建泉州·期中）在△ABC中，，，，， . 【例5】（24-25高一·上海·随堂练习）在平行四边形ABCD中，设，，已知，，，求的值． 【核心考点四 力的合成】 【例1】（23-24高一下·河北保定·期中）平面上三个力，，作用于一点且处于平衡状态，，与的夹角为45°，则的大小为（    ） A． B．5N C． D． 【例2】（23-24高一下·河南南阳·期中）小娟，小明两个人共提一桶水匀速前进，已知水和水桶总重力为，两人手臂上的拉力分别为，，且，与的夹角为，下列结论中正确的是（    ） A．越小越费力，越大越省力 B．始终有 C．当时， D．当时， 【例3】（21-22高二上·陕西宝鸡·期中）已知是作用于同一质点的两个力，N，N，和的夹角为，则合力的大小是 N. 【例4】（22-23高一下·福建厦门·期末）若平面上的三个力作用于同一点，且处于平衡状态．已知，且与的夹角为，则与的夹角为 ． 【例5】（24-25高一下·全国·课前预习）如图，在光滑斜面上的一个木块受到了哪些力的作用？这些力之间有什么关系？    【核心考点五 速度、位移的合成】 【例1】（23-24高一下·北京石景山·期中）红蜡块能在玻璃管的水中匀速上升，若红蜡块在A点匀速上升的同时，使玻璃管水平向右做匀加速直线运动，则红蜡块实际运动的轨迹是图中的（    ） A．曲线 B．直线 C．曲线 D．无法确定 【例2】（22-23高一下·河北·期中）在水流速度的自西向东的河中，如果要使船以的速度从河的南岸垂直到达北岸，则船出发时行驶速度的方向和大小为（　　） A．北偏西， B．北偏西， C．北偏东， D．北偏东， 【例3】（23-24高一下·山东菏泽·阶段练习）长江流域内某段南北两岸平行，如图，一艘游船从南岸码头出发航行到北岸．已知游船在静水中的航行速度的大小为，水流的速度的大小为，设与所成的角为，若游船要从航行到正北方向上位于北岸的码头处，则 ． 【例4】（24-25高一上·上海·课后作业）如果一架飞机向西飞行，再向东飞行，记飞机飞行的路程为s，位移为，那么 . 【例5】（24-25高一下·全国·课前预习）已知河水自西向东流动的速度为，小船自南岸沿正北方向航行，小船在静水中的速度为，求小船的实际航行速度． 【核心考点六 功、动量的计算】 【例1】（23-24高一下·河北邢台·期中）一物体在力的作用下，由点移动到点，已知，则对该物体所做的功为（   ） A．－41 B．－1 C．1 D．41 【例2】（23-24高一下·甘肃天水·期中）冰球运动是以冰刀和冰球杆为工具在冰上进行的一种相互对抗的集体性竞技运动.同学小张在冰球训练的过程中，以力作用于冰球，使冰球从点移动到点，则对冰球所做的功为（    ）    A． B． C．17 D．10 【例3】（24-25高一下·全国·期中）两个力，作用于同一个质点，使该质点从点移到点，则这两个力的合力对质点所做的功为 ． 【例4】（23-24高一下·四川绵阳·期中）已知力作用于一物体，使物体从点处移动到点处，则力对物体所做的功为 焦耳. 【例5】（24-25高一下·全国·课前预习）如图所示，一物体在力的作用下产生位移，那么力所做的功.    (1)这个公式有什么特点？请完成下列填空： ①（功）是__________量；②（力）是__________量； ③（位移）是__________量；④是__________量. (2)你能用文字语言表述功的计算公式吗？ 【核心考点七 余弦定理解三角形】 【例1】（23-24高二下·云南·期末）的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．若，，，则（   ） A． B． C．4 D．3 【例2】（22-23高一下·江苏扬州·期中）已知两地相距5 km，两地相距10，若测得，则两地间的距离为（    ） A． B． C． D． 【例3】（24-25高三上·山东枣庄·阶段练习）已知内角，，的对边分别为，，.已知，，，则 ． 【例4】（24-25高三上·广东深圳·阶段练习）的内角，，的对边分别为，，，已知，，，则 ． 【例5】（24-25高三上·江苏盐城·期中）在中，，，，点D在边上，为的平分线. (1)求的长； (2)若点P为线段上一点，且为等腰三角形，求的值. 【核心考点八 余弦定理边角互化的应用】 【例1】（24-25高三上·海南海口·阶段练习）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【例2】（2024高三·全国·专题练习）在中，若内角的对边分别为，，则的形状为（    ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形 【例3】（24-25高二上·浙江杭州·期中）在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若边上的高为4，则的面积为 . 【例4】（2024高三·全国·专题练习）在中，内角的对边分别为，若，且，则 . 【例5】（2024·河南·模拟预测）已知函数，在中，角所对的边分别为，且. (1)求； (2)若，求的值. 【核心考点九 正弦定理边角互化的应用】 【例1】（24-25高三上·甘肃白银·阶段练习）在中，若，且，则（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高三上·内蒙古呼和浩特·期中）的三边，，所对的角分别为，，.若，，则（    ） A． B． C． D． 【例3】（24-25高三上·上海·阶段练习）中，，则 . 【例4】（2024高三·北京·专题练习）在中，若，则k的一个取值为 . 【例5】（2024高三·全国·专题练习）在钝角三角形中，内角，的对边分别为，，且． (1)求角的大小． (2)若点在边上，且，求的值． 【核心考点十 正弦定理边角互化的应用】 【例1】（24-25高二上·广东广州·阶段练习）在中，，且的面积为，则边的长为（   ） A．1 B． C．2 D． 【例2】（24-25高二上·河北张家口·开学考试）如图，在中，角所对的边分别为交于点，且，则的值为（    ）    A． B． C．6 D．3 【例3】（24-25高三上·湖南·期中）将一副三角板按如图所示的位置拼接：含角的三角板的长直角边与含角的三角板的斜边恰好重合.与相交于点.若，则 . 【例4】（24-25高二上·北京·期中）在中，，，点在边上，，，则（1） ；（2）的面积为 . 【例5】（24-25高三上·山西吕梁·阶段练习）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中，，. (1)求A； (2)求的面积. 【核心考点十一 正、余弦定理的其他应用】 【例1】（23-24高一下·北京·阶段练习）如图,甲船以每小时海里的速度向正北方向航行,乙船按固定方向匀速直线航行,当甲船位于处时,乙船位于甲船的北偏西方向的处,此时两船相距海里,当甲船航行分钟到达处时,乙船航行到甲船的北偏西方向的处,此时两船相距海里,则乙船每小时航行（    ） A．海里 B．海里 C．海里 D．海里 【例2】（23-24高一下·江苏南京·期末）在某城市正东方向200km处有一台风中心，它正向西北方向移动，移动速度的大小为20km/h，距离台风中心 150km. 以内的地区都将受到影响，若台风中心的这种移动趋势不变，大约几小时后该城市所在地开始受到影响.(参考数据： （    ） A．2 B．4.5 C．9.5 D．10 【例3】（24-25高二上·重庆·阶段练习）台风“摩羯”于2024年9月1日晚在菲律宾以东洋面上生成．据监测，“摩羯”台风中心位于某海滨城市（如图）的东偏南方向350km的海面处，并以的速度向西偏北方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为130km，并以的速度不断增大， 小时后，该海滨城市开始受到台风侵袭．    【例4】（23-24高一下·浙江宁波·期末）已知海岛在海岛的北偏东的方向上，且两岛的直线距离为. 一艘海盗船以的速度沿着北偏东方向从海岛出发，同时海警船以的速度从海岛进行追赶，经过小时后两船相遇，则海警船的航行方向是北偏东 . 【例5】（23-24高一下·内蒙古赤峰·阶段练习）某海域的东西方向上分别有两个观测点（如图），它们相距海里.现有一艘轮船在点发出求救信号，经探测得知点位于点北偏东，点北偏西，这时，位于点南偏西且与点相距海里的点有一救援船，其航行速速为海里/小时. (1)求点到点的距离； (2)若命令处的救援船立即前往点营救，求该救援船到达点需要的时间. 【核心考点十二 求三角形面积的最值或范围】 【例1】（23-24高一下·安徽阜阳·期中）已知在中，，为的中点，且，则边上高的最大值为（    ） A． B． C．2 D． 【例2】（2024·陕西·模拟预测）在中，角所对的边分别为，已知，则面积的最大值为（    ） A． B． C．12 D．15. 【例3】（24-25高三上·江苏泰州·阶段练习）已知a，b，c分别是的三个内角A，B，C的对边，已知角，，若是锐角三角形，则的面积为S的取值范围为 ；若是钝角三角形，则边a的取值范围为 . 【例4】（24-25高三上·湖南邵阳·阶段练习）已知三角形中，，角的平分线交于点，若，则三角形面积的最大值为 【例5】（2024高三·全国·专题练习）在中，角所对的边分别为，已知． (1)求； (2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围． 【变式训练1 用向量证明线段垂直】 1．（2022高一·全国·专题练习）若在所在的平面内，且满足以下条件，则是的（    ） A．垂心 B．重心 C．内心 D．外心 2．（21-22高一·全国·课前预习）在平行四边形ABCD中，M、N分别在BC、CD上，且满足BC＝3MC，DC＝4NC，若AB＝4，AD＝3，则△AMN的形状是(    ) A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形 3．（2023·天津南开·一模）在平面四边形中，，则 ； . 4．（21-22高三上·北京海淀·阶段练习）已知，，能说明“存在、，使得对任意恒成立”是真命题的一组，的值为 ， ． 5．（23-24高一·上海·课堂例题）在等腰三角形ABC中，已知D为底边BC的中点，求证：． 【变式训练2 用向量解决夹角问题】 1．（22-23高三下·广西南宁·开学考试）设平面向量，，若与的夹角为钝角，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高一·全国·期中）已知三点不共线，，若，则（    ） A． B． C． D． 3．（22-23高一下·山东聊城·期末）如图，在中，已知，，，是的中点，，设与相交于点，则 ．    4．（22-23高一下·湖南怀化·期末）在中，已知，，，和边上的两条中线，相交于点，则的余弦值为 5．（22-23高一下·山东泰安·阶段练习）设两个向量满足． (1)若，求的夹角； (2)若的夹角为，向量与的夹角为钝角，求实数t的取值范围． 【变式训练3 用向量解决线段的长度问题】 1．（2022·全国·模拟预测）在平行四边形中，点，满足，，且，设，则（    ） A． B． C．2 D． 2．（22-23高一下·浙江杭州·期中）设，是边上一定点，满足，且对于边上任一点P，恒有.则（    ） A． B． C． D． 3．（2022高三·全国·专题练习）正方形的面积为16，，点在线段上．若，则 ． 4．（22-23高一下·湖南永州·期末）一个人骑自行车由A地出发向东骑行了到达B地，由B地向南东方向骑行了到达C地，从C地向北偏东骑行了到达D地，则A，D两地的距离是 ． 5．（24-25高一上·上海·课堂例题）求函数的最大值，以及y取得最大值时x的值． 【变式训练4 力的合成】 1．（23-24高一下·陕西渭南·期中）已知一个物体在三个力，，的作用下，处于静止状态，则（    ） A． B． C． D． 2．（2024高一下·全国·专题练习）一物体受到相互垂直的两个力的作用，两力大小都为 N，则两个力的合力的大小为（    ） A．