2023-2024学年高三数学1月份期末测试卷（理） 人教版（老高考）

绝密★启用前 2023-2024学年高三数学1月份期末测试卷（理） 人教版（老高考） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 3. 本试卷考试时间：120分钟，试卷总分150 第I卷（选择题 共60分） 一、单选题：（本题12题，每题5分，共60分） 1．已知，，则（ ） A． B． C． D． 2．在复平面内，复数与对应向量与，则向量对应的复数是（ ） A． B． C． D． 3．函数的图象大致是（ ） A． B． C． D． 4．声强级(单位：)由公式给出，其中为声强(单位：).某班级为规范同学在公共场所说话的文明礼仪，开展了“不敢高声语，恐惊读书人”主题活动，要求课下同学之间交流时，每人的声强级不超过40.现有4位同学课间交流时，声强分别为，，，，则这4人中达到班级要求的有（ ） A．1人 B．2人 C．3人 D．4人 5．已知等比数列中，，则其前5项的积为（ ） A．64 B．81 C．192 D．243 6．已知定义在R上的函数满足为偶函数，若在内单调递减．则下面结论正确的是（ ） A． B． C． D． 7．已知圆柱上下底面圆周均在球面上，且圆柱底面直径和高相等，则该球与圆柱的体积之比为（ ） A． B． C． D． 8．的展开式中的系数是（ ） A．60 B．80 C．84 D．120 9．定义在上的偶函数满足，且在处的导数，则曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 10．将函数的图象向右平移个单位长度后，所得图象对应的函数在上的值域为，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 11．已知双曲线的左焦点为，以为直径的圆与双曲线的渐近线交于不同原点的两点，若四边形的面积为，则双曲线的渐近线方程为（ ） A． B． C． D． 12．已知定义域为的函数满足（为函数的导函数），则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 第II卷（非选择题 共90分） 二、填空题：（本题共4题，每题5分，共20分） 13．已知向量，满足，则在方向上的投影的最小值是______． 14．若，则________（用含的式子表示）． 15．已知随机变量的分布列为（），其中为实常数，则______，______． 16．数学中有许多形状优美的曲线，如星形线，让一个半径为的小圆在一个半径为的大圆内部，沿着圆的圆周滚动，小圆圆周上的任一点形成的轨迹即为星形线．如图，已知星形线的方程为，周长为，有如下结论： ①曲线的周长大于星形线的周长； ②曲线上任意两点距离的最大值为； ③曲线与圆有且仅有个公共点； ④从曲线上任一点作，轴的垂线，垂线与，轴所围成图形的面积最大值为．其中所有正确结论的序号是________． 三、解答题：（本题共6题，17-21题每题12分，22，23选做题每题10分，共70分） 17．在①；②这两个条件中任选一个作为已知条件，补充到下面的横线上并作答. 问题：在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知___________. （1）求角A； （2）若，求的周长. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 18．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，二面角的余弦值为，是棱的中点，，，． （1）求证：； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 19．小李在县城租房开了一间服装店，每年只卖甲品牌和乙品牌中的一种．若当年卖甲品牌，则下一年卖甲品牌的概率为，卖乙品牌的概率为；若当年卖乙品牌，则下一年卖甲品牌的概率为，卖乙品牌的概率为．已知第一年该店卖甲品牌，且第年卖甲品牌有万元利润，卖乙品牌有万元利润． （1）求前年的利润之和超过万元的概率； （2）求该服装店第四年的利润的数学期望． 20．已知椭圆的左右焦点分别是和，离心率为，点P在椭圆E上，且的面积的最大值为. （1）求椭圆C的方程； （2）直线l过椭圆C右焦点，交该椭圆于A､B两点，AB中点为Q，射线OQ交椭圆于P，记的面积为，的面积为，若，求直线l的方程. 21．已知函数（）． （1）讨论函数的单调性； （2）当时，令，若函数的图象与直线相交于不同的两点，，设，（）分别为点，的横坐标，求证：． 22．在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程是（为参数）．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为，设与的交点为． （1）当变化时，求的轨迹的极坐标方程； （2）设射线与曲线与的交点分别为（非原点），，求． 23．已知a，b，c为正数，且满足. （1）证明：. （2）证明：. 参考答