习题课4 立体几何中关于空间角问题 课件-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

立体几何中关于空间角问题 习题课4 1.理解异面直线所成角的概念，能求异面直线所成角. 2.掌握线面角的求解方法，能求线面角. 3.理解二面角的概念，能求二面角. 学习活动 学习目标 学习总结 2 任务1：组织学生思考回答下列问题. 目标一：理解异面直线所成角的概念，能求异面直线所成角. 问题：什么是异面直线所成角？其范围是多少？ 学习活动 学习目标 学习总结 归纳总结 如图，已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O，分别作直线a'//a，b'//b,我们把直线a'与b'所成的角叫做异面直线a与b所成的角（或夹角） ，其范围为[0,90°]. 学习活动 学习目标 学习总结 任务2：求下列异面直线所成角，归纳求解方法. 如图所示，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，BC= ，DA⊥AC，DA⊥AB． 若DA＝1，且E为DA的中点，则异面直线BE与CD所成角的余弦值为　 　． 在Rt△ABC中，BC= ，AB＝AC，所以AB＝AC＝1. 在Rt△EAB中，AB＝1，AE= AD= ，所以BE= ． 在Rt△AEF中，AF= AC= ，AE= ，所以EF= ， 在Rt△ABF中，AB＝1，AF= ，所以BF= ， 在等腰三角形EBF中，cos∠FEB= ，所以异面直线BE与CD所成角的余弦值为 ． F 解：取AC的中点F，连接EF，BF，在△ACD中，E，F分别是AD，AC的中点，所以EF∥CD，所以∠BEF即为所求的异面直线BE与CD所成角（或其补角）， 学习活动 学习目标 学习总结 求两条异面直线所成的角的一般步骤 (1)构造：根据异面直线的定义，用平移法(常利用三角形中位线、平行四边形的性质)作出异面直线所成的角 (2)证明：证明作出的角就是要求的角. (3)计算：求角度(常利用三角形的有关知识). (4)结论：若求出的角是锐角或直角，则它就是所求异面直线所成的角；若求出的角是钝角，则它的补角就是所求异面直线所成的角. 归纳总结 学习活动 学习目标 学习总结 如图所示，正四棱锥P﹣ABCD的底面积为3，体积为 ，E为侧棱PC的中点，则PA与BE所成的角为　 　． 练一练 解：连接AC，BD交于点O，连接OE，PO， ∵正四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是正方形，∴O是AC中点，又E是PC中点， ∴OE∥PA，∴PA与BE所成的角为∠BEO． ∵正四棱锥P﹣ABD的底面积为3，体积为 ， ∴AB＝BC= ，PO= ，AC= ，PA= ，OB= ， ∵OE与PA在同一平面，OE是∆PAC的中位线，则∠OEB即为PA与BE所成的角，∴OE= ，∵PO⊥BD，AC⊥BD，PO∩AC＝O，∴BD⊥平面APC，∴BO⊥EO， 在Rt△OEB中，tan∠OEB= ，∴∠OEB= ． O 学习活动 学习目标 学习总结 任务1：组织学生思考回答下列问题. 目标二：掌握线面角的求解方法，能求线面角. 问题：什么是线面角？其范围是多少？ 归纳总结 α l P A θ 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角． 若直线l与平面α垂直，则称它们所成的角为90°； 若直线l在平面α内，则称它们所成的角为0°． 直线与平面所成的角θ的取值范围为0°≤θ≤90°． 斜线 斜足 射影 (直线) 学习活动 学习目标 学习总结 任务1：组织学生思考回答下列问题. 目标二：掌握线面角的求解方法，能求线面角. 问题：什么是线面角？其范围是多少？ 学习活动 学习目标 学习总结 归纳总结 α l P A θ 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和 这个平面所成的角． 若直线l与平面α垂直，则称它们所成的角为90°； 若直线l在平面α内，则称它们所成的角为0°． 直线与平面所成的角θ的取值范围为0°≤θ≤90°． 斜线 斜足 射影 (直线) 学习活动 学习目标 学习总结 任务2：求线面角，归纳求解线面角的步骤. 如图,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D为AC的中点,若AB＝BC＝BB1，∠ABC= ，求CC1与平面BC1D所成角的正弦值. 解：因为D为AC的中点，AB＝BC，所以BD⊥AC， 因为ABC﹣A1B1C1为直三棱柱，所以平面ABC⊥平面AA1C1C， 又因为平面ABC∩平面AA1C1C＝AC，所以BD⊥平面AA1C1C， 又因为BD⊂平面BDC1，所以平面BDC1⊥平面AA1C1C， 所以CC1在平面BDC1内投影为DC1，所以∠DC1C为CC1与平面BC1D所成角， 设∠DC1C=θ,AB=a，则 ，