2024年中考数学专项复习题——二次函数中的相似三角形问题

2024年中考数学专项复习题—— 二次函数中的相似三角形问题 1．如图，已知点是抛物线的顶点，过作直线分别交轴正半轴和轴于点，交该抛物线于点，且． （1）求点的坐标（用含的代数式表示）． （2）若，求的值． 2．抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点． （1）求抛物线的表达式及顶点D的坐标； （2）在直线上方的抛物线上找一点P，使，求点P的坐标； （3）在坐标轴上找一点M，使以点B，C，M为顶点的三角形与相似，直接写出点M的坐标． 3．如图，已知二次函数的图象与x轴交于A（−3，0）、B（1，0）两点，与y轴交于点C． （1）求二次函数的解析式； （2）当时，请直接写出x的范围； （3）点D是抛物线上位于第二象限的一个动点，连接CD，当∠ACD=90°时，求点D的横坐标． 4．如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过点，． （1）求抛物线的解析式； （2）为轴上一动点，过点作轴，交直线于点，交抛物线于点，连接． ①点在线段上运动，若直角三角形，求点的坐标； ②点在轴的正半轴上运动，若．请直接写出的值． 5．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知抛物线． （1）写出抛物线的开口方向，对称轴和顶点坐标； （2）已知点，直线与x轴相交于点B，将抛物线从点O沿方向平移，与直线交于点P，顶点M到A点时停止移动，设抛物线顶点M的横坐标为m，当m为何值时，线段最短？ （3）如图，点C为y轴正半轴上一点，过点C任作直线交抛物线于D，E两点，点F为y轴负半轴上一点，且，求证． 6．如图，抛物线与坐标轴交点分别是、、，作直线．      （1）求抛物线的解析式； （2）点为抛物线上第一象限内一动点，过点作轴于点，设点的横坐标为，求的面积与的函数关系式及的取值范围； （3）条件同（2）若与相似，求点的坐标． 7．已知抛物线经过点，，与轴的另一个交点为． 图1                          图2 (1)求出此抛物线的表达式及点坐标 (2)如图2，的中点记为，，将绕点在的左侧旋转，与射线交于点，与射线交于点．设，，求关于的函数关系式． (3)当的边经过点时，求，的值（直接写出结果）． 8．如图，已知二次函数y＝x2﹣2x+m的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，直线AC交二次函数图象的对称轴于点D，若点C为AD的中点． （1）求m的值； （2）若二次函数图象上有一点Q，使得tan∠ABQ＝3，求点Q的坐标； （3）对于（2）中的Q点，在二次函数图象上是否存在点P，使得△QBP∽△COA？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．    9．如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点为抛物线的顶点，且． （1）求抛物线的解析式； （2）设，，求的值； （3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C三点为顶点的三角形与相似，若存在，请指出点P的位置，并直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 10．如图，已知抛物线经过原点、，直线经过抛物线的顶点，点是抛物线上一点，且位于对称轴的右侧，联结，，，过点作轴，分别交线段、于点、. （1）求抛物线的表达式； （2）当时，求证：； （3）当时，求点的坐标. 11．如图，直角坐标系内的梯形（为原点）中，，，，． 求经过，，三点的抛物线的解析式； 延长交抛物线于点，求线段的长； 在的条件下，动点、分别从、同时出发，都以每秒个单位的速度运动，其中点沿由向运动，点沿由由运动（其中一个点运动到终点后，另一个点运动也随之停止），过点作交于点，连接．设动点运动的时间为秒，请你探索：当时间为何值时，中有一个角是直角． 12．如图,已知一次函数y=0.5x+1的图象与x轴交于点A,与y轴交于点B,二次函数y=0.5x2+bx+c的图象与一次函数y=0.5x+1的图象交于点B、C两点,与x轴交于D、E两点,且D点坐标为（1,0）． （1）求二次函数的解析式； （2）在x轴上有一动点P，从O点出发以每秒1个单位的速度沿x轴向右运动，是否存在动点P，使得△PBC是以P为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点P运动时间t的值；若不存在，请说明理由； （3）若动点P在x轴上，动点Q在射线AC上，同时从A点出发，点P沿x轴正方向以每秒2个单位的速度运动，点Q以每秒a个单位的速度沿射线AC运动，是否存在以A、P、Q为顶点的三角形与△ABD相似？若存在，求a的值；若不存在，说明理由． 13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点和点，与轴交于点．    (1)求、的值和点的坐标； (2)点为抛物线上一点（不与点重合），当时，求点的坐标； (3)在（）的条件下，平移该抛物线，使其顶点在射线上，设平移后的抛物线的顶点为点，当与相似时，求平移后的抛物线的表达式． 14．如图，在平面直