专题09分式方程（2大考点+4种题型）-【寒假自学课】2024年八年级数学寒假提升学与练（沪教版）

学科网（北京）股份有限公司 专题09分式方程（2大考点+4种题型） 思维导图 核心考点与题型分类聚焦 考点一：分式方程及其解法 考点二：分式方程应用题 题型一：分式方程的解法 题型二：根据分式方程解的情况求值 题型三：分式方程无解问题 题型四：分式方程的实际应用 考点一：分式方程及其解法 1、分式方程的概念 分母中含有未知数的方程叫做分式方程． 2、解分式方程的方法 通过去分母把分式方程转化为整式方程，再求解． 3、增根的概念 分式方程在化整式方程求解过程中，整式方程的解如果使得分式方程中的分母为0，那么这个解就是方程的增根． 4、解分式方程的一般步骤 （1）方程两边都乘以最简公分母，去分母，化成整式方程； （2）解这个整式方程，求出整式方程的根； （3）检验．有两种方法：①将求得的整式方程的根代入最简公分母，如果最简公分母等于0，则这个根为增根，方程无解；如果最简公分母不等于0，则这个根为原方程的根，从而解出原方程的解；②直接代入原方程中，看其是否成立．如果成立，则这个根为原方程的根，从而解出原方程的解；如果不成立，则这个根为增根，方程无解． 5、 分式方程组的概念 由两个或两个以上的分式方程构成的方程组叫做分式方程组． 6、 解分式方程组的方法 找出分式方程组中相同的分式进行换元，将分式方程组转化为整式方程组，解方程组，然后进行检验． 考点二：分式方程应用题 列方程（组）解应用题时，如何找“相等关系” （1） 利用题目中的关键语句寻找相等关系； （2） 利用公式、定理寻找相等关系； （3） 从生活、生产实际经验中寻找相等关系． 题型一：分式方程的解法 【例1】．（2023下·上海虹口·八年级统考期末）用换元法解分式方程时，如果设，将原方程化为关于y的整式方程，那么这个整式方程是（    ） A． B． C． D． 【变式1】．（2023下·上海徐汇·八年级统考期末）在分式方程中，令，则原方程可化为关于y的方程是 ． 【变式2】．（2023下·上海杨浦·八年级校考期中）用换元法解方程，设，则得到关于的整式方程为 ． 【变式3】．（2023下·上海黄浦·八年级统考期末）解方程： 【变式4】．（2023下·上海虹口·八年级统考期末）解方程：． 题型二：根据分式方程解的情况求值 【例2】．（2022下·上海普陀·八年级校考期中）已知关于的分式方程有增根，则 ． 【变式1】．（2023下·上海普陀·八年级校考阶段练习）当 时，解关于的方程会产生增根． 【变式2】．（2022下·上海·八年级上海市张江集团中学校考期末）已知方程只有一个根，求a的值． 【变式3】．（2023下·上海浦东新·八年级上海市进才中学北校校考阶段练习）若关于的方程只有一个根，求的值，并直接写出对应的原方程的根． 题型三：分式方程无解问题 【例3】．（2021下·上海长宁·八年级上海市第三女子初级中学校考期中）若关于方程无解，则的值是 ． 【变式1】．（2023下·上海浦东新·八年级校考期末）若关于x的方程无实根，则m取值范围是 ． 【变式2】．（2021下·上海·八年级上外附中校考期末）若关于x的方程无解，求实数的值． 题型四：分式方程的实际应用 【例4】．（2022下·上海·八年级上海市田林第三中学校考期中）5G手机的下载速度很快，比4G下载速度每秒多95MB，下载一部1000MB的电影，5G比4G要快190秒，求5G手机的下载速度． 【变式1】．（2022下·上海闵行·八年级上海市民办文绮中学校考阶段练习）若A、B两地相距30千米，甲、乙两人分别从A、B两地相向而行，且甲比乙早出发2小时．如果乙比甲每小时多行2千米，那么两人恰好在AB中点相遇．求甲、乙两人的速度各是每小时多少千米？ 【变式2】．（2022下·上海普陀·八年级校考期中）一项工程，如果甲、乙两队单独完成，甲队比乙队多用5天，如果甲、乙两队合作，6天可以完成.求两队单独完成此项工程各需多少天？ 【变式3】．（2023下·上海静安·八年级统考期末）某公司先从甲地用9000元购买了一批商品，后发现乙地同一商品每件比甲地便宜，因此又用12000元从乙地补购了一批同样的商品．公司按每件200元售完这两批商品后，共赚了11000元． (1)设该公司从甲地购进x件商品，请用含字母x的代数式表示从乙地购进的商品件数是______； (2)如果乙地同一商品每件比甲地便宜30元，求该公司分别从甲乙两地购进这种商品各多少件． 一、单选题 1．（2022下·上海·八年级上海市市西初级中学校考期中）已知方程：①；②③；④．这四个方程中，分式方程的个数是（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 2．（2023下·上海