7.3 离散型随机变量的数字特征（教学课件）-2023-2024学年高二数学同步精品课堂（人教A版2019选择性必修第三册）

X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 离散型随机变量的分布列刻画了某个随机变量的取值规律，可用于确定与该随机变量相关事件的概率。 要比较不同班级某次考试成绩，通常会比较平均成绩； 要了解某班同学数学成绩是否“两极分化”,则可考察这个班数学成绩的方差。 要比较两名射箭运动员的射箭水平，一般会比较他们射箭的成绩(平均环数或总环数)以及稳定性. 离散型随机变量的分布列： 选修三《第七章 随机变量及其分布》 7.3离散型随机变量的数字特征 均值 方差 2 回顾 求一组样本数据的平均数、方差、标准差 由频率分布直方图求样本数据的平均数、中位数、众数、百分位数 频率的稳定性(n足够大时，频率稳定于概率) 由样本的数字特征估计总体的数字特征 问题1：甲、乙两名射箭运动员射中目标箭靶的环数的分布列如表所示. 环数 7 8 9 10 甲射中的概率 0.1 0.2 0.3 0.4 乙射中的概率 0.15 0.25 0.4 0.2 思考1：如何比较他们射箭水平的高低呢？ 类似两组数据的比较，首先比较射中的平均环数， 如果平均环数相等，再看稳定性. 思考2：如何由分布列计算他们射中的平均环数呢？ 选修三《第七章 随机变量及其分布》 7.3.1离散型随机变量的均值 5 回顾：算术平均数与加权平均数 引例. 某人射击10次，射中的环数分别是： 7，7，7，7，8，8，8，9，9，10. 则他射中的平均环数是多少？ 算术平均数 加权平均数 权数 加权平均是指在计算若干个数值的平均数时，考虑到每个数量在总量中所具有的重要性不同，分别给予不同的权数. 问题1：甲、乙两名射箭运动员射中目标箭靶的环数的分布列如表所示. 环数 7 8 9 10 甲射中的概率 0.1 0.2 0.3 0.4 乙射中的概率 0.15 0.25 0.4 0.2 思考2：如何由分布列计算他们射中的平均环数呢？ 假设甲射箭次，射中7环、8环、9环和10环的频率(比例)分别为，，，. 甲次射箭射中的平均环数为. 当足够大时，频率稳定于概率，即稳定于7×0.1+8×0.2+9×0.3+10×0.4=9. 即甲射中平均环数的稳定值(理论平均值)为9， 这个平均值的大小可以反映甲运动员的射箭水平. 问题1：甲、乙两名射箭运动员射中目标箭靶的环数的分布列如表所示. 环数 7 8 9 10 甲射中的概率 0.1 0.2 0.3 0.4 乙射中的概率 0.15 0.25 0.4 0.2 思考2：如何由分布列计算他们射中的平均环数呢？ 假设乙射箭次，射中7环、8环、9环和10环的频率(比例)分别为，，，. 甲次射箭射中的平均环数为. 当足够大时，频率稳定于概率，即稳定于7×0.15+8×0.25+9×0.4+10×0.2=8.65. 即乙射中平均环数的稳定值(理论平均值)为8.65， 这个平均值的大小可以反映乙运动员的射箭水平. 问题1：甲、乙两名射箭运动员射中目标箭靶的环数的分布列如表所示. 环数 7 8 9 10 甲射中的概率 0.1 0.2 0.3 0.4 乙射中的概率 0.15 0.25 0.4 0.2 思考3：上述两个平均值的计算有什么共性？ 稳定于7×0.1+8×0.2+9×0.3+10×0.4=9. 稳定于7×0.15+8×0.25+9×0.4+10×0.2=8.65. 结论：从平均值的角度比较，甲的射箭水平比乙高. 均值是随机变量可能取值及其对应的取值概率的加权平均数， 它综合了随机变量的取值和取值的概率，反映了随机变量取值的平均水平. 新知：离散型随机变量的均值(数学期望) 若离散型随机变量X的分布列为： 则随机变量X的均值(或数学期望)为： X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 均值是随机变量可能取值及其对应的取值概率的加权平均数， 它反映了随机变量取值的平均水平. 基础巩固：离散型随机变量的均值(数学期望) 练习1.随机变量X的分布列是 X 4 7 9 10 P 0.3 a b 0.2 若E(X)=7.5，则a=____，b=______. 0.4 0.1 例1.在蓝球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分；如果某运动员罚球命中的概率为0.8，那么他罚球1次的得分的均值是多少？ X 1 0 P 0.8 0.2 X 1 0 P p 1－p 基础巩固：离散型随机变量的均值(数学期望) 例3.某嘉宾参加猜歌名节目，猜对每首歌曲的歌名相互独立，猜对三首歌曲A,B,C歌名的概率及猜对时获得相应的公益基金如表所示. 歌曲 猜对的概率 0.8 0.6 0.4 获得的公益基金额/元 1000 2000 3000 规则如下：按照A,B,C的顺序