裂项相消常见的几种形式 讲义——2024届高三数学一轮复习

裂项相消常见几种形式 1. 定义：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和。裂项相消可以简化计算过程，并且在解方程、证明恒（不）等式等数学问题中经常被使用。 2. 常见的裂项技巧： 例题： 1.(2022·新高考全国Ⅰ)记Sn为数列{an}的前n项和，已知a1＝1，是公差为的等差数列． (1)求{an}的通项公式； (2)证明：＋＋…＋<2. 2.数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an(n∈N*)，Sn为其前n项和．数列{bn}为等差数列，且满足b1＝a1，b4＝S3. ①求数列{an}，{bn}的通项公式； ②设cn＝，数列{cn}的前n项和为Tn，证明：≤Tn<. 3.已知正项数列中， 4.设数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=3,2Sn=3an-3. (1)证明数列{an}为等比数列; (2)设数列{an}的前n项积为Tn,若对任意n∈N*恒成立,求整数λ的最大值. 5.已知数列{an}满足an＋1an－2n2(an＋1－an)＋1＝0，且a1＝1. (1)求出a2，a3的值，猜想数列{an}的通项公式； (2)设数列{an}的前n项和为Sn，且bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn. 6.设. （1） （2） 答案 1. 2.(2)数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an(n∈N*)，Sn为其前n项和．数列{bn}为等差数列，且满足b1＝a1，b4＝S3. ①求数列{an}，{bn}的通项公式； ②设cn＝，数列{cn}的前n项和为Tn，证明：≤Tn<. ①解　由题意知，{an}是首项为1，公比为2的等比数列，所以an＝a1·2n－1＝2n－1.所以Sn＝2n－1. 设等差数列{bn}的公差为d，则b1＝a1＝1，b4＝1＋3d＝7， 所以d＝2，bn＝1＋(n－1)×2＝2n－1. ②证明　因为log2a2n＋2＝log222n＋1＝2n＋1， 所以cn＝＝＝， 所以Tn＝. 因为n∈N*，所以Tn＝<， ＝. 当n≥2时，Tn－Tn－1＝－＝>0， 所以数列{Tn}是一个递增数列，所以Tn≥T1＝. 综上所述，≤Tn<. 3. 由，可得数列是等差数列，首项为公差为， 所以 4.【解析】(1)因为2Sn-3an+3=0,① 当n≥2时,2Sn-1-3an-1+3=0,② ①-②得 an=3an-1(n≥2),即=3(n≥2), 所以数列{an}是首项为3,公比为3的等比数列. (2)由(1)知an=3n,所以Sn==, Tn=a1a2a3…an=3×32×33×…×3n=31+2+3+…+n=, 所以= ==(-)=-3>对任意n∈N*恒成立, 故λ<3-恒成立, 令f(n)=3-,则f(n+1)-f(n)=3--(3-)=>0, 5.已知数列{an}满足an＋1an－2n2(an＋1－an)＋1＝0，且a1＝1. (1)求出a2，a3的值，猜想数列{an}的通项公式； (2)设数列{an}的前n项和为Sn，且bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn. 解　(1)由已知得，当n＝1时，a2a1－2(a2－a1)＋1＝0，又a1＝1，代入上式，解得a2＝3，同理可求得a3＝5.猜想an＝2n－1. (2)由(1)可知an＝2n－1，经检验符合题意，所以Sn＝n2， 则bn＝ ＝ ＝＋， 所以Tn＝＋＋…＋ ＝＋＝. 6. 设为数列的前项和，． （1）求数列的通项公式； （2）设，证明：． 【分析】（1）根据给定条件，利用推导求解即得. （2）由（1）结论，利用裂项相消法求和即可得解. 【小问1详解】 当时，，当时，， 两式相减得，则， 当时，， 又当时，，当时，，则， 显然符合， 所以数列的通项公式是. 【小问2详解】 由（1）知，， 所以 . 学科网（北京）股份有限公司 $$