1.4 实数的大小比较与无理数的估值-【一战成名新中考】2024河南中考数学·基础夯实练

基础夯实练·河南数学 ３．（１）判断下列二次根式是否为最简二次根式，若是，则在括号中打“√”，若不是，则在括号中 打“”并将化简结果填在横线上． ①槡１２（　　）　２槡３　；②槡３×９（　　）　３槡３　；③ ２ 槡３ （　　）　　　　； ④ ４槡ａ（　　）　２槡ａ　； ⑤ ａ槡 ３（　　）　ａ槡ａ　；　　⑥ ａ ２＋ｂ槡 ２（　√　）　　　； ⑦ ４ａ槡 ＋４（　　）　２ ａ槡 ＋１　；　　　　⑧ ａ ２ 槡 ＋１（　√　）　　　　　　． （２）（１）中的同类二次根式有：　①和②，④和⑤　．（填序号即可） ４．计算：（１）（槡３） ２＝　３　；　　　（２） （－３）槡 ２＝　３　；　　　（３）（－槡３） ２＝　３　； （４）－ （－３）槡 ２＝　－３　； （５）槡２×槡３＝　槡６　； （６）槡１２－槡３＝　槡３　； （７） ４ 槡３ ÷ １ 槡３ ＝　２　； （８）（槡３＋槡２）×槡６＝　　　　； （９）（槡３－槡２）（槡３＋槡２）＝　１　． 变式　已知ａ＝ １ 槡３－槡２ ，ｂ＝ １ 槡３＋槡２ ，则ａ＋ｂ的值为　２槡３　． ５．若｜２ａ－４｜＋（３－ｂ）２＋ ３ｃ槡 ＋７＝０，则ａ＋ｂ＋ｃ＝　　　　． 命题点４　 櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 毴 毴毴 毴 实数的大小比较与无理数的估值 １．能比较有理数的大小； ２．能比较实数的大小； ３．能用有理数估计一个无理数的大致范围． 要点归纳 １．实数的大小比较 （１）数轴比较法： ①数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大，如图，ｂ＜０＜ａ； ②离数轴原点距离越远的数，绝对值越大，如图，｜ｂ｜①　＜　｜ａ｜． （２）性质比较法： ①负数＜０＜正数； ②两个正数比较大小，绝对值大的数较②　大　； ③两个负数比较大小，绝对值大的数反而③　小　； ④如果一组数里面有正数、０、负数，判断最大的数直接在正数里面比较，判断最小的数直 接在负数里面比较． 拓展方法 作差比较法 （１）ａ－ｂ＞０ａ④　＞　ｂ；（２）ａ－ｂ＝０ａ⑤　＝　ｂ； （３）ａ－ｂ＜０ａ⑥　＜　ｂ 作商比较法 （ａ＞０，ｂ＞０） （１）ａｂ＞１ａ⑦　＞　ｂ；（２） ａ ｂ＝１ａ⑧　＝　ｂ；（３） ａ ｂ＜１ａ⑨　＜　ｂ ７ 基础夯实练·河南数学 乘方比较法 若ａ＞０，ｂ＞０，则ａ２＞ｂ２ ａ⑩　＞　ｂ 开方比较法 若ａ＞０，ｂ＞０，则 槡ａ＞槡ｂ ａ瑏瑡　＞　ｂ 倒数比较法 若ａｂ＞０，则１ａ＜ １ ｂ ａ瑏瑢　＞　ｂ 特殊值法 含有字母时，给字母取特殊值便于快速解题． 如：当０＜ａ＜１时，比较ａ，１ａ，ａ ２，槡ａ的大小． 解：令ａ＝１４，则 １ ａ＝瑏瑣　４　，ａ ２＝瑏瑤　　　　　，槡ａ＝瑏瑥　　　　　， 进而可知瑏瑦　　　　　　　　 ２．无理数的估值 （１）关键点：ｍ２＜ａ＜ｎ２（ｍ＞０，ａ＞０，ｎ＞０）→ｍ＜槡ａ＜ｎ； （２）确定无理数在哪两个整数之间 例１　估计槡７的值在 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．０和１之间 Ｂ．１和２之间 Ｃ．２和３之间 Ｄ．３和４之间 解题步骤 备注 ①先对无理数平方 （槡７） ２＝瑏瑧　７　 ②找出平方后与所得数字相邻 的两个开得尽方的整数 瑏瑨４　＜７＜瑏瑩　９　 ③对两个整数开方即可 瑐瑠２　＜槡７＜瑐瑡　３　 ①熟记常见的平方数：１，４，９，１６， ２５，３６，…； ②若无理数为ｎ槡ａ形式，需先转化为 ａｎ槡 ２再估值，不容易出错 【答案】瑐瑢　Ｃ　 （３）确定无理数离哪个整数较近 例２　下列整数中，与槡７最接近的是 （　　） Ａ．１ Ｂ．２ Ｃ．３ Ｄ．４ 解题步骤 图示理解法 ①确定无理数在哪两个相邻整 数之间 瑐瑣　２　＜槡７＜瑐瑤　３　 ②求这两个整数的平均数 １２×（瑐瑥　２　＋瑐瑦　３　）＝瑐瑧２．５　 ③若平均数的平方小于该无理 数的平方，则该无理数更接近 较大的那个整数 ∵２．５２＝６．２５，６．２５＜７， ∴槡７离瑐瑨　３　更近 ↓ 【答案】瑐瑩　Ｃ　 注：常见无理数的近似值：槡２≈１．４１４，槡３≈１．７３２，槡５≈２．２３６，黄金分割比槡 ５－１ ２ ≈０．６１８． ８ 基础夯实练·河南数学 随堂练习 １．实数ａ，ｂ，ｃ，ｄ在数轴上对应的点的位置如图所示，则有： 第１题图 （１）①ａ　＜　ｂ；　　②－ｂ　＜　ｃ；　　③ａ＋ｃ　＜　０； ④ｃ－ｂ　＞　０；⑤ｂｃ　＜　０； （２）这四个数中，最大的数是　ｄ　，最小的数是　ａ　； （３）这四个数中，绝对值最大的数是