5 N B． N C． N D． N 3．（23-24高一下·山东青岛·期末）如图为某种礼物降落伞的示意图，其中有8根绳子和伞面连接，每根绳子和水平面的法向量的夹角均为60°．已知礼物重量为2kg，每根绳子的拉力大小相同.则降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小为 N．（重力加速度g取） 4．（22-23高一下·天津西青·期末）在体育课上，同学们经常要在单杠上做引体向上运动（如图），假设某同学所受重力为，两臂拉力分别为，，若，与的夹角为，则以下四个结论中： ①的最小值为； ②当时，； ③当时，； ④在单杠上做引体向上运动时，两臂夹角越大越省力．在以上四个结论中，正确的序号为 ． 5．（24-25高一·上海·课堂例题）已知质点受到三个力、、的作用，若它们的大小分别为，，，且三个力之间的夹角都为120°，求合力的大小和合力与所成角的大小. 【变式训练5 速度、位移的合成】 1．（22-23高一下·广东清远·阶段练习）一条东西方向的河流两岸平行，河宽250m，河水的速度为向东km/h.一艘小货船准备从河的这一边的码头A处出发，航行到位于河对岸B(AB与河的方向垂直)的正西方向并且与B相距m的码头C处卸货.若水流的速度与小货船航行的速度的合速度的大小为6km/h，则当小货船的航程最短时，求此时小货船航行速度为多少. （    ） A．km/h B．km/h C．km/h D．km/h 2．（23-24高一下·广东惠州·开学考试）已知飞机从A地按北偏东的方向飞行到达B地，再从B地按南偏东的方向飞行到达C地，再从C地按西南方向飞行到达D地.则D地距A地（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·上海·课后作业）一架飞机向南飞行千米，然后向西飞行千米，则飞机飞行的路程及两次位移的和分别为 . 4．（24-25高一上·上海·单元测试）长江某地南北两岸平行，一艘游船从南岸码头出发航行到北岸.假设游船在静水中的航行速度的大小为，水流的速度的大小为.设和的夹角为（），北岸的点在的正北方向，则游船正好到达处时， . 5．（24-25高一上·上海·课后作业）一人从点A出发，向东走500米到达点B，接着向北偏东60°方向走300米到达点C，然后向东北方向走100米到达点D.选择适当的比例尺，用向量表示这个人的位移. 【变式训练6 功、动量的计算】 1．（23-24高一下·宁夏银川·阶段练习）一物体在力的作用下，由移动到.已知，则对该物体所做的功为（    ） A． B．26 C．8 D．18 2．（21-22高一下·江苏无锡·阶段练习）一物体在力的作用下，由点移动到点．已知，则对该物体所做的功为（　　） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·上海·课前预习）如图所示，在一个光滑的水平面上，我们拖动一个物体，如果拖力的方向与物体移动的方向成角，而物体在力的作用下产生的位移为，那么力所做的功是 ．    4．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知，作用于同一质点，由移动到点，合力对质点所做的功为 . 5．（24-25高一下·全国·课前预习）如图，一辆小车在拉力的作用下产生了位移，由上节知识可知，拉力所做的功.对应图中的哪个量？拉力所做的功还可以如何描述？    【变式训练7 余弦定理解三角形】 1．（24-25高三上·广东深圳·阶段练习）克罗狄斯托勒密（约90-168年）是希腊著名的数学家、天文学家和地理学家．托勒密定理是欧几里得几何中的重要定理，定理内容如下：任意一凸四边形，两组对边乘积的和不小于两对角线的乘积，当且仅当四点共圆时，等号成立．已知在凸四边形中，，，，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·重庆·阶段练习）的内角对应的边分别为，若，则（    ） A． B． C．或 D．无解 3．（24-25高三上·安徽马鞍山·期中）在中，若的面积为，，，则 ． 4．（24-25高二上·重庆·开学考试）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，且，则 . 5．（2024·四川宜宾·一模）已知函数，在锐角中，内角的对边分别为，且. (1)求； (2)若，求的取值范围. 【变式训练8 余弦定理边角互化的应用】 1．（23-24高一下·河南漯河·期末）三角形中，内角的对边分别为，若，则三角形的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 2．（22-23高三上·河南濮阳·阶段练习）在中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且．若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（2024高三·全国·专题练习）已知分别为的内角的对边，且.角 . 4．（23-24高一下·上海·期中）在中，是的三边且满足，则角A的大小为 . 5．（2024高三·全国·专题练习）记的内角、、的对边分别为、、，已知，求. 【变式训练9 正弦定理边角互化的应用】 1．（24-25高三上·北京丰台·期中）在中，，，分别为内角，，的对边，且，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·北京·阶段练习）在中，，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·上海虹口·阶段练习）在中，已知角所对的边分别为，若，则 . 4．（22-23高一下·江苏淮安·阶段练习）在中，若，则角A的大小为 ． 5．（2024高三·全国·专题练习）从①点是函数的图象的一个对称中心；②；③这三个条件中选一个补充到下面的横线并作答. 问题：在锐角中，内角所对的边分别为，且______. (1)求； (2)求的取值范围. 注：若选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【变式训练10 三角形面积公式及其应用】 1．（24-25高三上·河北衡水·阶段练习）设内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知，若的周长为1．则（    ） A．1 B． C． D．2 2．（23-24高一下·江西萍乡·期末）的内角，，所对的边分别为，，，，，，则的面积为（    ） A． B． C．或 D． 3．（24-25高三上·四川德阳·阶段练习）已知在中，角的对边分别为，满足，则的面积的范围为 . 4．（24-25高二上·上海·期中）在中，若，且的面积为，则 ． 5．（24-25高三上·四川眉山·期中）已知的内角的对边分别为，且满足. (1)求角的大小； (2)若且的面积为，求边. (3)若，且，求的值. 【变式训练11 正、余弦定理的其他应用】 1．（23-24高三上·广东江门·阶段练习）气象台在早上8:00观测到一台风，台风中心在气象台正西方向处，它正向东北方向移动，移动速度的大小为；距离台风中心以内的地区都将受到影响.若台风中心的这种移动趋势不变，该气象台受到台风影响的时段为（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高二上·河北·期中）台风中心从地以的速度向西北方向移动，离台风中心内的地区为危险地区，城市在地正西方向的处，则城市处于危险地区内的时长为（    ） A． B． C． D． 3．（22-23高一下·浙江宁波·期中）如图，一座垂直建于地面的信号发射塔CD的高度为，地面上一人在A点观察该信号塔顶部，仰角为，沿直线步行后在点观察塔顶，仰角为，若，此人的身高忽略不计，则他的步行速度为 . 4．（22-23高一下·云南·阶段练习）如图，飞鸟甲、小鱼乙处于同一平面，甲自左向右飞行，甲发现乙在水面上以的速度自左向右作匀速直线运动（此时甲、乙之间的距离为10m，乙在甲右偏下60°的方向上），立刻以的速度斜向下作匀速直线运动，则甲一次性成功捕获乙的最短时间约为 .（，结果保留两位有效数字） 5．（23-24高一下·河北·期末）如图，甲船在点处通过雷达发现在其南偏东方向相距20海里的处有一艘货船发出供油补给需求，该货船正以15海里/时的速度从处向南偏西的方向行驶．甲船立即通知在其正西方向且相距海里的处的补给船，补给船立刻以25海里/时的速度与货船在处会合． (1)求的长； (2)试问补给船至少应行驶几小时，才能与货船会合？ 【变式训练12 求三角形面积的最值或范围】 1．（22-23高三上·贵州遵义·期中）已知的内角所对的边分别为，若，，则面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 2．（21-22高一上·福建福州·期末）我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数书九章》中独立提出了一种求三角形面积的方法“三斜求积术”，即的面积，其中分别为的内角的对边，若，且，则的面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·陕西安康·模拟预测）如图，平面四边形中，，则四边形面积的最大值为 .    4．（23-24高二上·四川成都·期末）已知某平面内三角形为等腰三角形， ， 点为中点， 且， 则面积的最大值为 . 5．（24-25高三上·湖北武汉·期中）在中，内角，，的对边分别为，，，． (1)求； (2)若角的平分线交边于点，，求面积的最小值． 1．（22-23高一下·陕西西安·期中）已知中，，，则此三角形为（　　） A．直角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 2．（21-22高一下·全国·课后作业）一物体在大小为的力的作用下产生的位移的大小为，且力所做的功，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·天津·期中）在中，，是边中点，线段长为，，是边上一点，是的角平分线，则的长为（    ） A． B． C．2 D． 4．（24-25高二上·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）的内角，，的对边分别为，，，的面积为，且，，则边（   ） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·安徽亳州·期中）在中，设角，，所对的边长分别为，，，且，，则面积的最大值为（    ） A． B． C．2 D．4 6．（22-23高一下·河北石家庄·阶段练习）已知的夹角为，则三角形的边上中线的长为 . 7．（23-24高一下·江苏泰州·阶段练习）在静水中船的速度为 ，水流的速度为 ，如果船从岸边出发沿垂直于水流的航线到达对岸，则经过 ，该船的实际航程是 . 8．（23-24高一下·四川成都·期中）某同学在利用正弦定理和余弦定理解三角形的研究性学习中发现，用边角互化的思想求出以下三个式子的值都等于同一个常数. （1）； （2）； （3）； 这个常数为 ，将该同学发现的结论一般化后表述出来为 . 9．（22-23高一下·广东东莞·阶段练习）在海岸A处，发现北偏东45°方向，距A处海里的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°方向，距A处2海里的C处的缉私船奉命以海里/小时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/小时的速度从B处向北偏东30°的方向逃窜，缉私船要最快追上走私船，所需的时间约是 分钟．（注：） 10．（23-24高二下·河南商丘·期末）已知的内角的对边分别为，且为锐角三角形，，则面积的取值范围为 ． 11．