上海市七宝中学2023-2024学年高三上学期期末考试数学试题

七宝中学2023-2024学年高三数学期末考试卷 姓名：___________班级：___________学号：___________ 一、填空题（1-6题每题4分，7-12题每题5分，共54分） 1. 不等式的解集为________ 2．函数（，且）的图象过定点A，则点A的坐标是 ． 3．已知，则 ． 4. 某公司生产的糖果每包标识质量是，但公司承认实际质量存在误差．已知糖果的实际质量服从的正态分布．若随意买一包糖果，假设质量误差超过克的可能性为，则的值为 ． （用含的代数式表达） 5．已知实数x，y满足，则的取值范围为 . 6. 已知的两共轭虚根为，且，则 ． 7. 交通锥如图1，常用于进行工程、发生事故时提醒行人或车辆，以保证工程人员及道路使用者的人身安全等．某数学课外兴趣小组对一个去掉底座的圆锥形交通锥筒进行研究，发现将该交通锥筒放倒在地面上，如图2，使交通锥筒在地面上绕锥顶点S滚动，当这个交通锥筒首次转回到原位置时，交通锥筒本身恰好滚动了3周．若将该交通锥筒近似看成圆锥，将地面近似看成平面，测得该圆锥的底面半径为cm，则该圆锥的侧面积为 （交通锥筒的厚度忽略不计）． 8. 烧水时，水温随着时间的推移而变化.假设水的初始温度为，加热后的温度函数（是常数，表示加热的时间，单位：min），加热到第10min时，水温的瞬时变化率是 . 9．已知函数，若关于x的不等式恰有一个整数解，则实数a的取值范围是 ． 10. 用黑白两种颜色（都要使用）给正方体的6个面涂色，每个面只涂一种颜色。如果 一种涂色方案可以通过重新摆放正方体，变为另一种涂色方案，则这两种方案认为是相同的。（例如：a.前面涂黑色，另外五个面涂白色; b.上面涂黑色，另外五个面涂白色是同一种方案）则涂色方案一共有__________种。 11．已知等差数列的前项和分别为和，若，且是整数，则的值为 . 12.已知双曲线的左、右焦点分别是、，直线与的左、右支分别交于、、均在轴上方），若直线、的斜率均为，且四边形的面积为，则________________. 二、选择题（13-14题每题4分，15-16题每题5分，共18分） 13．设全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 14．对于两条不同的直线m，n和两个不同的平面α，β，以下结论正确的是（　　） A．若mα，n∥β，m，n是异面直线，则α，β相交 B．若m⊥α，m⊥β，n∥α，则n∥β C．若mα，n∥α，m，n共面于β，则m∥n D．若m⊥α，n⊥β，α，β不平行，则m，n为异面直线 15．已知是定义在R上的偶函数，若对任意且时，恒成立，且，则满足的实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 16. 已知平面向量，满足且，若对每一个确定的向量，记的最小值为，则当变化时，的最大值为（    ） A． B． C． D．1 三、解答题 17．（本题14分）三棱柱中，，线段的中点为，且． (1)求证：平面；（6分） (2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值．（8分） 18．（本题14分）在中，角的对边分别为，. (1)求角；（6分） (2)若为钝角三角形，且，求的取值范围. （8分） 19．（本题14分）甲、乙两个容器中分别盛有浓度为10％，20％的某种溶液各500ml，同时从甲、乙两个容器中取出100ml溶液，将其倒入对方的容器并搅匀，这称为一次调和．记，，经次调和后，甲、乙两个容器的溶液浓度分别为，． (1)试用，表示，．（6分） (2)证明：数列是等比数列，并求出，的通项公式．（8分） 20. （本题18分）已知点分别为椭圆的左､右焦点，直线与椭圆有且仅有一个公共点，直线，垂足分别为点. (1)求证：；（4分） (2)求证：为定值，并求出该定值；（6分） (3)求的最大值.（8分） 21.（本题18分）已知函数. (1)当，时，求曲线在点处的切线方程；（4分） (2)当时，既存在极大值，又存在极小值，求的取值范围；（6分） (3)当，时，分别为的极大值点和极小值点，且对任意恒成立，求实数的取值范围.（8分） 试卷第2页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 七宝中学2023-2024学年高三数学期末考试卷 姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、填空题（1-6题每题4分，7-12题每题5分，共54分） 1. 不等式的解集为________ 【答案】 2．函数（，且）的图象过定点A，则点A的坐标是 ． 【答案】 【分析】利用指数函数的性质即可得解. 【详解】因为（，且）的图象过定点A， 令，则