第05讲 三角函数（六大题型）-2024年高一数学寒假衔接知识自学讲义（苏教版2019）

第05讲 三角函数 【题型归纳目录】 【知识点梳理】 知识点一：任意角的概念 1、角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形． 正角：按逆时针方向旋转所形成的角． 负角：按顺时针方向旋转所形成的角． 零角：如果一条射线没有做任何旋转，我们称它形成了一个零角． 2、终边相同的角、象限角 终边相同的角为 角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合．那么，角的终边（除端点外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角． 知识点二：弧度制 1、弧度制的定义 长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1，或1弧度，或1（单位可以省略不写）． 2、角度与弧度的换算 弧度与角度互换公式： 1rad=≈57．30°=57°18′，1°=≈0．01745（rad） 3、弧长公式：（是圆心角的弧度数）， 扇形面积公式：． 知识点三：三角函数定义 设是一个任意角，它的终边与半径是的圆交于点，则，那么： （1）做的正弦，记做，即； （2） 叫做的余弦，记做，即； （3）叫做的正切，记做，即． 知识点四：三角函数在各象限的符号 三角函数在各象限的符号： 在记忆上述三角函数值在各象限的符号时，有以下口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦． 知识点五：同角三角函数的基本关系式 （1）平方关系： （2）商数关系： 知识点六：诱导公式 诱导公式一： ， ， ，其中 诱导公式二： ， ， ，其中 诱导公式三： ， ， ，其中 诱导公式四： ，． ，，其中 知识点七：正弦函数性质 函数 正弦函数 定义域 值域 奇偶性 奇函数 周期性 最小正周期 单调区间 增区间 减区间 最值点 最大值点；最小值点 对称中心 对称轴 知识点八：余弦函数的性质 函数 余弦函数 定义域 值域 奇偶性 偶函数 周期性 最小正周期 单调区间 增区间 减区间 最值点 最大值点 最小值点 对称中心 对称轴 知识点九：正切函数的性质 1、定义域： 2、值域： 由正切函数的图象可知，当且无限接近于时，无限增大，记作（趋向于正无穷大）；当，无限减小，记作（趋向于负无穷大）．也可以从单位圆上的正切线来考虑．因此可以取任何实数值，但没有最大值和最小值．称直线，为正切函数的渐进线． 3、周期性：周期函数，最小正周期是 4、奇偶性：奇函数，即． 5、单调性：在开区间，内，函数单调递增 知识点十：由得图象通过变换得到的图象 1、振幅变换： ，（且）的图象可以看作把正弦曲线上的所有点的纵坐标伸长（）或缩短（）到原来的倍得到的（横坐标不变），它的值域，最大值是，最小值是．若可先作的图象，再以轴为对称轴翻折，称为振幅． 2、周期变换： 函数，（且）的图象，可看作把正弦曲线上所有点的横坐标缩短或伸长到原来的倍（纵坐标不变）．若则可用诱导公式将符号“提出”再作图．决定了函数的周期． 3、相位变换： 函数，（其中）的图象，可以看作把正弦曲线上所有点向左（当时）或向右（当时）平行移动个单位长度而得到．（用平移法注意讲清方向：“左加右减”）． 4、函数的图象经变换得到的图象的两种途径 【典型例题】 题型一：任意角和弧度制 【例1】（2024·黑龙江·高一校联考期末）古代文人墨客与丹青手都善于在纸扇上题字题画，题字题画的扇面多为扇环形.已知某纸扇的扇面如图所示，其中外弧长与内弧长之和为，连接外弧与内弧的两端的线段长均为，且该扇环的圆心角的弧度数为2.5，则该扇环的内弧长为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2024·四川宜宾·高一统考阶段练习）中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴，设扇形的面积为，其圆心角为，此扇形所在圆面中剩余部分面积为，当与的比值为时，扇面为“美观扇面”.某扇环玉雕为“美观扇面”的一部分，其所在扇面半径，尺寸（单位：）如图所示，则该玉雕的扇环面积为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2024·黑龙江·高一校联考期末）与角终边相同的角是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2024·全国·高一期末）我国南朝的数学家祖冲之发展了刘徽的“割圆术”（即圆的内接正多边形边数不断增加，它的周长越来越接近圆的周长），在公元5世纪又进一步求得圆周率的值在3.1415926和3.1415927之间，是第一个将圆周率的计算精确到小数点后7位的人，使中国对圆周率的计算在世界上领先一千多年．依据“割圆术”，由圆内接正六边形算得的圆周率的近似值是（    ） A．2.9 B．3 C．3.1 D．3.14 题型二：三角函数的概念 【例2】（2024·四川雅安·高一雅安中学校考阶段练习）若角的终边经过点，则的值可以为（    ） A． B