期末复习重点题型几何最值及代数最值问题专题训练-2023-2024学年八年级数学上册专题训练+备考提分专项训练·2024精华版（人教版）

期末复习重点题型几何最值及代数最值问题专题训练（原卷版） （1） 专题诠释 最值题型一直是中考的热点。它总是以填空或选择的压轴身份出现，有时也穿插在解答题中。由于最值问题所呈现的背景往往是动态的，这就要求学生有较强的空间想象能力或者抽象思维能力。因此好多学生望而生畏。但是只要肯下功夫，迎难而上，认真研究，多感悟，多总结，还是有规可循的。 （二）解题策略 对于八年级数学上的几何最值问题，由于学生还没有学到勾股定理，往往还是比较简单的。大致分为三种类型：最常见的是求两条线段的和的最小值或两条线段的差的最大值。这往往就是路径最短问题（将军饮马问题），一般是通过作对称点解决；二是求一条线段的最小值，这通常用垂线段最短解决；三是求一条线段的最大值，这往往是用三角形两边之和大于第三边来解决，在三点共线时取得最大值。有时也可以是这几种类型的综合。对于周长或面积的最值问题，可以向这三种类型转化。代数最值问题主要用配方法或借助于完全平方公式变形。同学们可以在下面的典例中加以感悟，在练习中注意迁移。 （三）典例讲解及变式训练 类型一 路径最短问题（将军饮马问题） 典例1 （2022秋•如东县期末）如图，边长为a的等边△ABC中，BF是AC上中线且BF＝b，点D在BF上，连接AD，在AD的右侧作等边△ADE，连接EF，则△AEF周长的最小值是（　　） A． B． C．ab D．a 变式训练 1．（2022秋•大足区期末）如图，在△ABC中，AC＝2，AB＝3，BC＝3.5，BC的垂直平分线MN交AB于点D，P是直线MN上的任意一点，则PA+PC的最小值是（　　） A．2 B．3 C．3.5 D．4.5 2．如图，四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，∠C＝60°，CD＝2AD．AB＝4 （1）在AB边上求作点P，使PC+PD最小．（2）求出（1）中PC+PD的最小值． 3．（2023秋•行唐县期末）如图，在等边三角形ABC中，BD是中线，点P，Q分别在AB，AD上，且BP＝AQ＝QD＝1，动点E在BD上，则PE+QE的最小值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 4．（2023秋•佳木斯期末）如图，在直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（1，4）和（3，0），点C是y轴上的一个动点，且A，B，C三点不在同一条直线上，当△ABC的周长最小时点C的坐标是（　　） A．（0，3） B．（0，2） C．（0，1） D．（0，0） 5．（2020秋•如皋市期末）如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，AD＝BC，P为直线BC上方的一个动点，△PBC的面积等于△ABC的面积的，则当PB+PC最小时，∠PBC的度数为（　　） A．30° B．45° C．60° D．90° 6．（2022秋•海安市期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝30°，AB＝AC＝2，点E为射线AC上的动点，DE∥AB，且DE＝2．当AD+BD的值最小时，∠DBC的度数为 　 　． 类型二 求两条线段差的最大值 典例2 （2023秋•高新区校级月考）如图，在△ABC中，AB＝AC，AC的垂直平分线交AC于点N，交AB于点M，AB＝10，△BMC的周长是16，若点P在直线MN上，PA﹣PB的最大值为 　 　． 变式训练 1．（2022•泗洪县模拟）如图，已知△ABC为等腰直角三角形，AC＝BC＝4，∠BCD＝15°，P为CD上的动点，则|PA﹣PB|的最大值为　 　． 类型三 一定点两动点求周长的最小值 典例3（2023秋•凤山县期末）如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝105°，∠B＝∠D＝90°，在BC，CD上分别找一个点M，N，使△AMN的周长最小，则∠AMN+∠ANM＝　 　°． 变式训练 1．（2022秋•博乐市校级期末）如图，已知∠AOB＝30°，P是∠AOB内部的一个定点，且OP＝3，点E，F分别是OA，OB上的动点，若使△PEF周长的最小，则最小周长是（　　） A．1 B．2 C．3 D． 2．（2023秋•奉化区期末）如图，∠AOB＝20°，点M，N分别是边OA，OB上的定点，点P，Q分别是边OB、OA上的动点，记∠MPQ＝α，∠PQN＝β，当MP+PQ+QN最小时，则β﹣α的值为　 　． 类型四 求一条线段的最小值 典例4（2021秋•交城县期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，BD为△ABC的角平分线，过点D作直线l∥AB，点P为直线l上的一个动点，若△BCD的面积为16，BC＝8，则AP最小值为 　 　． 变式训练 1．（2022秋•东台市月考）如图，OP平分∠AOB，PD⊥OA于点D，点Q是射线OB上一个动点．若PD＝5，则PQ的最小值为（　　） A．PQ＜5 B．PQ＝5 C．PQ＞5 D．以上情况都有可能 类型五 构造全等三角形求最值 典例5（2