（23-24高一·上海·课堂例题）如图，在正方形中，P是对角线AC上一点，垂直于点E，垂直于点F．求证：．    12．（23-24高一下·广西河池·阶段练习）如图，在中，已知边上的两条中线AM，BN相交于点.    (1)求AM的长度； (2)求∠MPB的正弦值. 13．（23-24高一·上海·课堂例题）如图，甲、乙分处河的两岸，欲拉船M逆流而上，需在正前方有的力．已知甲所用的力的大小为，且与M的前进方向的夹角为，求乙所用的力．    14．（24-25高三上·湖北·期中）记的内角、、的对边分别为、、，已知. (1)求； (2)若边的中点为，且，外接圆的半径为，求外接圆的半径. 15．（2024高三·全国·专题练习）记的内角的对边分别为，已知． (1)求． (2)若的面积为，，求边上的高． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 平面向量的应用（9个知识点+12大核心考点+变式训练+举一反三） 题型一 用向量证明线段垂直 题型二 用向量解决夹角问题 题型三 用向量解决线段的长度问题 题型四 力的合成 题型五 速度、位移的合成 题型六 功、动量的计算 题型七 余弦定理解三角形 题型八 余弦定理边角互化的应用 题型九 正弦定理边角互化的应用 题型十 三角形面积公式及其应用 题型十一 正、余弦定理的其他应用 题型十二 求三角形面积的最值或范围 1．余弦定理 (1)余弦定理及其推论的表示 文字表述 三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍. 公式表述 a2=b2+c2-2bccosA，b2=a2+c2-2accosB，c2=a2+b2-2abcosC. 推论 (2)对余弦定理的理解 ①余弦定理对任意的三角形都成立. ②在余弦定理中，每一个等式都包含四个量，因此已知其中三个量，利用方程思想可以求得未知的量. ③余弦定理的推论是余弦定理的第二种形式，适用于已知三角形三边来确定三角形的角的问题.用余弦 定理的推论还可以根据角的余弦值的符号来判断三角形中的角是锐角还是钝角. ④余弦定理的另一种常见变式：+-=2bcA，+-=2acB，+-=2abC. 2．正弦定理 (1)正弦定理的表示 在△ABC中，若角A,B,C对应的边分别是a,b,c，则各边和它所对角的正弦的比相等，即==. (2)正弦定理的常见变形 在△ABC中，由正弦定理得===k(k>0)，则a=kA，b=kB，c=kC，由此可得 正弦定理的下列变形： ①=，=，=，aB=bA，aC=cA，bC=cB； ②======； ③a:b:c=A:B:C； ④===2R，（R为△ABC外接圆的半径）. (3)三角形的边角关系 由正弦定理可推导出，在任意三角形中，有“大角对大边，小角对小边”的边角关系. 3．解三角形 (1)解三角形的概念 一般地，三角形的三个角A,B,C和它们的对边a,b,c叫做三角形的元素.在三角形中，已知三角形的几个 元素求其他元素的过程叫做解三角形. (2)余弦定理在解三角形中的应用 利用余弦定理可以解决以下两类解三角形的问题： ①已知两边及它们的夹角，求第三边和其他两个角； ③已知三边，求三角形的三个角. (3)正弦定理在解三角形中的应用 公式==反映了三角形的边角关系. 由正弦定理的推导过程知，该公式实际表示为：=，=，=.上述的 每一个等式都表示了三角形的两个角和它们的对边的关系.从方程角度来看，正弦定理其实描述的是三组方程，对于每一个方程，都可“知三求一”，于是正弦定理可以用来解决两类解三角形的问题： ①已知两角和任意一边，求其他的边和角， ③已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角. 4．对三角形解的个数的研究 已知三角形的两角和任意一边，求其他的边和角，此时有唯一解，三角形被唯一确定. 已知三角形的两边和其中一边的对角，求其他的边和角，此时可能出现一解、两解或无解的情况，三 角形不能被唯一确定. (1)从代数的角度分析“已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角”时三角形解的情况，下面以已知 a,b和A，解三角形为例加以说明. 由正弦定理、正弦函数的有界性及三角形的性质可得： ①若B=>1，则满足条件的三角形的个数为0； ②若B==1，则满足条件的三角形的个数为1； ③若B=<1，则满足条件的三角形的个数为1或2. 显然由0<B=<1可得B有两个值，一个大于，一个小于，考虑到“大边对大角”、“三 角形内角和等于”等，此时需进行讨论. (2)从几何的角度分析“已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角”时三角形解的情况，以已知a,b和A，解三角形为例，用几何法探究如下： 图形 关系式 解的个数 A为锐角 ①a=bsin A； ②a≥b 一解 bsinA<a<b 两解 a<bsinA 无解 A为钝角或直角 a>b 一解 a≤b 无解 5．三角形的面积公式 (1)常用的三角形的面积计算公式 ①=a=b=c (,,分别为边a,b,c上的高). ②将=bC，=cA，=aB代入上式可得=abC=bcA=acB，即三 角形的面积等于任意两边与它们夹角的正弦值乘积的一半. (2)三角形的其他面积公式 ①=r(a+b+c)= rl，其中r,l分别为△ABC的内切圆半径及△ABC的周长. ②=，=，=. 1.解三角形中的重要模型——中线模型 (1)中线长定理：在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，AD是BC边上的中线，则. (2)向量法：. 6.解三角形中的重要模型——倍角模型 ，这样的三角形称为“倍角三角形”． 推论1：； 推论2：. 7.解三角形中的重要模型——角平分线模型 角平分线张角定理：如图，为平分线，则 8.三角形中的最值（范围）问题的解题策略： (1)正、余弦定理是求解三角形的边长、周长或面积的最值（范围）问题的核心，要牢牢掌握并灵活运 用．解题时要结合正弦定理和余弦定理实现边角互化，再结合角的范围、辅助角公式、基本不等式等研究其最值（范围）． (2)“坐标法”也是解决三角形最值问题的一种重要方法.解题时，要充分利用题设条件中所提供的特殊边 角关系，建立合适的直角坐标系，正确求出关键点的坐标，将所要求的目标式表示出来并合理化简，再结合三角函数、基本不等式等知识求其最值． 9．测量问题 (1)测量距离问题的基本类型和解决方案 当AB的长度不可直接测量时，求AB的距离有以下三种类型： 类型 简图 计算方法 A,B间不可达也不可视 测得AC=b，BC=a，C的大小，则由余弦定理得 B, C与点A可视但不可达 测得BC=a，B，C的大小，则A=π-(B+ C)，由正弦定理得 C,D与点A,B均可视不可达 测得CD=a及∠BDC,∠ACD,∠BCD,∠ADC的度数.在△ACD中，用正弦定理求AC；在△BCD中，用正弦定理求BC；在△ABC中，用余弦定理求AB. (2)测量高度问题的基本类型和解决方案 当AB的高度不可直接测量时，求AB的高度有以下三种类型： 类型 简图 计算方法 底部 可达 测得BC=a，C的大小，AB=a·tan C. 底部不可达 点B与C,D共线 测得CD=a及∠ACB与∠ADB的度数. 先由正弦定理求出AC或AD,再解直角三角形得AB的值. 点B与C , D不共线 测得CD=a及∠BCD,∠BDC,∠ACB的度数. 在△BCD中由正弦定理求得BC，再解直角三角形得AB的值. (3)测量角度问题 测量角度问题主要涉及光线(入射角、折射角)，海上、空中的追及与拦截，此时问题涉及方向角、方 位角等概念，若是观察建筑物、山峰等，则会涉及俯角、仰角等概念.解决此类问题的关键是根据题意、图形及有关概念，确定所求的角在哪个三角形中，该三角形中已知哪些量，然后解三角形即可. 【核心考点一 用向量证明线段垂直】 【例1】（21-22高一下·山西运城·期中）在平面四边形ABCD中，，，则该四边形的面积为（    ） A． B． C．13 D．26 【答案】C 【分析】根据判断AC与BD关系，根据对角线互相垂直的四边形面积为对角线乘积的一半即可求解. 【详解】∵，∴AC⊥BD， 所以四边形ABCD面积为：. 故选：C. 【例2】（22-23高三·广东佛山·阶段练习）在中，若，则的形状是（    ） A．为钝角的三角形 B．为直角的直角三角形 C．锐角三角形 D．为直角的直角三角形 【答案】D 【分析】由条件求得，可得，故，由此可得的形状． 【详解】在中，，， ，则为直角三角形， 故选：D． 【例3】（24-25高二上·北京·阶段练习）如图，四面体的每条棱长都等于2，M，N分别是上的动点，则MN的最小值是 .此时= . 【答案】 【分析】证明当分别是的中点时，是的公垂线，从而求得的最小值；再利用空间向量的数量积运算法则即可得解. 【详解】因为四面体的每条棱长都等于2， 则三个向量两两间的夹角为， 当分别是的中点，取得最小值，理由如下， 因为分别是的中点，， 则 ， 所以，同理可证， 由异面直线公垂线的性质可知，此时取得最小值， 此时，， 所以； 又，，， 则 . 故答案为：；. 【例4】（23-24高二上·山东泰安·开学考试）在四边形中，，则四边形的形状是 . 【答案】矩形 【分析】根据向量数量积可得垂直，根据向量相等可证平行. 【详解】由可知,进而， 由可得且，所以四边形为矩形， 故答案为：矩形 【例5】（23-24高一·上海·课堂例题）菱形是四条边都相等的四边形，用向量方法证明菱形的对角线互相垂直． 【答案】证明见解析 【分析】由题意利用菱形的性质，平面向量的加减法运算及数量积运算证明即可. 【详解】证明：如图，   为菱形，设其对角线与交于点， 则为的中点，， 因为，， 所以， 所以，即， 即菱形的对角线互相垂直. 【核心考点二 用向量解决夹角问题】 【例1】（22-23高二·全国·课后作业）在中，，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．不能确定 【答案】B 【分析】由，可得，分析即得解 【详解】由题意， ，又 为钝角 则的形状是钝角三角形 故选：B 【例2】（22-23高三上·黑龙江绥化·期中）已知向量＝(－2，－1)，＝(λ，1)，若与的夹角为钝角，则λ的取值范围是（    ） A．（－，＋∞ ） B．(2，＋∞) C．（－，2）∪(2，＋∞) D．（－，0）∪(0，＋∞) 【答案】C 【解析】根据和与不共线可算答案. 【详解】∵与的夹角为钝角，∴－2λ－1<0，即λ>－. 又(μ<0)，∴λ≠2，∴λ的取值范围是（－，2）∪(2，＋∞)． 故选：C 【例3】（23-24高一下·重庆·阶段练习）若向量，的夹角为钝角，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】两向量的夹角为钝角，等价于两向量的数量积小于零且两向量不反向共线，由此可求参数的取值范围. 【详解】因为向量，的夹角为钝角， 所以且不反向共线， 由； 由； 所以，的夹角为钝角，可得的取值范围是：. 故答案为： 【例4】（23-24高一下·安徽合肥·阶段练习）已知正三角形的边长为，点在边上且，点为边的中点，与交于点，则的余弦为 【答案】/ 【分析】根据正三角形的性质，建立平面直角坐标系，根据向量的共线定理的坐标运算求解点坐标，再根据向量夹角余弦公式求解即可. 【详解】因为在正三角形中，点为边的中点，所以， 如图以为原点，所在直线分别为轴建立平面直角坐标系， 则， 因为，所以，则， 则，又， 所以. 故答案为：. 【例5】（22-23高一下·湖南常德·阶段练习）如图，正方形的边长为是的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于点．    (1)求的余弦值． (2)若点自点逆时针沿正方形的边运动到点，在这个过程中，是否存在这样的点，使得？若存在，求出的长度，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在． 