广东省广州市真光中学2023-2024学年高二上学期数学第19周周末卷

广州市真光中学高二数学第19周周周末卷 出卷人：贺育林 审题人：赵翎 一、单选题 1．已知空间向量，则“四点共面”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 2．已知为等差数列的前项和，，则（    ） A．240 B．60 C．180 D．120 3．在数列中，，则等于（    ） A．445 B．765 C．1080 D．3105 4．已知双曲线的渐近线方程为，且经过点，则的标准方程为（    ） A． B． C． D． 5．已知圆，点是圆内一点，过点的圆的最短弦所在直线为，直线的方程为，则（    ） A．，且与圆相离 B．，且与圆相切 C．，且与圆相交 D．，且与圆相离 6．等差数列中的前项和分别为，则（    ） A． B． C． D． 7．如图是某景区内的一座抛物线拱形大桥，该桥抛物线拱形部分的 桥面跨度为10米，拱形最高点与水面的距离为6米，为增加景区的 夜晚景色，景区计划在拱形桥的焦点处悬挂一闪光灯，则竖直悬挂的 闪光灯到水面的距离为（    ）（结果精确到0.01） A．4.96 B．5.06 C．4.26 D．3.68 8． 已知正方体的棱长为，点是平面内 的动点，若点P到直线的距离与到直线的距离相等， 则点的轨迹为（    ）   A．抛物线 B．椭圆 C．双曲线 D．圆 二、多选题 9．已知，，，，则（    ） A．点关于平面对称 B．点关于轴对称 C．存在实数，，使得 D．可以构成空间的一组基 10．已知直线，直线，则下列结论正确的是（    ） A．在轴上的截距为 B．过定点 C．若，则或 D．若，则 11．已知曲线（为常数），点A是曲线E上一点，直线上的动点B，C满足，则下列说法正确的是（    ） A．若方程表示椭圆，则 B．若方程表示双曲线，则 C．当时，的面积的最小值为4 D．当时，使得是等腰直角三角形的点A有8个 12．已知点是椭圆上一点，为其左、右焦点，且△的面积为3，则下列说法正确的是（    ） A．P点到轴的距离为 B． C．△的周长为 D．△的内切圆半径为 三、填空题 13．若，则在上的投影向量的模为 ． 14．等比数列满足：，则的最小值为 ． 15．已知双曲线的左、右焦点分别是，点为双曲线上一点，若到原点的距离，则的面积是 . 16．如图，两个正方形，的边长都是8， 且二面角为，M为对角线AC靠近点A的 四等分点，N为对角线DF的中点，则线段 ． 四、解答题 17．已知圆的圆心在直线上，且与直线相切于点． (1)求圆的标准方程； (2)若过点的直线被圆截得的弦长为，求直线的方程． 18．如图，在棱长为3的正方体中，E为棱上一点，且． (1)求点B到平面的距离； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 19．已知数列满足． (1)求数列的通项公式； (2)求的前项和． 20．已知椭圆的半焦距为，且过点. (1)求椭圆的方程； (2)设直线交椭圆于两点，且线段的中点在直线上，求证：线段的中垂线恒过定点. 21．已知数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)设，为数列的前项和，试问：是否存在正整数，，使得？若存在，求出满足条件的所有，的值；若不存在，请说明理由． 22．在梯形中，，，，P为的中点，线段与交于O点（如图1）.将沿折起到位置，使得平面平面（如图2）. (1)求二面角的余弦值； (2)线段上是否存在点Q，使得与平面所成角的正弦值为?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 广州市真光中学高二数学第19周周周末卷参考答案 1．B【详解】（方法一）由四点共面，可得共面， 设， 则，解得，所以， 得，反之亦成立， 故“四点共面”是“”的充要条件． （方法二）设平面的法向量为， 则，令，得， 由四点共面，得， 即，反之亦成立， 故“四点共面”是“”的充要条件． 2．D【详解】因为数列为等差数列，所以， 所以，所以． 3．B【详解】依题意由可得为定值， 因此可知数列是以为首项，公差为的等差数列， 即可得，所以当时，，当时，， 所以 . 4． A【详解】因为双曲线的渐近线方程为， 故可设双曲线方程为， 又经过点，故，故双曲线方程为， 5．A【详解】点是圆内一点，故 点的圆的弦长最短时，和弦垂直，设弦长所在直线的斜率为，则，即, 直线的方程为，， 且圆心到的距离.故，且与圆相离. 6．B【详解】等差数列中的前项和分别为，． 7．A【详解】如图，设抛物线的方程为，抛物线经过点， 所以，解得，所以抛物线顶点到焦点的距离为， 故竖直悬挂的闪光灯距离水面的距离为米.