内切球与外接球问题 专题讲义-2024届高三数学二轮专题

内切球与外接球问题 考点一：内切球问题 方法 题设 图示 步骤 截面法 如图,三棱锥是正三棱锥，求其内切球半径． Step1：先作出内切球的截面图，分别是两个三角形的外心； Step2：求，，是侧面的高； Step3：由，建立等式：，解出． 等体积法 如图,三棱锥是任意三棱锥，求其内切球半径． Step1：先画出四个表面的面积和整个锥体体积； Step2：设内切球的半径为，建立等式： Step3：解出． 【典例】1．在封闭的直三棱柱内有一个体积为V的球，若，，，，则该球体积V的最大值是（    ） A． B． C． D． 【典例】2．已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为 ． 【典例】3．与圆台的上、下底面及侧面都相切的球称为圆台的内切球.若圆台的上、下底面半径分别为且，则它的内切球的体积的最大值为 ． 考点二：外接球问题 外接球模型一：墙角模型 方法 适用几何体 图示 方法步骤 补形法 有一条侧棱垂直于底面且底面是直角三角形的三棱锥（三条棱两两垂直） 构造长方体，长方体的体对角线=外接球的直径，即，解出 【典例】1．在三棱锥中，平面，，且，则三棱锥外接球的体积等于（    ） A． B． C． D． 【典例】2．已知A、B、C、D为空间不共面的四个点，且，则当三棱锥体积最大时，其外接球的表面积为 ． 外接球模型二：对棱相等模型 方法 适用几何体 图示 方法步骤 补形法 三条对棱长分别相等的三棱锥（对棱相等四面体） Step1：构造长方体，标出三组互为异面直线的对棱； Step2：设长方体的长宽高分别为，，，， 列方程组； Step3：根据墙角模型，长方体的体对角线=外接球的直径， 即，求出． 特例 正四面体的外接球： 如图，设正四面体的的棱长为，将其放入正方体中，则正方体的棱长为，显然正四面体和正方体有相同的外接球． 正方体外接球半径为，即正四面体外接球半径为． 【典例】1．在三棱锥中，，，，则三棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【典例】2．已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上,PA=PB=PC,△ABC是边长为2的正三角形,E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF=90°,则球O的体积为（    ） A． B． C． D． 外接球模型三：汉堡模型 方法 适用几何体 图示 方法步骤 定心法 直棱柱、圆柱 以直三棱柱为例： Step1：取的外心，算出圆的半径； Step2：由对称性可知球心的位置是的外心与的外心连线的中点，则平面，且（是圆柱的高）； Step3：由勾股定理，解出 【典例】1．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【典例】2．已知直三棱柱（    ） A． B． C． D． 外接球模型四：斗笠模型 方法 适用几何体 图示 方法步骤 定心法 顶点在底面的射影是底面外心的棱锥或圆锥 Step1：确定球心的位置，取的外心，则三点共线； Step2：先算出小圆的半径，再算出棱锥（圆锥）的高； Step3：由勾股定理，解出． 【典例】1．在正四棱锥中，底面是边长为2的正方形，侧面是腰长为的等腰三角形，则正四棱锥的外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 【典例】2．已知A，B，C是半径为1的球O的球面上的三个点，且，则三棱锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【典例】3．已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，是边长为的正三角形，为球的直径，且，则此棱锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【典例】4．（最值问题）已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上．若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式】1．设是同一个半径为4的球的球面上四点，为等边三角形且其面积为，则三棱锥体积的最大值为 A． B． C． D． 【变式】2．已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（    ） A． B． C． D． 外接球模型五：垂面模型（线面垂直） 方法 适用几何体 图示 方法步骤 定心法 有一条侧棱垂直于底面的三棱锥 补为直棱柱，取的外心，算出圆的半径，且，则 【典例】已知点均在半径为2的球面上，是边长为3的等边三角形，平面，则 ． 外接球模型六：切瓜模型（面面垂直） 方法 适用几何体 图示 方法步骤 单面定球心法 有一侧面垂直于底面的棱锥 Step1：确定底面的