命题点3 二次根式及其运算-【一战成名新中考】2024山东中考数学·基础夯实练

基础夯实练·山东数学 命题点３　 櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 毴 毴毴 毴 二次根式及其运算 １．了解平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、算术平方根、立方根； ２．了解乘方与开方互为逆运算，会用平方运算求百以内完全平方数的平方根，会用立方运算 求千以内完全立方数（及对应的负整数）的立方根，会用计算器计算平方根和立方根； ３．了解二次根式、最简二次根式的概念，了解二次根式（根号下仅限于数）加、减、乘、除运算 法则，会用它们进行简单的四则运算． 要点归纳 １．平方根、算术平方根、立方根的对比 名称 ａ（ａ＞０） ａ（ａ＝０） ａ（ａ＜０） 总结 平方根 ①±槡ａ　 ②　０　 无 正数有③　两　个平方根，它们互为 ④　相反数　；平方根等于本身的数 是⑤　０　 算术平方根 ⑥　槡ａ　 ⑦　０　 无 算术平方根等于本身的数是⑧　　　　 立方根 ⑨　 ３ 槡ａ　 ⑩　０　 瑏瑡　 ３ 槡ａ　 任意一个实数只有一个立方根，且与 原数同号；立方根等于本身的数是 瑏瑢　－１、０、１　 注：①∵（±１０）２＝１００，∴１００的平方根是±１０． 附表：百以内的完全平方数及其平方根 完全平方数 ０ １ ４ ９ １６ ２５ ３６ ４９ ６４ ８１ １００ 平方根 ０ ±１ ±２ ±３ ±４ ±５ ±６ ±７ ±８ ±９ ±１０ ②∵４３＝６４，∴６４的立方根是４． 附表：千以内的完全立方数（含对应的负整数）及其立方根【２０２２年版课标变化】 完全立方数 ０ １ ８ ２７ ６４ １２５ ２１６ ３４３ ５１２ ７２９ １０００ 立方根 ０ １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ 完全立方数 — －１ －８ －２７ －６４ －１２５ －２１６ －３４３ －５１２ －７２９－１０００ 立方根 — －１ －２ －３ －４ －５ －６ －７ －８ －９ －１０ ２．二次根式的相关概念 （１）定义：一般地，式子 槡ａ（ａ≥０）叫作二次根式，ａ是被开方数； （２）有意义的条件：被开方数ａ瑏瑣　≥　０； （３）最简二次根式的条件： ①被开方数不含瑏瑤　分母　；②被开方数中不含能开得尽方的瑏瑥　因数或因式　； （４）同类二次根式：化为最简二次根式后，被开方数相同的几个二次根式称为同类二次根式． 如：槡１２（化简后为２槡３）与槡３就是同类二次根式． ５ 基础夯实练·山东数学 ３．二次根式的性质 （１）双重非负性：槡ａ≥０（ａ≥０）； （２）（槡ａ） ２＝瑏瑦　ａ　（ａ≥０）； （３） ａ槡 ２＝｜ａ｜＝ 瑏瑧　ａ　（ａ≥０）， 瑏瑨　－ａ　（ａ＜０{ ），注：只有当ａ≥０时， ａ槡２＝（槡ａ）２． （４）槡ａｂ＝槡ａ·槡ｂ（ａ瑏瑩　≥　０，ｂ瑐瑠　≥　０）； （５） ａ 槡ｂ ＝槡ａ 槡ｂ （ａ≥０，ｂ瑐瑡　＞　０） }． 北师版独有 ４．二次根式的运算 （１）乘法运算：槡ａ·槡ｂ＝瑐瑢　槡ａｂ　（ａ≥０，ｂ≥０）； （２）除法运算：槡ａ 槡ｂ ＝瑐瑣　　　　或槡ａ÷槡ｂ＝瑐瑤　 ａ÷槡 ｂ　（ａ≥０，ｂ＞０）； （３）加、减运算本质：同类二次根式运算 步骤一：化简为最简二次根式；步骤二：合并同类二次根式． 切记：槡ａ＋槡ｂ≠ ａ＋槡 ｂ（ａ＞０，ｂ＞０）． （４）混合运算：先乘除，再加减；有括号先算括号里的（或先去掉括号）． 易错警示：  二次根式运算的最终结果应化为最简二次根式． ５．非负数 （１）常见非负数：｜ａ｜（ａ是任意实数）、ａ２ｎ（ａ是任意实数，ｎ为正整数）、槡ａ（ａ≥０）； （２）若ａ２＋｜ｂ｜＋槡ｃ＝０，则ａ＝瑐瑥　０　，ｂ＝瑐瑦　０　，ｃ＝瑐瑧　０　． 随堂练习 １．判断下列说法的正误． （１）０的平方根与算术平方根都是０；　√　 （２）正数的算术平方根一定是正数；　√　 （３）因为（－５）２＝２５，所以－５是２５的算术平方根；　　 （４）（－４）２的平方根是－４；　　 （５）任何非负数都有两个平方根；　　 （６）面积为９的正方形的边长是９的平方根；　　 （７）１是１的一个平方根；　√　 （８）若ｘ＋３是４的平方根，则ｘ＝－１；　　 （９）一个数有立方根，但它不一定有平方根；　√　 （１０）９的平方根是３，算术平方根是３．　　 ２．ｘ取何值时，下列式子有意义？ （１） －５槡 ｘ：　ｘ≤０　；　　　（２） ｘ槡 －４：　ｘ≥４　；　　　　（３） ２ｘ槡 ２：　ｘ取任意实数　； （４） ｘ槡 ＋１２ ：　ｘ≥－１　； （５） ｘ槡 －１ ２－ｘ：　ｘ≥１且ｘ