习题课5 直线与抛物线的位置关系问题 课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019)选择性必修第一册

习题课5 直线与抛物线的位置关系问题 习题课 1.理解作差法，能利用作差法求解抛物线的中点弦问题. 2.能利用抛物线的几何性质求解抛物线的焦点弦问题. 3.能根据直线与抛物线的位置关系求解抛物线有关的最值问题. 学习活动 学习目标 学习总结 2 任务：求中点轨迹方程. 目标一：理解作差法，能利用作差法求解抛物线的中点弦问题. 已知抛物线 ，过点Q（2,1）作一条直线交抛物线于A，B两点，试求弦AB的中点轨迹方程. 解：（方法1）设 ， ， ， ， 当过点Q的直线与x轴垂直时，此时，弦AB中点 ， 当过点Q的直线与不与x轴垂直时，设其方程为： ， 联立方程组 ， 消去y并整理，得 ， 学习活动 学习目标 学习总结 设弦AB的中点坐标为 ，∴ ， ∴ 综上所述，弦AB中点的轨迹方程为 ． （方法2）设 ， ， ， ，弦AB的中点为M（x，y），则 . 当过点Q的直线与x轴垂直时，此时，弦AB中点 ， 当过点Q的直线与不与x轴垂直时， ， 将 ， ， ， 代入到抛物线方程，得 ，两式相减， 得 所以 ，即 ，即 ， 将直线斜率不存在时，弦AB中点 符合上式.故所求的轨迹方程为 . 学习活动 学习目标 学习总结 求解抛物线弦中点的方法： （1）点差法：先设交点坐标，然后代入抛物线方程，作差，利用中点坐标公式代换，进而求解. （2）解方程组法：先设直线方程，然后与抛物线联立求出交轨方程，进而求得根与系数的关系，最后根据中点坐标公式求解. 归纳总结 学习活动 学习目标 学习总结 练一练 已知抛物线 ，过点 作一条直线交抛物线于A，B两点，且点Q恰为弦AB的中点，求直线AB的方程. 解：设 ， ， ， ，则可得AB的中点Q的坐标为 ， ， 又因为 ，所以可得 ， 将A，B的坐标代入抛物线的方程： ，作差可得 ， 整理可得： ， 即直线AB的斜率为1， 所以直线AB的方程为： ，即 ， 故答案为： ． 学习活动 学习目标 学习总结 任务：求解抛物线的焦点弦问题. 目标二：能利用抛物线的几何性质求解抛物线的焦点弦问题. 已知抛物线 的焦点为F，过点F且倾斜角为 的直线l与抛物线在第一、二象限分别交于A，B两点，求 的值. 解：（方法1）设 ， ， ， ，直线l的方程为： 则 ，消去x得 ， ∴点A在第一象限，解得： ， ， ∴ 学习活动 学习目标 学习总结 （方法2）如图， 过点A，B作准线的垂线，垂足分别为 , 则由抛物线的定义可知， . 过点A作 于点E， . 易知