【分析】（1）如图所示，建立以点为原点的平面直角坐标系，由于就是的夹角，从而利用向量夹角的坐标表示即可求解； （2）根据向量的共线表示联立方程组可求解，分点在上、点在上，结合向量垂直的坐标表示即可求解. 【详解】（1）如图所示，建立以点为原点的平面直角坐标系． 则． 由于就是的夹角．   的余弦值为． （2）设 ． ． 由题得． ①当点在上时，设， ； ②当点在上时，设， ，舍去． 综上，存在． 【核心考点三 用向量解决线段的长度问题】 【例1】（23-24高二下·湖南长沙·开学考试）在四边形中，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】推出四边形为平行四边形，且，且平分，得到四边形为菱形，且，为等边三角形，，利用，两边平方得到. 【详解】因为，所以且， 故四边形为平行四边形， 设都是单位向量，且， 两边平方得，即， 所以，解得， 故， 又均为单位向量，故， 即，且平分， 故四边形为菱形，且， 故为等边三角形，， ，两边平方得 ， 故. 故选：A 【例2】（23-24高二上·广东佛山·期中）已知的三个顶点分别是，，，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．斜三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【分析】利用向量数量积的坐标表示即可求得，由模长公式计算可得，即可得出结论. 【详解】易知， 可得，即，且， 所以可得的形状是直角三角形. 故选：B 【例3】（23-24高一下·全国·课前预习）通过 ，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题． 【答案】向量运算 【分析】略 【详解】略 【例4】（21-22高一·福建泉州·期中）在△ABC中，，，，， . 【答案】/ 【分析】用表示出，两边同时平方，根据向量数量积即可求得答案. 【详解】由题意可得：， 故. 故答案为： 【例5】（24-25高一·上海·随堂练习）在平行四边形ABCD中，设，，已知，，，求的值． 【答案】13 【分析】根据已知条件可得四边形ABCD为矩形，从而可求得答案. 【详解】因为在平行四边形ABCD中，，， 所以，，， 因为，，且， 所以，所以， 所以四边形ABCD为矩形，所以， 即． 【核心考点四 力的合成】 【例1】（23-24高一下·河北保定·期中）平面上三个力，，作用于一点且处于平衡状态，，与的夹角为45°，则的大小为（    ） A． B．5N C． D． 【答案】C 【分析】根据平衡状态得，结合向量的数量积求解即可． 【详解】由题意得，， 所以， 故选：C． 【例2】（23-24高一下·河南南阳·期中）小娟，小明两个人共提一桶水匀速前进，已知水和水桶总重力为，两人手臂上的拉力分别为，，且，与的夹角为，下列结论中正确的是（    ） A．越小越费力，越大越省力 B．始终有 C．当时， D．当时， 【答案】C 【分析】根据题意，由向量的平行四边形法则可得，由此分析选项，即可得答案． 【详解】根据题意，由于，又由， 则有向量，为邻边的四边形为菱形， 则有，, 对于A，由于不变，则越小越省力，越大越费力，A错误； 对于B，由于，B错误； 对于C，当时，，C正确； 对于D，当时，，D错误． 故选：C. 【例3】（21-22高二上·陕西宝鸡·期中）已知是作用于同一质点的两个力，N，N，和的夹角为，则合力的大小是 N. 【答案】 【分析】根据条件及进行数量积的运算即可求出答案. 【详解】根据，所以， 则 . 故答案为：. 【例4】（22-23高一下·福建厦门·期末）若平面上的三个力作用于同一点，且处于平衡状态．已知，且与的夹角为，则与的夹角为 ． 【答案】 【分析】以和的公共起点为原点，以的方向为x轴正方向建立平面直角坐标系．设，由题意可得，由，可得，再由数量积公式及夹角公式即可求解. 【详解】如图以和的公共起点为原点，以的方向为x轴正方向建立平面直角坐标系． 设， 因为且与的夹角为， 可得， 所以． 因为三个力作用于同一点，且处于平衡状态， 所以， 即，则， 所以． 设与的夹角为， 则． 因为，所以， 所以与的夹角为． 故答案为：. 【例5】（24-25高一下·全国·课前预习）如图，在光滑斜面上的一个木块受到了哪些力的作用？这些力之间有什么关系？    【答案】答案见解析 【详解】该木块受到重力的作用，产生两个效果，一是木块受平行于斜面的力的作用沿斜面下滑； 二是木块产生垂直于斜面的压力， 也就是说，重力的效果等价于力和的合力的效果，即. 【核心考点五 速度、位移的合成】 【例1】（23-24高一下·北京石景山·期中）红蜡块能在玻璃管的水中匀速上升，若红蜡块在A点匀速上升的同时，使玻璃管水平向右做匀加速直线运动，则红蜡块实际运动的轨迹是图中的（    ） A．曲线 B．直线 C．曲线 D．无法确定 【答案】A 【分析】根据题意，结合合速度的方向与合加速度的方向不在一条直线上，物体做曲线运动，进而得到答案. 【详解】当红蜡块能在玻璃管的水中匀速上升，若红蜡块在A点匀速上升的同时， 合速度的方向与合加速度的方向，不在一条直线上，物体做曲线运动， 因为玻璃管水平向右做匀加速直线运动，所以红蜡块在竖直方向运动相同的距离时，向右的运动的距离越来越大， 所以运动轨迹为曲线. 故选：A. 【例2】（22-23高一下·河北·期中）在水流速度的自西向东的河中，如果要使船以的速度从河的南岸垂直到达北岸，则船出发时行驶速度的方向和大小为（　　） A．北偏西， B．北偏西， C．北偏东， D．北偏东， 【答案】A 【分析】根据题意，作出图形，借助于直角三角形求出的模和即得. 【详解】    如图，船从点O出发，沿方向行驶才能使船垂直到达对岸， 依题意，，， 则，则， 因为为锐角，故， 故船以的速度，以北偏西的方向行驶，才能垂直到达对岸. 故选:A. 【例3】（23-24高一下·山东菏泽·阶段练习）长江流域内某段南北两岸平行，如图，一艘游船从南岸码头出发航行到北岸．已知游船在静水中的航行速度的大小为，水流的速度的大小为，设与所成的角为，若游船要从航行到正北方向上位于北岸的码头处，则 ． 【答案】/ 【分析】根据平面向量加法的几何意义，数量积的运算性质进行求解即可. 【详解】由题意，游船要从航行到正北方向上位于北岸的码头处，即航行的方向垂直河岸，由向量加法的几何意义可知，即 所以，解得， 故答案为：. 【例4】（24-25高一上·上海·课后作业）如果一架飞机向西飞行，再向东飞行，记飞机飞行的路程为s，位移为，那么 . 【答案】 【分析】作表示向西飞行，表示向东飞行，根据向量加法运算和向量模意义可得. 【详解】作表示向西飞行，表示向东飞行， 则，， 所以，所以. 故答案为：    【例5】（24-25高一下·全国·课前预习）已知河水自西向东流动的速度为，小船自南岸沿正北方向航行，小船在静水中的速度为，求小船的实际航行速度． 【答案】小船的实际航行速度大小为 【分析】依题意作图，小船在河水中的速度和方向是由小船的速度和流水的速度向量合成的. 【详解】设，分别表示水流的速度和小船在静水中的速度， 过平面内一点作，，以，为邻边作矩形，连接，如图， 则，且即为小船的实际航行速度． ，， ， 小船的实际航行速度大小为，按北偏东的方向航行． 【核心考点六 功、动量的计算】 【例1】（23-24高一下·河北邢台·期中）一物体在力的作用下，由点移动到点，已知，则对该物体所做的功为（   ） A．－41 B．－1 C．1 D．41 【答案】A 【分析】根据功，即可求得物体所做的功. 【详解】由题意可知，， 所以对该物体所做的功为-41． 故选：A． 【例2】（23-24高一下·甘肃天水·期中）冰球运动是以冰刀和冰球杆为工具在冰上进行的一种相互对抗的集体性竞技运动.同学小张在冰球训练的过程中，以力作用于冰球，使冰球从点移动到点，则对冰球所做的功为（    ）    A． B． C．17 D．10 【答案】C 【分析】由平面向量数量积的定义即可得出答案. 【详解】因为，，所以，又， 故力对冰球所做的功为. 故选：C. 【例3】（24-25高一下·全国·期中）两个力，作用于同一个质点，使该质点从点移到点，则这两个力的合力对质点所做的功为 ． 【答案】－5 【分析】根据题意，先求其合力和位移，再根据功的计算公式计算即可. 【详解】两个力，作用于同一个质点， 其合力大小为， 从点移到点，其位移， 则这两个力的合力对质点所做的功为． 故答案为：. 【例4】（23-24高一下·四川绵阳·期中）已知力作用于一物体，使物体从点处移动到点处，则力对物体所做的功为 焦耳. 【答案】21 【分析】根据力对物体所做的功为，求解即可. 【详解】因为力，位移，所以力对物体所做的功为焦耳， 故答案为：21 【例5】（24-25高一下·全国·课前预习）如图所示，一物体在力的作用下产生位移，那么力所做的功.    (1)这个公式有什么特点？请完成下列填空： ①（功）是__________量；②（力）是__________量； ③（位移）是__________量；④是__________量. (2)你能用文字语言表述功的计算公式吗？ 【答案】(1)①数；②向；③向；④数. (2)功是力与位移的大小及其夹角余弦值的乘积. 【详解】（1）①功是表示大小的量,所以是数量；②力是既有大小又有方向的量,所以是向量； ③位移是既有大小又有方向的量, 所以是向量；④是表示夹角的大小,所以是数量． 故答案为：数；向；向；数． （2）功是力与位移的大小及其夹角余弦值的乘积． 【核心考点七 余弦定理解三角形】 【例1】（23-24高二下·云南·期末）的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．若，，，则（   ） A． B． C．4 D．3 【答案】D 【分析】利用余弦定理求解即可. 【详解】由，得， 解得. 故选：D. 【例2】（22-23高一下·江苏扬州·期中）已知两地相距5 km，两地相距10，若测得，则两地间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由余弦定理直接求解即可. 【详解】由余弦定理得，， 即，则. 故选：D. 【例3】（24-25高三上·山东枣庄·阶段练习）已知内角，，的对边分别为，，.已知，，，则 ． 【答案】3 【分析】结合三角形内角和、诱导公式与余弦定理计算即可得解. 【详解】由， 故， 则，故. 故答案为：3. 【例4】（24-25高三上·广东深圳·阶段练习）的内角，，的对边分别为，，，已知，，，则 ． 【答案】 【分析】由余弦定理求解即可； 【详解】由余弦定理可得， 解得， 所以， 故答案为：. 【例5】（24-25高三上·江苏盐城·期中）在中，，，，点D在边上，为的平分线. (1)求的长； (2)若点P为线段上一点，且为等腰三角形，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由，结合面积公式即可得出答案； （2）由余弦定理和角平分线定理可得，即可求出，为等边三角形，再由余弦定理和同角三角函数的基本关系即可得答案. 【详解】（1）因为为的平分线，所以， 所以， 所以， 所以，即， 可得：. （2）由余弦定理可得：， 所以，所以， 由角平分线定理可得：，又因为， 所以，又因为，， 所以，所以， 又因为为等腰三角形，，所以为等边三角形， 所以，则为的中点，在中， 由余弦定理可得 ，所以， 所以，在中， 由余弦定理可得， 因为，所以， 所以. 【核心考点八 余弦定理边角互化的应用】 【例1】（24-25高三上·海南海口·阶段练习）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知及余弦边角关系可得，进而有，即可求目标函数值. 【详解】由题设，易知，又，则， 所以. 故选：C 【例2】（2024高三·全国·专题练习）在中，若内角的对边分别为，，则的形状为（    ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形 【答案】B 【分析】根据二倍角公式可得，即可利用余弦定理化简得求解. 