题课3 双曲线的焦三角形与最值问题 课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019)选择性必修第一册

习题课3 双曲线的焦三角形与最值问题 习题课 1.理解双曲线焦三角形的性质，能解决双曲线焦三角形问题. 2.能利用双曲线的定义求与双曲线相关的最值问题. 学习活动 学习目标 学习总结 2 任务1：求双曲线的焦三角形的面积. 目标一：理解双曲线焦三角形的性质，能解决双曲线焦三角形问题. 设 ， 为双曲线 的两个焦点，点P在双曲线上且满足 ，求 的面积. 解：如图.由题意，双曲线 ，可得 ，则 ， 因为点P在双曲线上，不妨设点P在第一象限，由双曲线的定义可得 ， 又因为 ，可得 ，即 ， 又由 ，可得 ， 解得 ，所以 的面积为 . 学习活动 学习目标 学习总结 归纳总结 双曲线焦三角形： 1.定义：双曲线上一点与双曲线的两个焦点组成的三角形. 2.双曲线的焦三角形面积求法： （1）直接法： ①根据双曲线定义和余弦定理求出 ； ②利用三角形面积公式 求解. 学习活动 学习目标 学习总结 思考：已知双曲线： ，点M为双曲线上不在x轴上的任意一点， . 的面积表达式是什么？ 所以 ， 又因为 ， 所以 . 学习活动 学习目标 学习总结 （2）公式法： ，其中 为 . 归纳总结 双曲线的焦三角形面积求法： 学习活动 学习目标 学习总结 练一练 已知双曲线的中心在原点，两个焦点F1，F2的坐标分别为( ，0)和 (－ ，0)，点P在双曲线上，且PF1⊥PF2，△PF1F2的面积为1，则双曲线的方程为__________． 解：如图.（方法1）由题意得 ⇒(|PF1|－|PF2|)2＝16，即2a＝4，解得a＝2， 又c＝ ，所以b＝1，故双曲线的方程为 －y2＝1. （方法2） ， ， ， c＝ ， 故双曲线的方程为 －y2＝1. －y2＝1 学习活动 学习目标 学习总结 任务2：双曲线与焦点有关的三角形的周长. 已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，求△PF1F2的周长 ∴(|PF1|＋|PF2|)2=(|PF1|－|PF2|)2＋4|PF1|·|PF2|＝20. 解：不妨设P是双曲线右支上一点，在双曲线x2－y2＝1中，a＝1，b＝1，c＝ ， 则|PF1|－|PF2|＝2a＝2，|F1F2|＝2 ， ∵|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos∠F1PF2， ∴8＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|· ，∴8＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|， ∴8＝4＋|PF1|·|PF2|，∴|PF1|·|PF2|＝4. ∴|PF1|＋|PF2|= ，所以△PF1F2的周长为 . 学习活动 学习目标 学习总结 双曲线焦点有