6.5 正态分布 课件-2023-2024学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

新授课 6.5 正态分布 前面讨论了离散型随机变量，它们的取值是可以一一列举的.但在实际问题中，还有许多随机变量可以取某一区间中的所有值.例如： 1.某一自动装置无故障运转的时间X是一个随机变量，它可以取区间 (0，+∞)内的所有值. 2.某种产品的寿命(使用时间)X是一个随机变量，它可以取区间[0,b]或[0，+∞)内的所有值. 怎样描述这样的随机变量的分布情况呢？ 1.利用实际问题的频率分布直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义. 2.了解正态分布的均值、方差及3σ原则，会用正态分布去解决实际问题. 新课讲授 学习目标 课堂总结 3 设X表示某产品的寿命(单位：h)人们对该产品有如下的了解：寿命小于500h的概率为0.71，寿命在500h~800h的概率为0.22，寿命在800h~1000h的概率为0.07，怎样描述X的分布情况呢？ 根据已知可画出图1的频率分布直方图. 图1 缺点：比较粗糙. 将区间分得更细 图2 新课讲授 学习目标 课堂总结 将区间无限细分， 得到一条曲线. 图3 这条曲线称为随机变量X的分布密度曲线，这条曲线对应的函数称为X的分布密度函数，记为f(x). 如果知道了随机变量X的分布密度曲线，则X取值于区间(a，b]的概率是该曲线下相应“曲边梯形”(如图3中的阴影部分)的面积. 新课讲授 学习目标 课堂总结 人们把具有分布密度函数的随机变量称为连续型随机变量，最常见的一类连续型随机变量是由误差引起的.一般地，误差在0附近的概率大，远离0的概率小，误差大于0的概率与小于0的概率相同，即误差的分布具有对称性.因此，这一类连续型随机变量X的分布密度曲线一般是形状像“钟”的光滑曲线(如图4) 图4 新课讲授 学习目标 课堂总结 概念生成 由误差引起的连续型随机变量其分布密度函数图象如图4，对应的分布密度函数解析式为 其中实数μ，σ(σ>0)为参数，这一类随机变量X的分布密度(函数)称为正态分布密度(函数)，简称正态分布，对应的图象为正态分布密度曲线，简称为正态曲线. 正态分布是最常见、最重要的连续型随机变量的分布，是刻画误差分布的重要模型，因此也称为误差模型. 新课讲授 学习目标 课堂总结 如果随机变量X服从正态分布，那么这个正态分布完全由参数μ，σ(σ>0)确定，记为X~N(μ，σ2).其中EX=μ,DX=σ2.曲线与x轴之间的面积为1. 正态分布的特点： 如果一个随机变量X服从正态分布，那么对于任何实数a,b(a<b),随机变量X在区间(a,b]的概率可以用P(a<X≤b)来表示.它的几何意义就是随机变量X的分布密度曲线在区间(a,b]对应的曲边梯形面积的值(如图). 新课讲授 学习目标 课堂总结 正态曲线有如下性质： (1)曲线在x轴的上方，与x轴不相交. (2)曲线是单峰的，关于直线x=μ对称. (3)曲线的最高点位于x=μ处. (4)当x<μ时，曲线上升；当x>μ时，曲线下降；并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以x轴为渐近线(如图). 新课讲授 学习目标 课堂总结 思考：一个正态分布完全由参数μ和σ确定，这两个参数对正态曲线的形状有何影响?它们反映正态分布的哪些特征? (1)当参数σ取定值时： μ3= -1 μ1=0　 μ2=1 x y 若σ固定， 图像位置随μ值的变化而沿x轴平移 σ=1 为位置参数 新课讲授 学习目标 课堂总结 X~B(n, )  2 =0.5 1 =1 3=2 μ=0　 x y (2)当参数μ取定值时： 若μ固定，σ越大， 曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散； σ越小， 曲线越“高瘦”，表示总体的分布越集中. 为形状参数  新课讲授 学习目标 课堂总结 X~B(n, ) 一次教学质量检测中，甲、乙、丙三科考试成绩的正态分布密度曲线如图所示，下列说法中正确的是（ ） A.甲科总体的标准差最小 B.丙科总体的平均数最小 C.乙科总体的标准差及平均数都比甲小，比丙大 D.甲、乙、丙总体的平均数不相同 练一练 A 新课讲授 学习目标 课堂总结 ①P(μ－ σ ≤ X≤ μ＋σ)0.6827； ②P(μ－2σ ≤ X≤μ＋2σ)0.9545； ③P(μ－3σ ≤ X≤μ＋3σ)0.9973. (μ-σ，μ+σ]：68.3%,(μ-2σ，μ+2σ]：95.4%,(μ-3σ，μ+3σ]：99.7%. 在区间(μ-3σ，μ+3σ]外取值的概率为：1-99.