【详解】在中，由已知得，所以， 根据余弦定理，得 所以，即， 因此是直角三角形. 故选：B. 【例3】（24-25高二上·浙江杭州·期中）在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若边上的高为4，则的面积为 . 【答案】12 【分析】设边上的高为，由射影定理可得，结合三角形面积公式即可得解. 【详解】 设边上的高为，则， 由题意， 故则的面积为. 故答案为：12. 【例4】（2024高三·全国·专题练习）在中，内角的对边分别为，若，且，则 . 【答案】1 【分析】根据余弦定理得，即可得，进而可求解. 【详解】因为，两边同时乘以得：， 由余弦定理可得，则，所以有， 又，所以，故， 又因为，所以. 故答案为：1 【例5】（2024·河南·模拟预测）已知函数，在中，角所对的边分别为，且. (1)求； (2)若，求的值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据题干条件将函数解析式通过二倍角公式和辅助角公式化简，再代入求得的值； （2）由（1）中求得的和条件利用余弦定理建立关系式即可求得的值. 【详解】（1）由题意得，因为， 所以由，得. 又因为，所以， 所以，. （2）由（1）得，.所以由余弦定理可得，， 又因为，所以， 所以，即， 即，故. 把代入，可得， 所以. 【核心考点九 正弦定理边角互化的应用】 【例1】（24-25高三上·甘肃白银·阶段练习）在中，若，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据得到，求出. 【详解】∵在中，，∴， ∴． 故选：B. 【例2】（24-25高三上·内蒙古呼和浩特·期中）的三边，，所对的角分别为，，.若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题设及三角形内角性质求各角的大小，结合正弦边角关系求结果. 【详解】由，且，则， 又，且，则， 所以. 故选：D 【例3】（24-25高三上·上海·阶段练习）中，，则 . 【答案】 【分析】利用正弦定理角化边，再结合勾股定理即可求得答案. 【详解】因为，所以， 设,则, 又，所以该三角形为直角三角形， 所以， 所以， 故答案为：. 【例4】（2024高三·北京·专题练习）在中，若，则k的一个取值为 . 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据题意，利用正弦定理，求得，进而得到的一个取值，得到答案. 【详解】因为，由正弦定理，可得， 又因为，所以，所以， 因为，取，所以. 故答案为：（答案不唯一）. 【例5】（2024高三·全国·专题练习）在钝角三角形中，内角，的对边分别为，，且． (1)求角的大小． (2)若点在边上，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理边化角，再利用三角恒等变换化简，即可求解； （2）使用两次余弦定理，先求出，然后得到答案. 【详解】（1）我们用表示，则由得． 所以，从而. 由于三角形是钝角三角形，但，，故钝角只能是. 从而由，及，可知. 而，故，解得，所以. （2） 由于，故，所以，故三角形是等腰三角形，且. 由于题目仅涉及边长长度的比值和角度，故可不妨设，则. 由于，故，，从而. 故，这就得到， 所以． 【点睛】方法点睛：本题以解三角形为背景，考查正弦定理、诱导公式、两角和与差的正弦公式等多个知识点，体现了对基础性、综合性的考查要求．对于第（1）小问，还可以这样解，在得到后，根据正弦定理将化为，于是，所以，从而求出与角的大小．对于第（2）小问，可以过点作边的垂线，垂足为，则，利用正切函数的定义即可求出，的正切值，于是利用两角差的正切公式即可求出答案．作垂线构造直角三角形是我们解决解三角形问题常用的方法． 【核心考点十 正弦定理边角互化的应用】 【例1】（24-25高二上·广东广州·阶段练习）在中，，且的面积为，则边的长为（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】由三角形的面积公式求解即可. 【详解】因为的面积为，所以， 所以. 故选：A. 【例2】（24-25高二上·河北张家口·开学考试）如图，在中，角所对的边分别为交于点，且，则的值为（    ）    A． B． C．6 D．3 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用三角形面积公式列式计算即得. 【详解】依题意，，即， 则，所以. 故选：A 【例3】（24-25高三上·湖南·期中）将一副三角板按如图所示的位置拼接：含角的三角板的长直角边与含角的三角板的斜边恰好重合.与相交于点.若，则 . 【答案】 【分析】根据三角板的内角以及边长利用三角恒等变换和等面积法即可得. 【详解】由题可知. 由可得： ， 则， 解得. 故答案为： 【例4】（24-25高二上·北京·期中）在中，，，点在边上，，，则（1） ；（2）的面积为 . 【答案】 【分析】（1）在中，应用正弦定理即可；（2）由即可求得. 【详解】解：（1）因为在中，，，， 所以， 于是在中，由正弦定理可知，， 所以； （2）. 故答案为： ； 【例5】（24-25高三上·山西吕梁·阶段练习）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中，，. (1)求A； (2)求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理及二倍角的正弦公式化简求解即可； （2）结合题设及两角和与差的正弦公式可得，，进而求得，，进而求得，再根据三角形面积公式求解即可. 【详解】（1）由， 由正弦定理得，， 因为，所以，， 则， 即，则. （2）由（1）知，， 因为，所以， 则， 即， 即，因为， 则，即，， 则， ， 由，则， 则， 所以的面积为. 【核心考点十一 正、余弦定理的其他应用】 【例1】（23-24高一下·北京·阶段练习）如图,甲船以每小时海里的速度向正北方向航行,乙船按固定方向匀速直线航行,当甲船位于处时,乙船位于甲船的北偏西方向的处,此时两船相距海里,当甲船航行分钟到达处时,乙船航行到甲船的北偏西方向的处,此时两船相距海里,则乙船每小时航行（    ） A．海里 B．海里 C．海里 D．海里 【答案】D 【分析】先根据已知条件得到和的长,在利用已知条件和余弦定理求出的长即可得到结果. 【详解】连接,如图: 由已知条件得:, 因为甲船的速度是每小时海里, 所以, 则是等边三角形, 所以, 因为当甲船位于处时,乙船位于甲船的北偏西方向的处, 所以, 则, 即, 所以乙船航行的速度是海里/小时, 即乙船每小时航行海里. 故选:D. 【例2】（23-24高一下·江苏南京·期末）在某城市正东方向200km处有一台风中心，它正向西北方向移动，移动速度的大小为20km/h，距离台风中心 150km. 以内的地区都将受到影响，若台风中心的这种移动趋势不变，大约几小时后该城市所在地开始受到影响.(参考数据： （    ） A．2 B．4.5 C．9.5 D．10 【答案】B 【分析】根据题意画出示意图，利用余弦定理即可求解. 【详解】 如图，当台风中心向西北方向移动到达点时，的距离恰好150km，此时该城市所在地开始受到影响， 设小时后该城市所在地开始受到影响, 台风中心移动速度的大小为20km/h，所以km，由题意知，km, 又台风中心向西北方向移动，所以, 由余弦定理可得， 解得或（舍）， 则开始受到影响在之后. 故选：B. 【例3】（24-25高二上·重庆·阶段练习）台风“摩羯”于2024年9月1日晚在菲律宾以东洋面上生成．据监测，“摩羯”台风中心位于某海滨城市（如图）的东偏南方向350km的海面处，并以的速度向西偏北方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为130km，并以的速度不断增大， 小时后，该海滨城市开始受到台风侵袭．    【答案】8 【分析】设在小时后，该海滨城市开始受到台风侵袭，此时台风中心位于点，利用两家和差公式求得，在结合余弦定理运算求解即可. 【详解】设在小时后，该海滨城市开始受到台风侵袭，此时台风中心位于点，    则，且， 因为，则， 可得， 在中，由余弦定理可得， 即， 整理可得，解得或， 故8小时后该海滨城市开始受到台风侵袭． 故答案为：8. 【例4】（23-24高一下·浙江宁波·期末）已知海岛在海岛的北偏东的方向上，且两岛的直线距离为. 一艘海盗船以的速度沿着北偏东方向从海岛出发，同时海警船以的速度从海岛进行追赶，经过小时后两船相遇，则海警船的航行方向是北偏东 . 【答案】 【分析】设海警船的航行方向是北偏东，根据条件，利用正弦定理得到，即可求解. 【详解】设海警船的航行方向是北偏东， 由题知，，， 在中，由正弦定理得到，得到， 又，所以，得到， 故答案为：. 【例5】（23-24高一下·内蒙古赤峰·阶段练习）某海域的东西方向上分别有两个观测点（如图），它们相距海里.现有一艘轮船在点发出求救信号，经探测得知点位于点北偏东，点北偏西，这时，位于点南偏西且与点相距海里的点有一救援船，其航行速速为海里/小时. (1)求点到点的距离； (2)若命令处的救援船立即前往点营救，求该救援船到达点需要的时间. 【答案】(1) (2)2小时 【分析】（1）在中利用正弦定理，求出； （2）在中，利用余弦定理求出，根据速度求出时间． 【详解】（1）由题意知海里， ， ， 在中，由正弦定理得， ， （海里）. （2）在中，， （海里），由余弦定理得 ， （海里），则需要的时间（小时）． 答：救援船到达点需要2小时． 【核心考点十二 求三角形面积的最值或范围】 【例1】（23-24高一下·安徽阜阳·期中）已知在中，，为的中点，且，则边上高的最大值为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】设，由余弦定理结合三角形面积公式可得的面积的表达式，结合二次函数性质可求出其最大值，即可求得的面积最大值，从而求解. 【详解】由题意为的中点，设，则， 则在中，, 则的面积 ，当时取等号， 所以的面积最大值为，的面积最大值为， 上高的最大值为． 故选：D． 【例2】（2024·陕西·模拟预测）在中，角所对的边分别为，已知，则面积的最大值为（    ） A． B． C．12 D．15. 【答案】C 【分析】先利用正弦定理化边为角，可得出的关系，再利用余弦定理求出，进而可得出，再根据三角形的面积公式结合二次函数的性质即可得解. 【详解】由，由正弦定理得，即， 所以， 由余弦定理得， 所以， 所以， 当，即时，取得最大值. 故选：C. 【例3】（24-25高三上·江苏泰州·阶段练习）已知a，b，c分别是的三个内角A，B，C的对边，已知角，，若是锐角三角形，则的面积为S的取值范围为 ；若是钝角三角形，则边a的取值范围为 . 【答案】 【分析】若是锐角三角形，先利用正弦定理求出，再表达出锐角三角形的面积，求出的范围，即可求解；若是钝角三角形，分别讨论为钝角及为钝角，结合直角的临界状态计算即可得. 【详解】由正弦定理得，所以， 故， 又因为是锐角三角形，所以，故， 所以，，故， 即的面积为S的取值范围为； 因为是钝角三角形， 若为钝角，如图，作于点，有， 即，即， 若为钝角，如图，作于点，有， 即，即， 综上所述：的取值范围是； 故答案为：；. 【点睛】关键点点睛：当是钝角三角形，关键点在于分为钝角及为钝角，分别找出直角的临界情况求出范围. 【例4】（24-25高三上·湖南邵阳·阶段练习）已知三角形中，，角的平分线交于点，若，则三角形面积的最大值为 【答案】12 【分析】设，，则，结合正弦定理表示得，由余弦定理可得与的关系式，联立前式由同角三角函数和二次函数性质化简即可求解. 【详解】设，，则对，由正弦定理可得①， 对，由正弦定理可得②， 又，所以，又， 联立①②式可得，则， 则， 对，由余弦定理可得， 则 ， 当时，有最大值，，所以. 