2023-2024学年 北师大版 九年级下册数学常考题型专练1

北师大版 数学 9年级下册 第1部分 (一)解直角三角形的常见类型 (二)三角函数的实际应用 (三)求二次函数表达式的常见类型 (四)二次函数的图象信息题的四种常见类型 (五)二次函数与几何图形的综合 第2部分（见另一份资料） (六)证明圆的切线的常用方法 (七)与圆有关的阴影部分面积的计算 (八)辅助圆及圆中最值问题 (九)数学文化与新定义型试题 (十)跨学科试题 (一) 解直角三角形的常见类型 类型一　已知两直角边解直角三角形 1. 如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,a=3,求这个三角形的其他元素. 类型二　已知一直角边和斜边解直角三角形 2.在Rt△ABC中,∠C=90°,a,b,c分别是∠A,∠B,∠C的对边,已知a=,解这个直角三角形. 3.如图,∠ACB=90°,AB=13,AC=12,∠BCM=∠BAC,求sin∠BAC和点B到直线MC的距离. 类型三　已知一边和一锐角解直角三角形 4.在Rt△ABC中,∠C=90°,a,b,c分别是∠A,∠B,∠C的对边.已知∠B =45°,c=,解这个直角三角形. 5. 如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,c=8,∠A=60°,求这个三角形的其他元素. 类型四　已知一边和一锐角的三角函数值解直角三角形 6. 如图,在△ABC中,∠C=90°,AB=13,sin B=.求AC的长及∠A的正切值. 7.如图,在△ABC中,AD⊥BC,垂足为D,BC=12,AD=6,sin∠ABC=.求tan C的值. 类型五　“等角代换法”解直角三角形 8. 如图,在等腰△ABC中,AB=AC=13, BC=24,点D为BC的中点,DE⊥AB于点E,则sin∠BDE的值为(　　) A. 类型六　“定义法”解直角三角形 9.如图,E是矩形ABCD中CD边上一点,△BCE沿BE折叠得△BFE,点F落在边AD上. (1)求证:△ABF∽△DFE; (2)若sin∠DFE=,求tan∠EBC的值. 类型七　“参数法”解直角三角形 10.已知,如图,△ABC是等腰直角三角形,∠ABC=90°,AB=10,D为△ABC外一点,连接AD、BD,过D作DH⊥AB,垂足为H,交AC于E. (1)若△ABD是等边三角形,求DE的长; (2)若BD=AB,且tan∠HDB=,求DE的长. 类型八　“化斜为直”解直角三角形 11.如图,等腰三角形ABC的腰长AB=AC=5,底边长BC=6,求cos C. 12. 已知BD为等腰三角形ABC的腰AC上的高,BD=1,tan∠ABD=,求CD的长. (二) 三角函数的实际应用 类型一　单直角三角形 1.台灯是生活中常见物品,图1是一个台灯的实物图,图2是其侧面示意图.台灯的双轴灯臂AB=9 cm,AC=37 cm,通过调节灯臂AC的倾斜角度∠CAC'可以改变台灯的照明位置,已知AB垂直于底座,∠CAC'=23°,求灯臂顶端C到底座的距离(结果精确到 1 cm).(参考数据:sin 23°≈0.39,cos 23°≈0.92,tan 23°≈0.42) 　 图1 图2 类型二　“背靠式” 2.如图,一艘海轮位于灯塔P的北偏东72°方向,距离灯塔100 n mile的A处,它沿正南方向航行一段时间后,到达位于灯塔P的南偏东40°方向上的B处.这时,B处距离灯塔P有多远(结果取整数)?(参考数据:sin 72°≈0.95,cos 72°≈0.31,tan 72°≈3.08,sin 40°≈0.64,cos 40°≈0.77,tan 40°≈0.84) 3.某数学兴趣小组利用所学的“锐角三角函数”知识测量一段两岸平行的河流宽度.他们先在河岸设立A,B两个观测点,然后选定对岸河边的一棵树记为点C.测得AB=260 m,∠CAB=35°, ∠CBA=75°.请你根据测得的数据,求出这段河流的宽度(结果取整数).参考数据:tan 35°≈0.70,tan 75°≈3.73. 类型三　“母抱子”型 4.如图所示,MN是一条直线路段,限速60千米/时,交警在该路段附近设立了观测点P,这时,一辆小轿车由西向东匀速行驶,测得此车从A处行驶到B处所用的时间为5秒,已知∠PAB=30°,∠PBN=53°,AP=180米. (1)求A、B之间的路程;(参考数据:≈1.7,sin 53°≈0.8,cos 53°≈0.6,tan 53°≈) (2)此车是否超速了?请说明理由. 类型四　“互拥抱”型 5.如图所示,一梯子AC斜靠着墙OD,梯子与地面夹角为45°.若梯子底端A向右水平移动1 m至点B,梯子顶端随之向上移动至点D,此时∠DBO=α,OB=2 m,求CD的长度.(用含α的式子表示) 类型五　“斜截”型 6..如图所示的是一个新建的地下停车场的设计示意图,已