专题3.1 导数的概念及其几何意义与运算【八大题型】-2024年高考数学二轮复习【举一反三】系列（新高考专用）

专题3.1 导数的概念及其意义与运算【八大题型】 【新高考专用】 【题型1 导数的定义及其应用】 2 【题型2 求（复合）函数的导数的方法】 3 【题型3 求曲线切线的斜率（倾斜角）】 3 【题型4 求在曲线上一点的切线方程、过一点的切线方程】 4 【题型5 已知切线（斜率）求参数】 4 【题型6 切线的条数问题】 5 【题型7 两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题】 5 【题型8 与切线有关的最值问题】 6 1、导数的几何意义与运算 导数是高考数学的必考内容，是高考常考的热点内容，从近三年的高考情况来看，主要涉及导数的运算及几何意义，一般以选择题、填空题的形式考察导数的几何意义、求曲线的切线方程，导数的几何意义也可能会作为解答题中的一问进行考查，试题难度属中低档. 【知识点1 切线方程的求法】 1.求曲线“在”某点的切线方程的解题策略： ①求出函数y=f(x)在x=x0处的导数，即曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处切线的斜率； ②在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为y=y0+f'(x0)(x-x0). 2.求曲线“过”某点的切线方程的解题通法： ①设出切点坐标T(x0,f(x0))(不出现y0)； ②利用切点坐标写出切线方程：y=f(x0)+f'(x0)(x-x0)； ③将已知条件代入②中的切线方程求解. 【知识点2 复合函数的导数】 1.复合函数的定义 一般地，对于两个函数y=f(u)和u=g(x)，如果通过变量u,y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函 数y=f(u)和u=g(x)的复合函数，记作y=f(g(x)). 2.复合函数的求导法则 复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为 =，即y对x的导数等于y 对u的导数与u对x的导数的乘积. 3.求复合函数导数的步骤 第一步：分层：选择中间变量，写出构成它的内、外层函数； 第二步：分别求导：分别求各层函数对相应变量的导数； 第三步：相乘：把上述求导的结果相乘； 第四步：变量回代：把中间变量代回. 【题型1 导数的定义及其应用】 【例1】（2023下·山东·高二校联考阶段练习）若，则（    ） A．1 B．-1 C．2 D．-2 【变式1-1】（2022·高二课时练习）设是可导函数，且，则（    ） A． B．-1 C．0 D．-2 【变式1-2】（2022·安徽合肥·合肥校考模拟预测）如图所示，连接棱长为2cm的正方体各面的中心得到一个多面体容器，从顶点A处向该容器内注水，直至注满水为止.已知顶点B到水面的距离h以每秒1cm的速度匀速上升，设该容器内水的体积与时间的函数关系是，则函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2022·陕西宝鸡·统考一模）设函数在点处附近有定义，且为常数，则（    ） A． B． C． D． 【题型2 求（复合）函数的导数的方法】 【例2】（2023·湖北·宜昌市一中校联考模拟预测）函数的导函数为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2023上·内蒙古通辽·高三校考阶段练习）下列求导数运算错误的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2023上·湖北·高二期末）已知函数，则在处的导数为（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2023下·黑龙江哈尔滨·高二校考阶段练习）已知函数，其导函数记为，则（    ） A．2 B． C．3 D． 【题型3 求曲线切线的斜率（倾斜角）】 【例3】（2023·河北唐山·模拟预测）已知曲线在处的切线为，则的斜率为（    ） A． B． C．1 D． 【变式3-1】（2023·新疆阿克苏·校考一模）若直线与曲线相切，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2023·内蒙古赤峰·校联考一模）函数在处的切线如图所示，则（    ） A．0 B． C． D．- 【变式3-3】（2023·贵州·校联考模拟预测）设点是函数图象上的任意一点，点处切线的倾斜角为，则角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型4 求在曲线上一点的切线方程、过一点的切线方程】 【例4】（2023·江苏连云港·校考模拟预测）曲线在点处的切线方程为（     ） A． B． C． D． 【变式4-1】（2023下·辽宁·高二校联考阶段练习）过原点且与函数图像相切的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（2023·陕西咸阳·校考模拟预测）已知函数，则曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则曲线过坐标原点的切线方程为（    ） A． B