故答案为：12 【例5】（2024高三·全国·专题练习）在中，角所对的边分别为，已知． (1)求； (2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用余弦定理和正弦定理边化角可化简已知边角关系式得到，由此可得； （2）利用正弦定理边化角，将所求面积表示为，根据的范围可求得结果. 【详解】（1）， ，即， 由正弦定理得：， ， ，，，又，. （2）由正弦定理得：，， ， ，为锐角三角形，，， ，， 即面积的取值范围为. 【变式训练1 用向量证明线段垂直】 1．（2022高一·全国·专题练习）若在所在的平面内，且满足以下条件，则是的（    ） A．垂心 B．重心 C．内心 D．外心 【答案】C 【分析】，分别表示在边和上的单位向量，可设为和， 则，则当时，即， 点在的角平分线上，同理证明即可求解. 【详解】，分别表示在边和上的单位向量，可设为和， 则，则当时，即，点在的角平分线上； ，分别表示在边和上的单位向量，可设为和， 则，则当时，即， 点在的角平分线上； ，分别表示在边和上的单位向量，可设为和， 则，则当时，即， 点在的角平分线上，故是的内心. 故选：C. 2．（21-22高一·全国·课前预习）在平行四边形ABCD中，M、N分别在BC、CD上，且满足BC＝3MC，DC＝4NC，若AB＝4，AD＝3，则△AMN的形状是(    ) A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形 【答案】C 【分析】由图猜测AN与MN垂直，故验证是否为零即可. 【详解】∵ . ∴， ∴是直角三角形. 故选：C. 3．（2023·天津南开·一模）在平面四边形中，，则 ； . 【答案】 【分析】根据求出B的大小，从而可判断△ABC的形状，从而求出；再求出，从而求出∠ACD的大小，再根据即可求出． 【详解】∵， 又，故， ∵，故， ∴为等边三角形，则； ∵，∴，又，∴， 得， ∴， 根据以上分析作图如下： 则∠BCD=150°， 则 ． 故答案为：1； 4．（21-22高三上·北京海淀·阶段练习）已知，，能说明“存在、，使得对任意恒成立”是真命题的一组，的值为 ， ． 【答案】 0 （答案不唯一） 【分析】若，则，则，可取，检验即可得出结论. 【详解】解：若，则， 又，， 则， 可取， 则 ， 所以当时，对任意恒成立. 故答案为：；（答案不唯一） 5．（23-24高一·上海·课堂例题）在等腰三角形ABC中，已知D为底边BC的中点，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】用表示出，，然后求数量积即可证明. 【详解】证明：在等腰三角形ABC中，，， 因为D为底边BC的中点，所以， 所以， 所以，即. 【变式训练2 用向量解决夹角问题】 1．（22-23高三下·广西南宁·开学考试）设平面向量，，若与的夹角为钝角，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由两向量的夹角为钝角，则需两向量的数量积小于零，且两向量不共线可求得的取值范围. 【详解】解：∵与的夹角为钝角， ∴，且， ，且， 故选：A． 【点睛】本题考查向量的夹角为钝角的条件：两向量的数量积小于零且两向量不共线，属于基础题. 2．（22-23高一·全国·期中）已知三点不共线，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意结合平面向量数量积的知识可得，进而可得，即可得解. 【详解】因为， 所以即， 所以，所以， 又，，三点不共线，所以，所以，. 故选：B. 【点睛】本题考查了平面向量数量积的应用和三角函数值符号的确定，属于基础题. 3．（22-23高一下·山东聊城·期末）如图，在中，已知，，，是的中点，，设与相交于点，则 ．    【答案】 【分析】用和表示和，根据以及，，，可求出结果. 【详解】因为是的中点，所以， ， 因为，， ， 所以， 所以. 故答案为：. 4．（22-23高一下·湖南怀化·期末）在中，已知，，，和边上的两条中线，相交于点，则的余弦值为 【答案】/ 【分析】由已知结合向量的线性表示及向量数量积的性质即可求解. 【详解】 由已知得即为向量与的夹角. 因为M、N分别是，边上的中点， 所以，. 又因为， 所以 ， , , 所以. 故答案为： 5．（22-23高一下·山东泰安·阶段练习）设两个向量满足． (1)若，求的夹角； (2)若的夹角为，向量与的夹角为钝角，求实数t的取值范围． 【答案】(1) (2)且 【分析】（1）先由可求，再用向量夹角余弦的公式可得，则的夹角可求. （2）由向量与的夹角为钝角，可得且与不共线，再求解相应不等式即可. 【详解】（1） 又 即 又 （2）的夹角为且 向量与的夹角为钝角 且与不共线 即 解得：且 实数t的取值范围且 【变式训练3 用向量解决线段的长度问题】 1．（2022·全国·模拟预测）在平行四边形中，点，满足，，且，设，则（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】由题意可知是线段的中垂线，从而可得结果. 【详解】由得是的中点， 又由得，所以. 故选：B. 2．（22-23高一下·浙江杭州·期中）设，是边上一定点，满足，且对于边上任一点P，恒有.则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】取的中点D，由极化恒等式可得，，从而可得，即可得出，由，得出答案. 【详解】如图，取的中点D， 由极化恒等式可得：， 同理，，由于， 则，所以， 因为，D是的中点，于是. 故选：D. 3．（2022高三·全国·专题练习）正方形的面积为16，，点在线段上．若，则 ． 【答案】 【分析】如图建立直角坐标系，可得，又设，后结合可得t，即可得答案. 【详解】如图建立直角坐标系，因正方形的面积为16， 则，又，则M为AB中点， 则，因点在线段上，则设，则，. 则，故. 故答案为：. 4．（22-23高一下·湖南永州·期末）一个人骑自行车由A地出发向东骑行了到达B地，由B地向南东方向骑行了到达C地，从C地向北偏东骑行了到达D地，则A，D两地的距离是 ． 【答案】 【分析】结合题意建立直角坐标系，利用向量的坐标运算求出，从而求出即可. 【详解】以A为原点，AB所在直线为x轴建立直角坐标系，如图，    则，，即， ，即， 所以，故. 所以A，D两地距离为. 故答案为：. 5．（24-25高一上·上海·课堂例题）求函数的最大值，以及y取得最大值时x的值． 【答案】当时，函数取得最大值为． 【分析】对函数变形后，将问题转化为求两个向量模的差的最大值问题，然后利用向量模的性质求解即可. 【详解】， 可设向量，，则， 所以，当且仅当与同向时，等号成立． 由，解得． 因此，当时，函数取得最大值为． 【变式训练4 力的合成】 1．（23-24高一下·陕西渭南·期中）已知一个物体在三个力，，的作用下，处于静止状态，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由静止得到，由向量的加法得到，进而得到. 【详解】因为该物体静止，所以，所以， 又因为，所以， 故选：B. 2．（2024高一下·全国·专题练习）一物体受到相互垂直的两个力的作用，两力大小都为 N，则两个力的合力的大小为（    ） A．5 N B． N C． N D． N 【答案】D 【分析】根据合力与分力的关系，结合平面向量数量积的运算性质进行求解即可. 【详解】因为一物体受到相互垂直的两个力的作用， 所以有， 所以两个力的合力的大小为： ， 故选：D 3．（23-24高一下·山东青岛·期末）如图为某种礼物降落伞的示意图，其中有8根绳子和伞面连接，每根绳子和水平面的法向量的夹角均为60°．已知礼物重量为2kg，每根绳子的拉力大小相同.则降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小为 N．（重力加速度g取） 【答案】 【分析】根据降落伞匀速下落可知根绳子拉力的合力的大小等于礼物重力的大小，则绳子的拉力在水平面的法向量方向上的投影向量与礼物的重力是一对相反向量，由此可构造方程求得结果. 【详解】设水平面的单位法向量为，其中每一根绳子的拉力均为， 因为，所以在上的投影向量为， 所以8根绳子拉力的合力为， 又因为降落伞匀速下落，所以， 所以，，所以. 故答案为：. 4．（22-23高一下·天津西青·期末）在体育课上，同学们经常要在单杠上做引体向上运动（如图），假设某同学所受重力为，两臂拉力分别为，，若，与的夹角为，则以下四个结论中： ①的最小值为； ②当时，； ③当时，； ④在单杠上做引体向上运动时，两臂夹角越大越省力．在以上四个结论中，正确的序号为 ． 【答案】①②③ 【分析】由受力分析，有，依次判断即可. 【详解】对于①，当与方向竖直向上时，的最小，此时，所以①正确； 对于②，当时，，，所以②正确； 对于③，当时，，，所以③正确； 对于④，由，当越大时，越小，越大，越费力，所以④错误． 故答案为：①②③． 5．（24-25高一·上海·课堂例题）已知质点受到三个力、、的作用，若它们的大小分别为，，，且三个力之间的夹角都为120°，求合力的大小和合力与所成角的大小. 【答案】合力的大小为，与所成角的大小为. 【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用向量的坐标运算求解即得. 【详解】如图，以质点为坐标原点，向量所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，    则，，， 于是合力，，，， 所以合力的大小为，与所成角的大小为. 【变式训练5 速度、位移的合成】 1．（22-23高一下·广东清远·阶段练习）一条东西方向的河流两岸平行，河宽250m，河水的速度为向东km/h.一艘小货船准备从河的这一边的码头A处出发，航行到位于河对岸B(AB与河的方向垂直)的正西方向并且与B相距m的码头C处卸货.若水流的速度与小货船航行的速度的合速度的大小为6km/h，则当小货船的航程最短时，求此时小货船航行速度为多少. （    ） A．km/h B．km/h C．km/h D．km/h 【答案】B 【分析】根据平面向量的性质，结合平面向量数量积的运算性质进行求解即可. 【详解】如图所示：   ，， ， 设合速度为，小货船航行速度为，水流的速度为， 则有所以有 ， 故选：B. 2．（23-24高一下·广东惠州·开学考试）已知飞机从A地按北偏东的方向飞行到达B地，再从B地按南偏东的方向飞行到达C地，再从C地按西南方向飞行到达D地.则D地距A地（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用“上北下南左西右东”建立直角坐标系，结合题意标出各点位置，从而在与中依次求得，从而得解. 【详解】以为原点，正东方向为轴正方向，正北方向为轴正方向建立直角坐标系． 由题意知点在第一象限，点在x轴正半轴上，点在第四象限，        由已知可得，为正三角形，，所以． 又，，则， 所以为等腰直角三角形，所以. 故选：D. 3．（24-25高一上·上海·课后作业）一架飞机向南飞行千米，然后向西飞行千米，则飞机飞行的路程及两次位移的和分别为 . 【答案】路程为180千米，位移的和为“西南方向，千米” 【分析】根据题意画出示意图，再由向量的加减运算，即可得出结论． 【详解】如图，飞机从点向南飞行到达点，然后向西飞行到达点， 则，， 所以飞机飞行的路程为：， 由勾股定理得，飞机飞行的位移为：，方向为西南. 故答案为：路程，位移的和为“西南方向，”. 4．（24-25高一上·上海·单元测试）长江某地南北两岸平行，一艘游船从南岸码头出发航行到北岸.假设游船在静水中的航行速度的大小为，水流的速度的大小为.设和的夹角为（），北岸的点在的正北方向，则游船正好到达处时， . 【答案】/ 【分析】若游船能到处，则有，即可求出. 【详解】若游船正好到达处，即和速度与同向， 则有， 所以， 故答案为： 5．（24-25高一上·上海·课后作业）一人从点A出发，向东走500米到达点B，接着向北偏东60°方向走300米到达点C，然后向东北方向走100米到达点D.