9.1.1 正弦定理 课时2课件-2023-2024学年高一下学期数学人教B版（2019）必修第四册

课时2 正弦定理 新授课 导入：回顾什么是正弦定理，并说说正弦定理解三角形的适用条件有哪些？它们对应求出的三角形是否唯一确定？ 1.应用正弦定理解三角形，能根据正弦定理确定三角形解的个数. 2.掌握正弦定理的推论及变形公式，能应用其进行边角转化，解决三角形问题. 学习活动 学习目标 学习总结 3 目标一：应用正弦定理解三角形，能根据正弦定理确定三角形解的个数. 任务：利用正弦定理解三角形，归纳正弦定理确定三角形个数的方法. 问题1：已知△ABC中， ，求A，C及三角形面积. 由 得： 由于0°<C<180°，所以C=45°或C=135°. 学习活动 学习目标 学习总结 而 所以三角形面积 当C=45°时，A=180°-B-C=15°， 当C=135°时，A=180°-B-C=-75°，不合题意，舍去. 从b>c，B=120°及大边对大角看出C=135°不可能成立. 学习活动 学习目标 学习总结 问题2：判断满足条件A=30°，a=1，c=4的△ABC是否存在，并说明理由. 假设满足条件的三角形存在，则由 可知， 又因为sinC≤1，所以这是不可能的， 因此不存在这样的三角形. 问题3：结合问题2、3，思考已知三角形两边a、b和其中一边a的对角A，如何求解三角形？ 学习活动 学习目标 学习总结 已知三角形两边和其中一边的对角解三角形的方法： 1．先由正弦定理求出另一边对角的正弦值． 2．判断另一边对角的正弦值的大小： （1）如果正弦值>1，则无解． （2）如果正弦值=1，则一解且为直角， （3）如果正弦值<1，这时由正弦值可求两个角，要分类讨论解的取舍： 根据内角和或大边对大角验证. 归纳总结 学习活动 学习目标 学习总结 思考：已知三角形两边a、b和其中一边a的对角A，若A为锐角，三角形解的个数情况如何？a、b对应有怎样的关系式？若A为直角、钝角呢？ 学习活动 学习目标 学习总结 归纳总结 三角形解的个数的判断： 学习活动 学习目标 学习总结 练一练 下列说法正确的是（ ）. A.当b=11，a=20，B=30°，三角形有一解. B.当c=54，b=39，C=120°，三角形有一解. C.当b=26，c=15，C=30°，三角形有一解. D.当a=2，b=6，A=30°，三角形有一解. B 学习活动 学习目标 学习总结 目标二：掌握正弦定理的推论及变形公式，能应用其进行边角转化， 解决三角形问题. 任务1：探索正弦定理与外接圆半径的关系，归纳正弦定理的变形公式. 如图所示，c是圆O的直径，R是圆O的半径，根据正弦定理，你发现 与半径R有什么关系？借此，你发现在任意△ABC中， 与半径R存在什么关系？ 学习活动 学习目标 学习总结 由图知，∠B=∠B'，因为在△ABC中， 所以，在△AB'C中， 所以在△AB'C中有 又因为在圆O上，不论B′怎么移动，上述结论都成立， 所以对于任意△ABC都有 学习活动 学习目标 学习总结 归纳总结 1.正弦定理的推论： 2.正弦定理的变形： (1)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC； (2)sinA＝ ，sinB＝ ，sinC＝ ； (3)a：b：c＝sinA：sinB：sinC. (4) 学习活动 学习目标 学习总结 任务2：应用正弦定理的有关变形公式解决三角形中的问题. 问题1：△ABC中，sin2A=sin2B+sin2C，求证△ABC为直角三角形. 证明：因为 且 又因为sin2A=sin2B+sin2C，所以 即a2+b2=c2，由勾股定理逆定理得△ABC为直角三角形. 学习活动 学习目标 学习总结 利用正弦定理判断三角形形状的思路： 围绕三角形的边角关系，利用正弦定理进行边角互化: (1)把角转化为边，通过代数变形找出边之间的关系； (2)把边转化为角，通过三角变换找出角之间的关系. 归纳总结 学习活动 学习目标 学习总结 问题2：如图所示，在△ABC中，已知∠BAC的角平分线AD与边BC相交于点D，求证： 证明：如图，设∠ADB=α，∠BAD=β, 则由题意可知∠ADC=π-α，∠CAD=β， 在△ABD和△ADC中，分别应用正弦定理，可得 两式相除，可得 学习活动 学习目标 学习总结 利用正弦定理研究三角形或者四边形中的边角问题时： （1）确定需要研究的边或者角，在哪个三角形中研究； （2）利用正弦定理，转