1.4 实数的大小比较与无理数的估值-【一战成名新中考】2024河北中考数学·基础夯实练

基础夯实练·河北数学 命题点４　实数的大小比较与无理数的估值（必考 櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 毴 毴毴 毴 ） １．能比较有理数的大小； ２．能比较实数的大小； ３．能用有理数估计一个无理数的大致范围． 要点归纳 １．实数的大小比较 （１）数轴比较法： ①数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大，如图，ｂ＜０＜ａ； ②离数轴原点距离越远的数，绝对值越大，如图，｜ｂ｜①　＜　｜ａ｜． （２）性质比较法： ①负数＜０＜正数； ②两个正数比较大小，绝对值大的数较②　大　； ③两个负数比较大小，绝对值大的数反而③　小　； ④如果一组数里面有正数、０、负数，判断最大的数直接在正数里面比较，判断最小的数直 接在负数里面比较． 拓展方法 作差比较法 两数相减，与０比较： （１）ａ－ｂ＞０ａ④　＞　ｂ；（２）ａ－ｂ＝０ａ⑤　＝　ｂ； （３）ａ－ｂ＜０ａ⑥　＜　ｂ 作商比较法 （ａ＞０，ｂ＞０） 两数相除，与１比较： （１）ａｂ＞１ａ⑦　＞　ｂ；（２） ａ ｂ＝１ａ⑧　＝　ｂ； （３）ａｂ＜１ａ⑨　＜　ｂ 乘方比较法 若ａ＞０，ｂ＞０，则ａ２＞ｂ２ ａ⑩　＞　ｂ 开方比较法 若ａ＞０，ｂ＞０，则 槡ａ＞槡ｂ ａ瑏瑡　＞　ｂ 倒数比较法 若ａｂ＞０，则１ａ＜ １ ｂ ａ瑏瑢　＞　ｂ 特殊值法 含有字母时，给字母取特殊值便于快速解题． 如：当０＜ａ＜１时，比较ａ，１ａ，ａ ２，槡ａ的大小． 解：令ａ＝１４，则 １ ａ＝瑏瑣　４　，ａ ２＝瑏瑤　　　　，槡ａ＝瑏瑥　　　　， 进而可知瑏瑦　ａ２＜ａ＜槡ａ＜　　　 ７ 基础夯实练·河北数学 ２．无理数的估值 （１）关键点：ｍ２＜ａ＜ｎ２（ｍ＞０，ａ＞０，ｎ＞０）→ｍ＜槡ａ＜ｎ； （２）确定无理数在哪两个整数之间 例１　估计槡７的值在 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．０和１之间 Ｂ．１和２之间 Ｃ．２和３之间 Ｄ．３和４之间 解题步骤 备注 ①先对无理数平方 （槡７） ２＝瑏瑧　７　 ②找出平方后与所得数字相邻 的两个开得尽方的整数 瑏瑨４　＜７＜瑏瑩　９　 ③对两个整数开方即可 瑐瑠２　＜槡７＜瑐瑡　３　 ①熟记常见的平方数：１，４，９， １６，２５，３６，…； ②若无理数为ｎ槡ａ形式，需先转 化为 ａｎ槡 ２再估值，不容易 出错 【答案】瑐瑢　Ｃ　 （３）确定无理数离哪个整数较近 例２　下列整数中，与槡７最接近的是 （　　） Ａ．１ Ｂ．２ Ｃ．３ Ｄ．４ 解题步骤 图示理解法 ①确定无理数在哪两个相邻整 数之间 瑐瑣　２　＜槡７＜瑐瑤　３　 ②求这两个整数的平均数 １２×（瑐瑥　２　＋瑐瑦　３　）＝瑐瑧２．５　 ③若平均数的平方小于该无理 数的平方，则该无理数更接近 较大的那个整数 ∵２．５２＝６．２５，６．２５＜７， ∴槡７离瑐瑨　３　更近 ↓ 【答案】瑐瑩　Ｃ　 注：常见无理数的近似值：槡２≈１．４１４，槡３≈１．７３２，槡５≈２．２３６，黄金分割比槡 ５－１ ２ ≈０．６１８． 随堂练习 １．实数ａ，ｂ，ｃ，ｄ在数轴上对应的点的位置如图所示，则有： 第１题图 （１）①ａ　＜　ｂ；②－ｂ　＜　ｃ；③ａ＋ｃ　＜　０； ④ｃ－ｂ　＞　０；⑤ｂｃ　＜　０； （２）这四个数中，最大的数是　ｄ　，最小的数是　ａ　； （３）这四个数中，绝对值最大的数是　ａ　，绝对值最小的数是　ｂ　； （４）将－１，１，ｂ，－ｂ用“＞”连接起来：　１＞－ｂ＞ｂ＞－１　． ２．估算ｘ＝槡８值的大小正确的是 （Ｂ ） Ａ．１＜ｘ＜２　　　　　Ｂ．２＜ｘ＜３　　　　　Ｃ．３＜ｘ＜４　　　　　Ｄ．５＜ｘ＜６ 变式１　若ｍ＝１＋　槡８，则ｍ在　３　和　４　两个相邻的整数之间． 变式２　槡８的整数部分是ａ，小数部分是ｂ，则ａ－２ｂ的值是　６－４槡２　． ８ 一战成名新中考·数学(2024河北) 参考答案 第一章数与式 命题点】实数的相关概念 Ba'<a</a<I 07784992①2①32C 要点归纳①0②循环③不循环④-3m⑤盈利 8224352 50元⑥亏损80元⑦温度下降3℃⑧一一对应 382.5839C 随堂练习1.(1)①<；②<：③<：④>：⑤<；(2)d,a: ⑨小0<①<②1a-b B4+6 (3)a,b:(4)1>-b>b>-1 520符号不同⑦-aB000④-1红相等 2.B:变式13,4：变式26-42 2对称巧距离④-：雪大④互为相反数 命题点5实数的运算 7m=-b②19±1 要点归纳①相加②0③减去④a⑤na⑥(-b) 随堂