选择适当的比例尺，用向量表示这个人的位移. 【答案】答案见解析 【分析】根据题意作图即可. 【详解】根据题意，画出图形，如图： 向量为这个人的位移. 【变式训练6 功、动量的计算】 1．（23-24高一下·宁夏银川·阶段练习）一物体在力的作用下，由移动到.已知，则对该物体所做的功为（    ） A． B．26 C．8 D．18 【答案】A 【分析】根据数量积公式，即可求解. 【详解】由题意可知，，， 所以，所以对该物体所做的功为. 故选：A 2．（21-22高一下·江苏无锡·阶段练习）一物体在力的作用下，由点移动到点．已知，则对该物体所做的功为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 根据数量积的坐标表示计算可得. 【详解】 由，，所以，又， ∴对物体做的功． 故选：B． 3．（24-25高一上·上海·课前预习）如图所示，在一个光滑的水平面上，我们拖动一个物体，如果拖力的方向与物体移动的方向成角，而物体在力的作用下产生的位移为，那么力所做的功是 ．    【答案】 【分析】根据力所做的功，利用平面向量数量积公式计算即可． 【详解】根据力所做的功， 故答案为： 4．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知，作用于同一质点，由移动到点，合力对质点所做的功为 . 【答案】111 【分析】由合力对质点所做的功为：求解即可． 【详解】解：合力， ， 合力对质点所做的功为：． 故答案为：111 5．（24-25高一下·全国·课前预习）如图，一辆小车在拉力的作用下产生了位移，由上节知识可知，拉力所做的功.对应图中的哪个量？拉力所做的功还可以如何描述？    【答案】，拉力所做的功等于拉力在位移方向上的分量与的乘积. 【分析】略 【详解】由题意可知， 拉力所做的功等于拉力在位移方向上的分量与的乘积. 【变式训练7 余弦定理解三角形】 1．（24-25高三上·广东深圳·阶段练习）克罗狄斯托勒密（约90-168年）是希腊著名的数学家、天文学家和地理学家．托勒密定理是欧几里得几何中的重要定理，定理内容如下：任意一凸四边形，两组对边乘积的和不小于两对角线的乘积，当且仅当四点共圆时，等号成立．已知在凸四边形中，，，，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】记，利用余弦定理表示出，然后根据题中结论可得. 【详解】设，则， 在中，由余弦定理得， 由题知，，即， 所以，当且仅当四点共圆时取等号， 所以的最大值为. 故选：D    2．（24-25高二上·重庆·阶段练习）的内角对应的边分别为，若，则（    ） A． B． C．或 D．无解 【答案】C 【分析】根据给定条件利用余弦定理列出方程求解即得. 【详解】在中，因， 于是由余弦定理得：， 即，解得或. 故选：C 3．（24-25高三上·安徽马鞍山·期中）在中，若的面积为，，，则 ． 【答案】 【分析】利用三角形的正弦面积公式和余弦定理即可求解. 【详解】由的面积为，可得：，化简得：， 再由，可得， 最后由余弦定理得：， 所以， 故答案为：. 4．（24-25高二上·重庆·开学考试）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，且，则 . 【答案】 【分析】根据余弦定理化简得到，代入题中的等式算出，进而可得角的大小. 【详解】根据余弦定理可得， ， 因为， 所以，即， 解得，结合，可知. 故答案为：. 5．（2024·四川宜宾·一模）已知函数，在锐角中，内角的对边分别为，且. (1)求； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据二倍角公式以及辅助角公式可得，即可根据三角函数的性质求解， （2）根据余弦定理可得，，即可代入得，利用二次函数的性质即可求解. 【详解】（1）由可得， 由得，故或， 解得或，， 结合为锐角，故 （2）， 由于为锐角三角形，由余弦定理可得，即， 故， 令，则对称轴为， 故当时，取最小值，， 故 【变式训练8 余弦定理边角互化的应用】 1．（23-24高一下·河南漯河·期末）三角形中，内角的对边分别为，若，则三角形的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】A 【分析】根据余弦定理进行转化，判断三角形的形状. 【详解】由余弦定理，， 因为，所以. 故选：A 2．（22-23高三上·河南濮阳·阶段练习）在中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且．若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】将已知等式利用余弦定理统一成边的形式，化简变形可求得结果. 【详解】， ， ，． ，即． ，，即． 故选：D 3．（2024高三·全国·专题练习）已知分别为的内角的对边，且.角 . 【答案】 【分析】利用余弦定理进行角化边，最后得到，最后利用正切值求解角度即可. 【详解】在中，由余弦定理得，，代入得， 则，即， 即，因为，但时上式不成立， 所以，所以，则. 故答案为： 4．（23-24高一下·上海·期中）在中，是的三边且满足，则角A的大小为 . 【答案】 【分析】根据题意利用余弦定理边角转化即可得结果. 【详解】因为，即， 由余弦定理可得， 且，所以. 故答案为：. 5．（2024高三·全国·专题练习）记的内角、、的对边分别为、、，已知，求. 【答案】 【分析】根据给定条件，利用余弦定理角化边，再利用余弦定理求出. 【详解】在中，由及余弦定理 得，化简得， 由余弦定理得，而， 所以. 【变式训练9 正弦定理边角互化的应用】 1．（24-25高三上·北京丰台·期中）在中，，，分别为内角，，的对边，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正弦定理的边角变换与三角函数的和差公式得到，进而得到，从而得解. 【详解】因为， 所以由正弦定理得， 则， 所以， 因为，所以，则， 所以. 故选：C. 2．（24-25高三上·北京·阶段练习）在中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正弦定理边化角，结合和角的正弦公式求解即得. 【详解】在中，由及正弦定理, 得， 则，而，解得，又， 所以. 故选：C 3．（24-25高三上·上海虹口·阶段练习）在中，已知角所对的边分别为，若，则 . 【答案】 【分析】根据正余弦定理边角互化即可求解. 【详解】由可得， 进而可得， 所以， 由于,故， 故答案为： 4．（22-23高一下·江苏淮安·阶段练习）在中，若，则角A的大小为 ． 【答案】 【分析】先利用正弦定理将边转化为角，再切化弦，利用和角的正弦公式，化简即可求得角． 【详解】 由正弦定理可得 角是的内角 故答案为：． 5．（2024高三·全国·专题练习）从①点是函数的图象的一个对称中心；②；③这三个条件中选一个补充到下面的横线并作答. 问题：在锐角中，内角所对的边分别为，且______. (1)求； (2)求的取值范围. 注：若选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）选择①，利用二倍角公式、辅助角公式，结合正弦函数性质求解；选择②，利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦求解；选择③，利用正弦定理边化角，再利用二倍角公式求解. （2）由（1）的结论，利用和角的正弦公式，结合正切函数的性质求解. 【详解】（1）选择①：点是函数的图象的一个对称中心， 而，则，即， 由，得，则，所以. 选择②：，由正弦定理得， 由，得，则， 即， 因此，由，得，则，又， 所以. 选择③：，由正弦定理得， 由，得，则，而， 于是，由，得，因此，， 所以. （2）由（1）得，， 则， 在锐角中，，得，，， 所以的取值范围为. 【变式训练10 三角形面积公式及其应用】 1．（24-25高三上·河北衡水·阶段练习）设内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知，若的周长为1．则（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【分析】根据正弦定理可得，利用面积公式可得，再结合周长公式运算求解. 【详解】由正弦定理（为的外接圆半径）， 可得， 且，则均为正数， 因为， 可得， 又因为的周长为， 所以. 故选：B. 2．（23-24高一下·江西萍乡·期末）的内角，，所对的边分别为，，，，，，则的面积为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】先根据正弦定理解出或，再根据三角形内角和定理求出，从而可以由面积公式解得． 【详解】由正弦定理得，即，解得， 是三角形内角，或 当时，，； 当时，． 故选：C． 3．（24-25高三上·四川德阳·阶段练习）已知在中，角的对边分别为，满足，则的面积的范围为 . 【答案】 【分析】根据三角形面积公式以及三角形内角正弦值的范围即可求解. 【详解】由题知，， 因为， 所以， 所以的面积为. 故答案为： 4．（24-25高二上·上海·期中）在中，若，且的面积为，则 ． 【答案】 【分析】代入三角形面积公式求解即可. 【详解】解：因为，且的面积为， ，解得：. 故答案为： 5．（24-25高三上·四川眉山·期中）已知的内角的对边分别为，且满足. (1)求角的大小； (2)若且的面积为，求边. (3)若，且，求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用正弦定理及两角和的正弦公式化简已知得，然后利用同角函数基本关系及特殊角的函数值求解即可. （2）直接利用三角形面积公式列方程求解即可. （3）结合角的范围利用同角三角函数基本关系求得，然后利用两角差的正弦公式求解即可. 【详解】（1）由得：， ， ，即， ，，即， 又，. （2）由及得：，解得：. （3），， 所以由得：， 所以 . 【变式训练11 正、余弦定理的其他应用】 1．（23-24高三上·广东江门·阶段练习）气象台在早上8:00观测到一台风，台风中心在气象台正西方向处，它正向东北方向移动，移动速度的大小为；距离台风中心以内的地区都将受到影响.若台风中心的这种移动趋势不变，该气象台受到台风影响的时段为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用余弦定理结合物理学知识求解即可. 【详解】如图，由余弦定理，得 ， 于是， 解得或， 所以，台风从O到B用时小时，台风从O到C用时小时. 故，A点受到台风影响的时间是早上8:00后的5小时至10小时之间，即13:00-18:00. 故选：B. 2．（22-23高二上·河北·期中）台风中心从地以的速度向西北方向移动，离台风中心内的地区为危险地区，城市在地正西方向的处，则城市处于危险地区内的时长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作出平面图形后，可求得到的距离，结合勾股定理可求得的长度，由此可得所求时长. 【详解】以为圆心，为半径作圆，与运动方向交于两点， 由题意知：，，， 作，垂足为，则为中点， ，，， 城市处于危险地区内的时长为. 故选：D. 3．（22-23高一下·浙江宁波·期中）如图，一座垂直建于地面的信号发射塔CD的高度为，地面上一人在A点观察该信号塔顶部，仰角为，沿直线步行后在点观察塔顶，仰角为，若，此人的身高忽略不计，则他的步行速度为 . 【答案】 【分析】根据题意可得，，在中，利用余弦定理求，即可得结果. 【详解】在Rt中，，则； 在Rt中，，则； 在中，由余弦定理， 可得， 所以步行速度为为. 故答案为：. 4．