11.1.6祖暅原理与几何体的体积 课件-2023-2024学年高一下学期数学人教B版（2019）必修第四册

新授课 课时8 祖暅原理与几何体的体积 导入：同一摞书，当改变摆放书的形式时， （1）它们的几何特征有何异同？ （2）这些几何体的体积是否相等？ 1.了解祖暅原理的内容，掌握利用祖暅原理推导柱体、锥体、台体的体积公式. 2.掌握柱体、锥体、台体的体积公式，能运用公式解决简单的实际问题. 学习活动 学习目标 学习总结 3 目标一：了解祖暅原理的内容，掌握利用祖暅原理推导柱体、锥体、台体的体积公式. 阅读下列关于祖暅的简介，说说你对简介中提到的祖暅原理的理解. 祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础上，于5世纪末提出了体积的计算原理：“幂势既同，则积不容异”.“势”是立体的高，“幂”是截面积.意思是等高的两立体，若其任意高处的水平截面积相等，则这两立体体积相等. 祖暅应用这个原理，解决了刘徽尚未解决的球体积公式,该原理在西方直到十七世纪才由意大利数学家卡瓦列利发现，比祖暅晚一千一百多年.祖暅是我国古代最伟大的数学家之一. 祖暅简介： 祖暅,字景烁，祖冲之之子，范阳郡蓟县人（今河北省涞源县人），南北朝时代的伟大科学家. 学习活动 学习目标 学习总结 1．祖暅原理：幂势既同，则积不容异. 2．含义：夹在两个平行平面间的两个几何体，如果被平行于这两个平面的任意平面所截，两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积一定相等．如图所示． 新知讲解 下列三个条件缺一不可，否则结论不成立： 注：两个几何体可以是任意形状的. (1)两个几何体夹在两个平行平面之间； (2)被平行于两个平行平面的任意一个平面所截； (3)截得的两个截面面积总相等. 学习活动 学习目标 学习总结 任务1：掌握利用祖暅原理推导柱体的体积公式. 棱柱与圆柱统称为柱体.如图，下面是底面积都等于S，高都等于h的任意棱柱，圆柱和长方体，你能用祖暅原理推导柱体的体积公式吗？ 学习活动 学习目标 学习总结 1.等底面积、等高的两个柱体，体积相等. 2.体积公式：如果柱体的底面积为S，高为h，则柱体的体积计算公式为 归纳总结 V柱体＝Sh. 学习活动 学习目标 学习总结 任务2：掌握利用祖暅原理推导锥体的体积公式. 问题1：棱锥和圆锥统称为锥体，如图，下面是底面积都等于S，高都等于h的任意棱锥和圆锥，它们的体积相等吗？说明理由. 学习活动 学习目标 学习总结 如图所示， 当锥体被平行于底面的平面所截时，得到的截面与底面相似，即 △A′B′C′∽△ABC 而且相似比等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比， 因此截面与底面的面积之比： ， 从而由祖暅原理可知，等底面积、等高的两个锥体，体积相等. 学习活动 学习目标 学习总结 问题2：如图所示，将底面积为S，高为h的直三棱柱分割成如下3个三棱锥，所得到的3个三棱锥的体积之间有什么关系？由此能得到三棱锥的体积计算公式吗？ 学习活动 学习目标 学习总结 归纳总结 1.等底面积、等高的两个锥体，体积相等. 2.体积公式：如果锥体的底面积为S，高为h，则锥体的体积计算公式为 V锥体＝ 学习活动 学习目标 学习总结 所以 因此所求体积比为1：6. 练一练 如图所示，长方体ABCD-A′B′C′D′中，求棱锥ADD′A′的体积和长方体的体积之比. 解：已知的长方体可以看成直棱柱ADD′A′-BCC′B′， 设它的底面ADD′A′面积为S，高为h,则长方体的体积为： VADD′A′-BCC′B′=Sh. 因为棱锥D′-A′CD可以看成棱锥C-A′DD′， 且△A′DD′的面积为 ，棱锥的高为h, 学习活动 学习目标 学习总结 任务3：利用四棱台模型，推导台体的体积公式. 棱台和圆台统称为台体. 因为台体可以看成锥体截去一个小锥体得到，所以台体的体积可以通过计算锥体的体积之差来得到. 问题：已知四棱台上下底面面积分别为S1，S2，而且高为h，求这个棱台的体积. 如图所示，将四棱台看成从棱锥P-ABCD中截去棱锥P-A1B1C1D1所得到的，且设两个棱锥的高分别为PO与PO1. 学习活动 学习目标 学习总结 由已知有： 从而可知棱台的体积为： 再由 ，因此可得： 学习活动 学习目标 学习总结 归纳总结 1.台体(棱台与圆台)的体积：如果台体的上、下底面面积分别为S、S′，高为h，则台体的体积计算公式为 2.柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系： V台体= 学习活动 学习目标 学习总结 中国古代数学名著《九章算术》中,将顶部为一线段，下底为一矩形的拟柱体称之为刍甍(méng)，如图几何体为刍甍，已知面ABCD是边长为3的正方形，EF//AB，EF=2，EF与面ABCD的距离为2，则该多面