1.7 整式与因式分解-【一战成名新中考】2024广西中考数学·基础夯实练

基础夯实练·广西数学 命题点７　 櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 毴 毴毴 毴 整式与因式分解 １．了解整数指数幂的意义和基本性质； ２．理解整式的概念，掌握合并同类项和去括号的法则；能进行简单的整式加减运算，能进行简单的整式 乘法运算（多项式乘法仅限于一次式之间和一次式与二次式的乘法）； ３．理解乘法公式（ａ＋ｂ）（ａ－ｂ）＝ａ２－ｂ２，（ａ±ｂ）２＝ａ２±２ａｂ＋ｂ２，了解公式的几何背景，能利用公式进 行简单的计算和推理； ４．能用提公因式法、公式法（直接利用公式不超过二次）进行因式分解（指数为正整数）． 要点归纳 １．整式的相关概念 （１）单项式 概念 数或字母的①　积　的式子，单独的一个数或一个字母也是单项式 系数 单项式中的②　数字因数　 次数 一个单项式中，所有字母的③　指数的和　 例： 叫作④　五次单项式　 注：单独的一个非零的数，它的次数为０． （２）多项式 概念 几个单项式的⑤　和　 项 多项式中的每个单项式叫作多项式的项，其中不 含字母的项叫作常数项 次数 多项式中次数⑥　最高　项的次数 例： （３）整式：单项式和多项式统称为整式． ２．整式的运算 （１）整式的加减运算：实质是合并⑦　同类项　． ①同类项：所含字母⑧　相同　，并且⑨　相同　字母的指数也相同的项，叫作同类项， 常数项都是同类项； ②合并同类项：把多项式中的同类项合并为一项，叫作合并同类项； 例如：合并同类项法则 合并同类项 法则 （口诀：一加减两不变） ａ．系数相加减 ｂ．{ 字母连同它的指数不变 ２１ 基础夯实练·广西数学 ③去括号法则： ａ＋（ｂ＋ｃ）＝⑩　ａ＋ｂ＋ｃ　，ａ－（ｂ＋ｃ）＝瑏瑡　ａ－ｂ－ｃ　．简记为“－”变“＋”不变； ④加减运算可归纳为：先去括号，再合并同类项． （２）幂的运算 ①同底数幂相乘：底数不变，指数瑏瑢　相加　，ａｍ·ａｎ＝瑏瑣　ａｍ＋ｎ　（ｍ、ｎ为整数）； ②同底数幂相除：底数不变，指数瑏瑤　相减　，ａｍ÷ａｎ＝瑏瑥　ａｍ－ｎ　（ａ≠０，ｍ、ｎ为整数 且ｍ＞ｎ）； ③幂的乘方：底数不变，指数瑏瑦　相乘　，（ａｍ）ｎ＝瑏瑧　ａｍｎ　（ｍ、ｎ为整数）； ④积的乘方：先把积中的每个因式分别瑏瑨　乘方　，再把所得的幂瑏瑩　相乘　，（ａｂ）ｎ＝ 瑐瑠　ａｎｂｎ　（ｎ为整数）． （３）整式的乘法运算 ①单项式乘单项式：把它们的系数、同底数幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作 为积的因式，如２ａ３·３ａｂ２＝瑐瑡　６ａ４ｂ２　； ②单项式乘多项式（如图１）：ｍ（ａ＋ｂ）＝瑐瑢　ｍａ＋ｍｂ　； ③多项式乘多项式（如图２）：（ｍ＋ｎ）（ａ＋ｂ）＝瑐瑣　ｍａ＋ｍｂ＋ｎａ＋ｎｂ　． 图１ 　　　　 图２ （４）整式的除法运算 ①单项式除以单项式：把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式；对于只在被除式里含 有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式，如３ｘ４ｙ÷ｘ３＝瑐瑤　３ｘｙ　； ②多项式除以单项式：先把这个多项式的每一项分别除以这个单项式，再把所得的商相 加，如（ａｍ＋ｂｍ）÷ｍ＝瑐瑥　ａ＋ｂ　． ３．乘法公式 （１）平方差公式：（ａ＋ｂ）（ａ－ｂ）＝ａ２－ｂ２； （２）完全平方公式：（ａ＋ｂ）２＝ａ２＋２ａｂ＋ｂ２，（ａ－ｂ）２＝ａ２－２ａｂ＋ｂ２． 注：数形结合理解乘法公式 ①由图３可得乘法公式：瑐瑦　（ａ＋ｂ）（ａ－ｂ）＝ａ２－ｂ２　； 图３ 　　　　 图４ 　　　　 图５ ②由图４可得乘法公式：瑐瑧　（ａ＋ｂ）２＝ａ２＋２ａｂ＋ｂ２　； ③由图５可得乘法公式：瑐瑨　（ａ－ｂ）２＝ａ２－２ａｂ＋ｂ２　． ４．整式混合运算的顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减，同级运算按照从左到右的顺序进 行计算． ５．因式分解：把一个多项式化成几个整式的瑐瑩　积　的形式． ３１ 基础夯实练·广西数学 ６．因式分解的基本方法 （１）提公因式法：ｍａ＋ｍｂ＋ｍｃ＝瑑瑠　ｍ（ａ＋ｂ＋ｃ）　； 怎么提？———公因式的确定 系数：取各项系数的最大公约数 字母：取各项相同的字母 指数： { 取各项相同字母的最低次数 （２）公式法： ① ａ２－ｂ２＝瑑瑡　（ａ＋ｂ）（ａ－ｂ）　；② ａ２＋２ａｂ＋ｂ２＝瑑瑢　（ａ＋ｂ）２　； ③ ａ２－２ａｂ＋ｂ２＝瑑瑣　（ａ－ｂ）２　． 【拓展】十字相乘法：ｘ２＋（ａ＋ｂ）ｘ＋ａｂ＝（ｘ＋ａ）（ｘ＋ｂ）．如：ｘ２＋５ｘ＋６＝（ｘ＋２）（ｘ＋３）． ７．因式分解的步骤 易错警示：一定要分解到每个因式不能分解为止． 随堂练习 １．判