（22-23高一下·云南·阶段练习）如图，飞鸟甲、小鱼乙处于同一平面，甲自左向右飞行，甲发现乙在水面上以的速度自左向右作匀速直线运动（此时甲、乙之间的距离为10m，乙在甲右偏下60°的方向上），立刻以的速度斜向下作匀速直线运动，则甲一次性成功捕获乙的最短时间约为 .（，结果保留两位有效数字） 【答案】1.5 【分析】如图，设甲一次性成功捕获乙的地点是，时间为，由余弦定理列出关于的方程，解方程可得． 【详解】如图，记飞鸟甲在点，小鱼乙在点，设甲一次性成功捕获乙的地点是，时间为，易得，，，，由余弦定理，， 整理得，得或（舍去），所以. 故答案为：1.5. 5．（23-24高一下·河北·期末）如图，甲船在点处通过雷达发现在其南偏东方向相距20海里的处有一艘货船发出供油补给需求，该货船正以15海里/时的速度从处向南偏西的方向行驶．甲船立即通知在其正西方向且相距海里的处的补给船，补给船立刻以25海里/时的速度与货船在处会合． (1)求的长； (2)试问补给船至少应行驶几小时，才能与货船会合？ 【答案】(1)70海里 (2)2小时 【分析】（1）由题可得，利用余弦定理即可求解； （2）由余弦定理可得，根据几何关系结合两角和的余弦公式求出，再在中，利用余弦定理即可求出时间. 【详解】（1）根据题意可得． 因为海里，海里， 所以根据余弦定理可得海里． （2）由余弦定理可得，则， 所以． 设当补给船与货船会合时，补给船行驶的最少时间为小时，则海里，海里． 在中，解得或（舍去）， 故当补给船与货船会合时，补给船行驶的时间至少为2小时． 【变式训练12 求三角形面积的最值或范围】 1．（22-23高三上·贵州遵义·期中）已知的内角所对的边分别为，若，，则面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用余弦定理和基本不等式可求得的最大值，代入三角形面积公式即可. 【详解】由余弦定理得：， （当且仅当时取等号），， ，即面积的最大值为. 故选：A. 2．（21-22高一上·福建福州·期末）我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数书九章》中独立提出了一种求三角形面积的方法“三斜求积术”，即的面积，其中分别为的内角的对边，若，且，则的面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据求出关系，代入面积公式，利用二次函数的知识求解最值. 【详解】因为，所以， 即； 由正弦定理可得，所以 ； 当时，取到最大值. 故选：A. 3．（2024·陕西安康·模拟预测）如图，平面四边形中，，则四边形面积的最大值为 .    【答案】10 【分析】设，利用余弦定理求出，进而可求出，再根据换元，结合三角函数的性质即可得解. 【详解】设， 则， 而， 则， 所以， 令，则， 则 ，其中， 当且仅当时取等号， 此时，即， 所以四边形面积的最大值为10. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：解三角形的基本策略： （1）利用正弦定理实现“边化角”； （2）利用余弦定理实现“角化边”. 求三角形有关代数式的取值范围也是一种常见的类型，主要方法有两类： （1）找到边与边之间的关系，利用基本不等式来求解； （2）利用正弦定理，转化为关于某个角的三角函数，利用函数思想求解. 4．（23-24高二上·四川成都·期末）已知某平面内三角形为等腰三角形， ， 点为中点， 且， 则面积的最大值为 . 【答案】 【分析】根据向量的模长公式可得，即可利用面积公式得，利用二次函数的性质即可求解. 【详解】设 由于,所以, 故, 故当时，此时取最大值36，故面积的最大值为6， 故答案为：6 5．（24-25高三上·湖北武汉·期中）在中，内角，，的对边分别为，，，． (1)求； (2)若角的平分线交边于点，，求面积的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理化边为角，再根据三角形内角和定理结合两角和差的正弦公式化简即可得解； （2）根据角平分线性质，求得和，再将转化为与的关系，利用基本不等式求解即可. 【详解】（1）因为， 由正弦定理得， 则， 即， 又，所以，所以， 又，所以， 所以，所以； （2）如图，由题意及第（1）问知，， 且， ∴， ∴，化简得， ∵，，∴由基本不等式得，∴， 当且仅当时，等号成立， ∴， ∴， 故的面积的最小值为.    1．（22-23高一下·陕西西安·期中）已知中，，，则此三角形为（　　） A．直角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【分析】根据即可得为等腰三角形，又因为可知，所以为等边三角形. 【详解】如下图所示：    设M为AC中点，则， 所以，即为等腰三角形， 又，所以， 即， 所以，可得， 综上可知三角形为等边三角形. 故选：B. 2．（21-22高一下·全国·课后作业）一物体在大小为的力的作用下产生的位移的大小为，且力所做的功，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用平面向量数量积的定义即可求解. 【详解】由题意可知：，即， 解得：， 故选：D. 3．（24-25高三上·天津·期中）在中，，是边中点，线段长为，，是边上一点，是的角平分线，则的长为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】利用向量性质得，平方后求得，再由余弦定理求得，由角平分线定理求得，然后由余弦定理求得后在中计算出． 【详解】是边中点，则， 所以， 即，解得， ， 是的平分线，则，， ， 在中，， 故选：B． 4．（24-25高二上·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）的内角，，的对边分别为，，，的面积为，且，，则边（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由三角形面积公式求得，再由余弦定理得到. 【详解】由，解得， 由余弦定理得，所以. 故选：C. 5．（23-24高二上·安徽亳州·期中）在中，设角，，所对的边长分别为，，，且，，则面积的最大值为（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】A 【分析】利用正弦定理将角化边，再由余弦定理求出，从而求出，由重要不等式求出的最大值，最后由面积公式计算可得. 【详解】因为， 由正弦定理可得，即，即， 所以，又，则， 又因为，，即， 所以，当且仅当时取得等号， 所以， 即面积的最大值为，当且仅当时取得. 故选：A． 6．（22-23高一下·河北石家庄·阶段练习）已知的夹角为，则三角形的边上中线的长为 . 【答案】 【分析】设D为的中点，则，再由向量数量积的运算性质求解即可. 【详解】设D为的中点，则， 所以， 所以， 所以. 故答案为： 7．（23-24高一下·江苏泰州·阶段练习）在静水中船的速度为 ，水流的速度为 ，如果船从岸边出发沿垂直于水流的航线到达对岸，则经过 ，该船的实际航程是 . 【答案】/ 【分析】 作出图形，根据勾股定理可求得每分钟船的实际航程，进一步计算即可求解. 【详解】如图所示，是流水的方向， 是垂直于河岸的方向，是船的实际航线， 因此是船在静水中的航行方向， ，， 则， 故经过 的航程为， 即， 故答案为：.    8．（23-24高一下·四川成都·期中）某同学在利用正弦定理和余弦定理解三角形的研究性学习中发现，用边角互化的思想求出以下三个式子的值都等于同一个常数. （1）； （2）； （3）； 这个常数为 ，将该同学发现的结论一般化后表述出来为 . 【答案】 / 【分析】选择②，直接计算可得；利用余弦定理，当时，再化边为角得结果. 【详解】选择②， 由， 则； 由余弦定理，当时，再化边为角得 . 故答案为：；； 9．（22-23高一下·广东东莞·阶段练习）在海岸A处，发现北偏东45°方向，距A处海里的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°方向，距A处2海里的C处的缉私船奉命以海里/小时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/小时的速度从B处向北偏东30°的方向逃窜，缉私船要最快追上走私船，所需的时间约是 分钟．（注：） 【答案】15 【分析】由已知条件，先解，利用正余弦定理得及为东西走向，再解，利用利用正弦定理得，进而得到，利用路程与速度的比即可求时间. 【详解】设缉私艇最快在处追上走私船，追上走私船需t小时， 则，， ∴在中，已知,, ， 由余弦定理得， ，即， 由正弦定理得， 则， ， ∴为东西走向，， 在中，由正弦定理得， 则，且为锐角， ∴， 即，∴小时，即分钟. 故答案为：. 10．（23-24高二下·河南商丘·期末）已知的内角的对边分别为，且为锐角三角形，，则面积的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据余弦定理求得，利用正弦定理和三角恒等变换的化简可得，结合和正弦函数的图象与性质即可求解. 【详解】由，，则， 即，又， 又，所以. 由正弦定理得， 所以， 又，，，所以， 则，得，所以， 所以. 即的面积的取值范围为. 故答案为： 11．（23-24高一·上海·课堂例题）如图，在正方形中，P是对角线AC上一点，垂直于点E，垂直于点F．求证：．    【答案】证明见解析 【分析】设，借助正方形的性质与向量的线性运算可得，，计算其数量积即可得证. 【详解】设，由为正方形，则有，， 则， ， 故 ，故. 12．（23-24高一下·广西河池·阶段练习）如图，在中，已知边上的两条中线AM，BN相交于点.    (1)求AM的长度； (2)求∠MPB的正弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据AM是中线，由求解； （2）易知为向量的夹角，然后利用平面向量的夹角公式求解. 【详解】（1）解：因为AM是中线， 所以， 所以， 则； （2）由图象知：为向量的夹角， 因为， 所以， ，则， 又， ， 所以， 因为， 所以. 13．（23-24高一·上海·课堂例题）如图，甲、乙分处河的两岸，欲拉船M逆流而上，需在正前方有的力．已知甲所用的力的大小为，且与M的前进方向的夹角为，求乙所用的力．    【答案】，与M的前进方向夹角的余弦值为 【分析】设合力，则，得出，由数量积的运算律得出，根据及数量积的运算律求出夹角余弦值． 【详解】根据题意，设合力，则，且， 则， 所以 ， 所以， 设， 由，得 所以， 故乙所用的力，与M的前进方向夹角的余弦值为． 14．（24-25高三上·湖北·期中）记的内角、、的对边分别为、、，已知. (1)求； (2)若边的中点为，且，外接圆的半径为，求外接圆的半径. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用余弦定理求出的值，结合角的取值范围可得出角的值； （2）设外接圆的半径为，外接圆的半径为，分析可知，角为锐角，利用正弦定理求出的值，可得出的值，利用两角和的正弦公式可求得的值，再利用正弦定理可求得的外接圆半径. 【详解】（1）解：因为，则，所以，， 又，所以. （2）设外接圆的半径为，外接圆的半径为. 由正弦定理，得，则. 因为，则，所以为锐角， 则， 所以. 于是，所以. 15．（2024高三·全国·专题练习）记的内角的对边分别为，已知． (1)求． (2)若的面积为，，求边上的高． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由已知条件及正弦定理，二倍角公式，辅助角公式再结合特殊角的正弦值化简即可； （2）由三角形的面积公式和余弦定理求解即可. 【详解】（1）由已知条件及正弦定理，得． 又，， 则， ，则． 又，， 则，解得． （2）由的面积为，得， ，则． 由余弦定理，得， ． 又，，解得．，． 设边上的高为，则， ． 学科网（北京）股份有限公司 $$