5.3.3 导数在研究函数中的应用（最大值与最小值）小练习（1）-2023-2024学年高二上学期数学苏教版（2019）选择性必修第一册

5.3.3最大值与最小值小练习(1) 一、单项选择题 1. 函数在区间上的最小值为(　　) A. B. C. D. 2. 函数有(　　) A. 最大值为 B. 最小值为 C. 最大值为 D. 最小值为 3. 函数，的最大值是(　　) A. B. C. D. 4. 已知函数，若，使得成立，则实数 的最大值是(　　) A. B. C. D. 二、多项选择题 5. 已知函数，则下列说法中正确的是(　　) A. 函数的极大值为，极小值为 B. 当时，函数的最大值为，最小值为 C. 函数的单调减区间为 D. 曲线在点处的切线方程为 6. 已知函数，则下列说法中正确的有(　　) A. 函数在区间上单调递减，在区间上单调递增 B. 函数的图象与轴有两个交点 C. 当时，方程有两个不同的解 D. 若方程只有一个解，则 三、填空题 7. 函数在区间上的最大值为________． 8. 已知函数 (为常数)在区间上有最大值3，则函数 在区间上的最小值是________． 四、解答题 9. 已知函数，(为自然对数的底数)． (1) 求函数的单调区间； (2) 当时，求证：. 10. 已知函数. (1) 求函数的极值和零点个数；(2) 若恒成立，求实数的取值范围． 参考答案 一、单项选择题 1. 函数在区间上的最小值为(　　) A. B. C. D. 【解析】由得.当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增，所以函数在区间[1，3]上的最小值为f(2)＝×23－22＝－. 故选D. 2. 函数有(　　) A. 最大值为 B. 最小值为 C. 最大值为 D. 最小值为 【解析】由得，当时，；当时，，所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以. 故选A. 3. 函数，的最大值是(　　) A. B. C. D. 【解析】由得，当时，，则函数在区间上单调递增，所以当时，取得最大值. 故选C. 4. 已知函数，若，使得成立，则实数的最大值是(　　) A. B. C. D. 【解析】由已知可得使成立．令，则，所以当时，，则单调递增；当时，，则单调递减，所以，故. 故选D. 二、多项选择题 5. 已知函数，则下列说法中正确的是(　　) A. 函数的极大值为，极小值为 B. 当时，函数的最大值为，最小值为 C. 函数的单调减区间为 D. 曲线在点处的切线方程为 【解析】由得，令得或，所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以当时，取得极大值；当时，取得极小值，故A，C正确；当时，为单调增函数，所以，，故B错误；因为点在曲线的图象上，，所以曲线在点处的切线方程为，故D正确．故选ACD. 6. 已知函数，则下列说法中正确的有(　　) A. 函数在区间上单调递减，在区间上单调递增 B. 函数的图象与轴有两个交点 C. 当时，方程有两个不同的解 D. 若方程只有一个解，则 【解析】由知，当时，，单调递减；当时，，单调递增，故A正确；，.当时，，因此只在上有一个零点，它与轴只有一个交点，故B不正确；由上面讨论知时，，当时，，作出图象和直线，由图象可知当时，方程有两个不同的解，故C正确；根据函数 的图象与直线，可知若方程只有一个解，则或，故D不正确．故选AC. 三、填空题 7. 函数在区间上的最大值为________． 【解析】由得，当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减，所以. 故答案为：. 8. 已知函数 (为常数)在区间上有最大值3，则函数在区间上的最小值是________． 【解析】由得，令得或，所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以，所以，，故.故答案为：. 四、解答题 9. 已知函数，(为自然对数的底数)． (1) 求函数的单调区间； (2) 当时，求证：. 【解析】(1) 由得，①当时，恒成立，此时函数的单调减区间为；②当时，令，得，令，得，此时函数的单调增区间为，单调减区间为．综上，当时，函数的单调减区间为，无单调增区间；当时，函数的单调增区间为，单调减区间为． (2) 由(1)知当时，函数在处取得极小值，也是最小值，所以.因为，所以，即，所以. 10. 已知函数. (1) 求函数的极值和零点个数；(2) 若恒成立，求实数的取值范围． 【解析】(1) 由知函数定义域为，且.当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以函数在时取得极大值，函数没有极小值．因为，当时，，当时，所以只有一个零点． (2) 要使恒成立，只要恒成立，令，则.当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以在处取得极大值也是最大值，所以.由恒成立可得，所以实数的取值范围是. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$