2024年中考数学高频考点突破——圆的切线的证明

2024年中考数学高频考点突破——圆的切线的证明 1．如图，在中，，，，点在边上，经过点，分别交、于点、，且． (1)求证：为的切线； (2)求图中阴影部分的面积．（结果保留，，，） 2．如图，以线段上一点为圆心，长为半径画圆，交于点，是上异于点，的一点．，且． (1)求证：是的切线． (2)若，平分，求线段的长． 3．如图，已知是上一点，是直径，的平分线交于点，的切线交的延长线于点，连接，． (1)求证：为的切线． (2)若， ①若，则________． ②作关于直线对称的，连接，，当四边形是菱形时，求的长． 4．如图，直径，C为上一点，和过C点的直线互相垂直，垂足为D点，且平分． (1)求证：为的切线； (2)若，求的长． 5．如图，为的直径，点C是上异于A，B的点，连接，点D在的延长线上，且． (1)求证：是的切线； (2)若，求的半径． 6．如图，以四边形的对角线为直径作圆，圆心为，过点作的延长线于点，已知平分．    (1)求证：是切线； (2)如图1，若，，求的半径和的长； (3)如图2，在（2）的条件下，连接，若，求图中阴影部分的面积． 7．如图，为的直径，点，都在上，，交于点，点在的延长线上，且． (1)若的半径为4，求的长； (2)求证：为的切线； (3)若且，求的半径． 8．如图，是的直径，，，相交于点，过点作，与的延长线相交于点，连接 (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 9．如图，为的外接圆，的平分线交于点，连接，作交延长线于点，使得． (1)求证：为的切线． (2)若，，求的半径． 10．如图，，是的切线，，为切点，连接． (1)若与相切于点，求证； (2)若，求证与相切． 11．如图，中，，D为上一点，以为直径的与相切于点E，交于点F，，垂足为G． (1)求证：是的切线； (2)若的半径长为，，求的长． 12．在探究“四点共圆的条件”的数学活动课上，小霞小组通过探究得出：在平面内，一组对角互补的四边形的四个顶点共圆．请应用此结论．解决以下问题： 如图1，中，．点D是边上的一动点（点D不与B，C重合），将线段绕点A顺时针旋转得到线段，连接． (1)求证：A，E，B，D四点共圆； (2)如图2，当时，是四边形的外接圆，求证：是的切线． 13．如图，在四边形中，平分为的外接圆． (1)如图1，求证：是的切线； (2)如图2，交于点，过点作，垂足为，交于点．若， ①与的数量关系是 ； ②直接写出的长． 14．如图，AB是⊙O的直径，点P在⊙O上，且PA=PB，点M是⊙O外一点，MB与⊙O相切于点B，连接OM，过点A作AC∥OM交⊙O于点C，连接BC交OM于点D． (1)求证：MC是⊙O的切线； (2)若AB=20，BC=16，连接PC，求PC的长； (3)试探究AC、BC与PC之间的数量关系，并说明理由． 15．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC的平分线BE交AC于点E，⊙O是△BEF的外接圆，交AB于点F，圆心O在AB上． (1)求证：AC是⊙O的切线； (2)过点E作EH⊥AB于点H，求证：EF平分∠AEH； (3)求证：CD＝HF． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．（1）解：连接， ∵， ∴， 又∵， ∴ 又∵点在边上， ∴为的切线． （2）解：∵，， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴图中阴影部分的面积 2．（1）证明：如图，连接，． ∵， ∴． ∵是的直径， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵是半径， ∴是的切线； （2）∵平分， ∴． ∵， ∴. ∴在中，， 根据勾股定理，得， ∴在中，． 3．（1）证明：∵是的切线， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴， 又∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 又∵是上一点， ∴为的切线； （2）解：①∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； ②如图所示： ∵四边形是菱形， ∴，， ∵，， ∴， ∴． 4．（1）证明：如图，连接， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是半径， ∴是的切线； （2）解：由（1）得， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴或（舍去）， ∴． 5．（1）证明：连接， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：∵，， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， 解得：或（舍去）， ∴， 即的半径3． 6．（1）证明：如图，连接，    ， ． 平分， ， 又， ， ， ， 是切线； （2）如图，作于点． 由（1）知， 四边形是矩形， ，， ． 在中，， ， 在中，， ， 的长是． （3）连接，，    四边形是矩形 ． 7．（1），为的直径， ， ，