5.6.3 线段垂直平分线的相关证明课件 2023—2024学年青岛版数学八年级上册

5.6 几何证明举例 第5章 几何证明初步 第3课时 线段垂直平分线 的相关证明 教学目标 1.掌握并证明线段垂直平分线的性质定理与判定定理； 2.掌握基本的证明方法，会通过分析的方法探索证明的思路 A C D B CD是线段AB的垂直平分线，在CD上任意取一点P， PA和PB有什么样的关系? 点P的位置有两种可能： （1）点P 恰是CD和线段AB的交点时. 此时点P与点M重合,所以PA=PB. (P) 新知导入 A C D B M （2）点P 不在线段AB上时. P 连接PA和PB，把AB沿直线CD对折. 因为A、B 是对应点，所以对折后两点重合. 而点P在对称轴上，所以和自身重合.即PA=PB. CD是线段AB的垂直平分线，在CD上任意取一点P， PA和PB有什么样的关系? 点P的位置有两种可能： 几何 语言 A C D B M P (P) 线段垂直平分线上的点这条线段两个端点的距离相等. 线段的垂直平分线的性质定理 ∵CD垂直平分AB(已知), ∴PA=PB(线段垂直平分线的性质定理). 探究新知 A C D B P 如果PA =PB，那么点P 是否在线段AB 的 垂直平分线上呢？ 点P的位置有两种可能： （1）点P 在线段AB上. 点P是AB的中点，此时点P在线段AB的垂直平分线上. A B M P 如果PA =PB，那么点P 是否在线段AB 的 垂直平分线上呢？ 点P的位置有两种可能： （2）点P 在线段AB外. 设AB 中点为M，连接PM. 由SSS可知△PMA≌△PMB ∠AMP=∠BMP=90° PM⊥AB PM是线段AB的垂直平分线，即点P在线段AB的垂直平分线上. A C D B M P (P) 到线段两端的距离相等的点在线段垂直平分线上. 线段的垂直平分线的判定定理 几何 语言 ∵PA=PB(已知), ∴P在线段AB的垂直平分线上(垂直平分线的判定定理). 例1 已知:如图,在ΔABC中,边AB，BC的垂直平分线交于P. 求证：PA=PB=PC. B A C M N M′ N′ P PA=PB=PC PB=PC 点P在线段BC的垂直平分线上 PA=PB 点P在线段AB的垂直平分线上 分析： 例1 已知:如图,在ΔABC中,边AB，BC的垂直平分线交于P. 求证：PA=PB=PC. B A C M N M′ N′ P 证明：∵MN垂直平分AB ∴PA=PB. 同理 PB=PC. ∴PA=PB=PC. 三角形三边垂直平分线交于一点，这一点到 三角形三个顶点的距离相等. 例2 已知如图：一辆汽车在直线公路AB上由A向B行驶，M、N分别表示位于公路AB两侧的村庄， （1）当汽车行驶到什么位置时距村庄M最近？行驶到什么位置时距村庄N最近？ 答：如图，当汽车行驶到P1时，距村庄M最近，当汽车行驶到P2时，距村庄N最近. A B M N P1 P2 根据：直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短. （2）当汽车行驶到什么位置时，与村庄M、N的距离相等？ 答：如图 ，当汽车行驶到P3时，与村庄M、N的距离相等. 根据：线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. A B M N P3 例2 已知如图：一辆汽车在直线公路AB上由A向B行驶，M、N分别表示位于公路AB两侧的村庄， 1.如图，若AC=12，BC=7，AB的垂直平分线交AB于E，交AC于D，求△BCD的周长. C D B E A 解：∵ED是线段AB的垂直平分线， ∴BD=AD， ∵ △BCD的周长=BD+DC+BC ∴ △BCD的周长=AD+DC+BC =AC+BC =12+7=19. 课堂练习 2.如图，如果△ACD的周长为18cm，△ABC的周长为28cm， DE是BC的垂直平分线,根据这些条件，你可以求出哪条线段的长? 解：∵△ACD的周长=AD +CD+AC=18cm； △ABC的周长=AB+AC+BC=28cm； 又∵DE是BC的垂直平分线， ∴BD=CD， ∴AD+CD=AD+BD=AB. ∴BC=10cm. A B C D E 判定定理 线段的垂直 平分线 点P在线段AB的垂直平分线上 PA=PB 性质定理 线段垂直平分线上的点与这条线段 两个端点的距离相等. 与线段两个端点距离相等的点， 在这条线段的垂直平分线上. 课堂小结 谢谢观看 $$