精品解析：上海市黄浦区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题（一模）

九年级数学试卷2024年1月 （满分：150分，考试时间：100分钟） 考生注意： 1.本试卷含三个大题，共25题； 2.答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效； 3.除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤． 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 【下列各题的四个选项中，有且只有一个是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．】 1. 下列命题中，真命题是（ ） A. 如果一个直角三角形的一个锐角等于另一个直角三角形的锐角，那么这两个三角形相似 B. 如果一个等腰三角形的一个内角等于另一个等腰三角形的内角，那么这两个三角形相似 C. 如果一个直角梯形的一个锐角等于另一个直角梯形的锐角，那么这两个梯形相似 D. 如果一个等腰梯形的一个内角等于另一个等腰梯形的内角，那么这两个梯形相似 2. 已知：，如果与相似比为2，与相似比为4，那么与的相似比为（ ） A 2 B. 4 C. 6 D. 8 3. 如图，三边上点，满足，那么下列等式中，成立的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知是的重心，记，那么下列等式中，成立的是（ ） A. B. C. D. 5. 将二次函数和图象画在同一平面直角坐标系中，那么这两个图象都是上升的部分，所对应自变量的取值范围是（ ） A. B. C. D. 或 6. 如图，过矩形的顶点分别作对角线的垂线，垂足分别为，依次连接四个垂足，可得到矩形．设对角线与的夹角为，那么矩形与矩形面积的比值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7. 已知，则＝___． 8. 已知向量与是互不平行的非零向量，如果，那么向量与是否平行？答：__________． 9. 已知抛物线顶点位于第三象限内，且其开口向上，请写出一个满足上述特征的抛物线的表达式__________． 10. 已知抛物线开口向上，且经过点和，如果点与在此抛物线上，那么__________．（填“”“”或“”） 11. 已知点，那么直线与轴夹角的正弦值是__________． 12. 如图，在中，是边上的中线，为的重心，过点作交于点，那么的面积是__________． 13. 已知等腰三角形的腰与底边之比为，那么这个等腰三角形底角的余弦值为__________． 14. 如图，是线段上一点，，，，连接并延长交于点，连接并延长交于点．已知，，，，，那么__________． 15. 在一块等腰直角三角形铁皮上截一块矩形铁皮．如图，已有的铁皮是等腰直角三角形，它的底边长20厘米．要截得的矩形的边在上，顶点分别在边、上，设的长为厘米，矩形的面积为平方厘米，那么关于的函数解析式是__________．（不必写定义域） 16. 如图，点分别位于边上，与交于点．已知，，则__________． 17. 如图，在中，，将绕点旋转到的位置，其中点与点对应，点与点对应．如果图中阴影部分的面积为4.5，那么的正切值是__________． 18. 为了研究抛物线与在同一平面直角坐标系中的位置特征，我们可以先取字母常数的一些特殊值，试着画出相应的抛物线，通过观察来发现与的位置特征，你的发现是：__________；我们知道由观察得到的特征，其可靠性是需要加以论证才能成为一个结论的，那么请你就你所发现的特征，简述一下理由吧．理由是：__________． 三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19. 计算：． 20. 已知抛物线的顶点为，它与轴的交点为． （1）求线段的长； （2）平移该抛物线，使其顶点在轴上，且与轴两交点间的距离为4，求平移后所得抛物线的表达式． 21. 如图，在四边形中，，对角线交于点． （1）设，试用的线性组合表示向量． （2）如果，求四边形的面积． 22. 在世纪公园的小山坡上有一棵松树，初三（3）班的雏鹰小队带着工具对这棵松树进行测量，并试图利用所学的数学知识与方法推算出这棵松树的高度．他们选好位置架设测角仪先测出了这棵松树的根部与顶端的仰角，并绘制了如下示意图：测角仪为，树根部为、树顶端为A，其中，视线的仰角为（已知），视线的仰角为（已知）． （1）测得这两个数据后，小明说：“我可以算出这棵松树高度了．”小聪接着说：“不对吧，只知道这两个角度，这个示意图显然是可以进行放大或缩小的，高度一定是确定不了的．如果还能测出测角仪到松树的垂直距离，即图示中的长度，就可以了．”设，请你用含有的代数式表示松树的高度． （2）小明又反问道：“虽然我们带了尺，是一把刻度精确到1分米，长为2米的直尺，但也没有办法量出的长度，我