天津市南开中学2023-2024学年高三上学期第三次月考数学试卷

南开中学2024届高三第三次月检测 数学学科试卷 第Ⅰ卷 一､选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 已知全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知直线，，则“”是“”（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 4. 设，则的值为（ ） A. B. C. 26 D. 27 5. 若，，，则a，b，c的大小关系为（　　） A. a＜c＜b B. a＜b＜c C. c＜a＜b D. c＜b＜a 6. 如图，实心正方体的棱长为，其中上､下底面的中心分别为．若从该正方体中挖去两个圆锥，且其中一个圆锥以为顶点，以正方形的内切圆为底面，另一个圆锥以为顶点，以正方形的内切圆为底面，则该正方体剩余部分的体积为（ ） A. B. C. D. 7. 已知抛物线的准线与双曲线相交于两点，为抛物线的焦点，若为直角三角形，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知正项等比数列的前项和为，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 9. 已知函数，有下列命题： ①为函数图象的一条对称轴 ②将的图象向左平移个单位，得到函数的图象，若在上的最大值为，则的最大值为 ③在上有3个零点，则实数的取值范围是 ④函数在上单调递增 其中错误的命题个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 第Ⅱ卷 二､填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．） 10. 已知是虚数单位，复数__________． 11. 在的展开式中，常数项为__________．（结果用数字表示） 12. 圆与圆公共弦所在直线被圆：所截得的弦长为__________． 13. 2023年成都大运会期间，5名同学到3个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，每个场馆至少安排1名同学，则不同的安排方法共有__________种． 14. 已知平行四边形的面积为，，为线段的中点.则_______ ；若为线段上的一点，且，则的最小值为___________. 15. 牛顿迭代法又称牛顿—拉夫逊方法，它是牛顿在17世纪提出的一种在实数集上近似求解方程根的一种方法，具体步骤如下：设是函数的一个零点，任意选取作为的初始近似值，过点作曲线的切线，设与轴交点的横坐标为，并称为的1次近似值；过点作曲线的切线，设与轴交点的横坐标为，称为的2次近似值，过点作曲线的切线，记与轴交点的横坐标为，并称为的次近似值，设的零点为，取，则的2次近似值为__________；设，数列的前项积为．若任意的恒成立，则整数的最小值为__________． 三､解答题（本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 16. 在中，角所对的边分别为，已知的面积为，． （1）求和的值； （2）求的值． 17. 如图，在等腰梯形中，，四边形为矩形，平面平面． （1）求证：； （2）求点到平面的距离； （3）若点在线段上运动，设平面与平面的夹角为，试求的取值范围． 18. 椭圆E：，长轴长为4c（c为半焦距），左顶点为A，过点A作直线与椭圆E交于另一个点P（点P在第一象限），P、Q两点均在椭圆上且关于x轴对称，点O为坐标原点，直线OP的斜率为，直线与△APQ的外接圆C（C为圆心）相切于P点，与椭圆交于另一个点T，且； （1）求椭圆E的离心率； （2）求直线与直线的斜率； （3）求椭圆E的标准方程. 19. 已知数列，，即当时，，记． （1）求的值； （2）求当，试用、的代数式表示； （3）对于，定义集合是的整数倍，，且，求集合中元素的个数． 20. 设n是正整数，r为正有理数． （1）求函数的最小值； （2）证明：； （3）设，记为不小于x的最小整数，例如，，．令，求的值． （参考数据：，，，．） 南开中学2024届高三第三次月检测 数学学科试卷 第Ⅰ卷 一､选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 【1题答案】 【答案】D 【2题答案】 【答案】C 【3题答案】 【答案】A 【4题答案】 【答案】A 【5题答案】 【答案】A 【6题答案】 【答案】D 【7题答案】 【答案】A 【8题答案】 【答案】D 【9题答案】 【答案】B 第Ⅱ卷 二､填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．） 【10题答案】 【答案】 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 ① ②. 【15题答案】 【答案】 ①. ②. 三､解答题（本大题共5小题，共7