广东省广州市真光中学2023-2024学年高二上学期期末考试数学模拟试卷

2023-2024学年度高二数学期末考试卷 考试范围：选必一+数列；考试时间：120分钟；命题人：小孔 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题 1．已知直线与平面，下列四个命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若直线a上存在两点到平面的距离相等，则 2．已知等差数列的前项和为，且，则（   ） A．48 B．52 C．54 D．56 3．到直线的距离为1的直线方程为（    ） A． B．或 C．或 D．或 4．双曲线：的渐近线与圆相切，则双曲线的离心率为（    ） A． B．2 C． D．4 5．已知直线：与直线，且，则的最小值为（    ） A．12 B． C．15 D． 6．在空间中，“经过点，法向量为的平面的方程（即平面上任意一点的坐标（x，y，z）满足的关系）是：”．如果给出平面α的方程是x﹣y+z=1，平面β的方程是，则由这两平面所成的二面角的正弦值是（    ） A． B． C． D． 7．某家庭打算为子女储备“教育基金”，计划从2021年开始，每年年初存入一笔专用存款，便这笔款到2027年底连本带息共有40万元收益.如果每年的存款数额相同，依年利息并按复利计算（复利是一种计算利息的方法，即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息），则每年应该存入约（   ）万元.（参考数据：，） A．5.3 B．4.1 C．7.8 D．6 8．已知圆，点在直线上运动，直线与圆相切，切点为，则下列说法正确的是（    ） A．的最小值为2 B．最小时，弦长为 C．最小时，弦所在直线的斜率为 D．四边形的面积最小值为 二、多选题 9．如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是2，且它们彼此的夹角都是为与的交点，若，则下列正确的是（    ） A． B． C． D．的长为 10．己知直线l的方程为,则下列说法正确的是（    ） A．l与直线有唯一的交点 B．l与椭圆一定有两个交点 C．l与圆一定有两个交点 D．满足与双曲线有且只有一个公共点的直线l有2条 11．某市为了改善城市中心环境，计划将市区某工厂向城市外围迁移，需要拆除工厂内一个高塔，施工单位在某平台的北偏东方向处设立观测点，在平台的正西方向处设立观测点，已知经过三点的圆为圆，规定圆及其内部区域为安全预警区.以为坐标原点，的正东方向为轴正方向，建立如图所示的平面直角坐标系.经观测发现，在平台的正南方向的处，有一辆小汽车沿北偏西方向行驶，则（    ）    A．观测点之间的距离是 B．圆的方程为 C．小汽车行驶路线所在直线的方程为 D．小汽车会进入安全预警区 12．已知椭圆的左、右焦点分别为,,过点的直线交椭圆于,两点,若的最小值为4,则（ ） A．椭圆的短轴长为 B．最大值为8 C．离心率为 D．椭圆上不存在点,使得 第II卷（非选择题） 三、填空题 13．永宁桥建筑风格独特，是一座楼阁式抛物线形石拱桥.当石拱桥拱顶离水面时，水面宽，当水面下降时，水面的宽度为 ；该石拱桥对应的抛物线的焦点到准线的距离为 . 14．经过点作直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是 ． 15．已知点M是圆上的动点，点N是圆上的动点，点P在直线上运动，则的最小值为 . 16．如图，在长方体中，，，M，N分别为BC，的中点，点P在矩形内运动（包括边界），若平面AMN，则取最小值时，三棱锥的体积为 ． 四、解答题 17．已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为． (1)求顶点的坐标； (2)求直线的方程． 18．已知为坐标原点，双曲线的离心率为，且过点． (1)求双曲线的标准方程； (2)圆的切线与双曲线相交于两点． （ⅰ）证明：； （ⅱ）求面积的最小值． 19．如图，在四棱锥中，，，四边形是菱形，，是棱上的动点，且.    (1)证明：平面. (2)是否存在实数，使得平面与平面所成锐二面角的余弦值是？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 20．已知数列是递增的等差数列，数列是等比数列，且，、、成等比数列，，， (1)求数列和的通项公式； (2)若，求数列的前n项和． 21．假设某市2023年新建住房400万平方米，其中有250万平方米是中、低价房.预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上年增长.另外，每年新建住房中，中、低价房的面积均比上一年增加50万平方米.求： (1)截至到2032年底，该市所建中、低价房的面积累计（以2023年为累计的第一年）为多少万平方米？ (2)哪一年底，当年建造的中、低价房的面积占该