第08讲 一元一次不等式-【寒假自学课】2024年八年级数学寒假提升学与练（北师大版）

第08讲 一元一次不等式 思维导图 核心考点聚焦 1.一元一次不等式的定义 2.求一元一次不等式的解集 3.求一元一次不等式的整数解 4.在数轴上表示不等式的解集 5.求一元一次不等式解的最值 6.解|x|≥a型的不等式 7.列一元一次不等式 8.用一元一次不等式解决实际问题 一．一元一次不等式的定义 （1）一元一次不等式的定义：含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式． （2）概念解析 一方面：它与一元一次方程相似，即都含一个未知数且未知项的次数都是一次，但也有不同，即它是用不等号连接，而一元一次方程是用等号连接． 另一方面：它与不等式有区别，不等式中可含、可不含未知数，而一元一次不等式必含未知数．但两者也有联系，即一元一次不等式属于不等式． 二．解一元一次不等式 根据不等式的性质解一元一次不等式 基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1． 以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等号方向． 注意：符号“≥”和“≤”分别比“＞”和“＜”各多了一层相等的含义，它们是不等号与等号合写形式． 三．一元一次不等式的整数解 解决此类问题的关键在于正确解得不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式的整数解．可以借助数轴进行数形结合，得到需要的值，进而非常容易的解决问题． 四．由实际问题抽象出一元一次不等式 用不等式表示不等关系时，要抓住题目中的关键词，如“大于（小于）、不超过（不低于）、是正数（负数）”“至少”、“最多”等等，正确选择不等号． 因此建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵，不同的词里蕴含着不同的不等关系． 五．一元一次不等式的应用 （1）由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题的答案． （2）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵． （3）列一元一次不等式解决实际问题的方法和步骤： ①弄清题中数量关系，用字母表示未知数． ②根据题中的不等关系列出不等式． ③解不等式，求出解集． ④写出符合题意的解． 1.一元一次不等式的定义，含参数问题时，要保证未知数的系数不为0. 2.解一元一次不等式时，去分母每一项都要乘. 3.一元一次不等式的应用中理解“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系． 考点剖析 考点一、一元一次不等式的定义 例题：下列不等式是一元一次不等式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】A中不含未知数，不是一元一次不等式，故不符合题意； B中是一元一次不等式，故符合题意； C中中含有两个未知数，不是一元一次不等式，故不符合题意； D中未知数的最高次数为2，不是一元一次不等式，故不符合题意． 故选：B． 【变式训练】 1．下列式子：；；；，是一元一次不等式的有(   ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．已知关于x的不等式是一元一次不等式，那么m的值是 . 考点二、求一元一次不等式的解集 例题：解不等式； 【详解】解：， ， ， ． 【变式训练】 1．解不等式： 2．解不等式： (1)； (2)． 考点三、求一元一次不等式的整数解 例题：不等式的正整数解是 ． 【答案】1，2，3，4，5 【详解】解：解不等式，得， ∴不等式的正整数解为1，2，3，4，5； 故答案为：1，2，3，4，5． 【变式训练】 1．关于x的不等式的正整数解是 ． 2．不等式的正整数解有 个． 考点四、在数轴上表示不等式的解集 例题：解下列不等式，并把解表示在下列数轴上． ． 【详解】解：原不等式可变形为：， 解得：； 此解集在数轴上表示为： 【变式训练】 1．解不等式：，并把它的解集在数轴上表示出来． 2．解下列不等式，并把不等式的解集在数轴上表示出来： (1)； (2)． 考点五、求一元一次不等式解的最值 例题：已知关于x的方程． (1)若该方程的解满足，求a的取值范围； (2)若该方程的解是不等式的最大整数解，求a的值． 【详解】（1）解方程，得， ∵该方程的解满足， ∴，解得． （2）解不等式，得， 则最大的整数解是． 把代入， 解得． 【变式训练】 1．已知是关于x，y的二元一次方程的解．    (1)求a的值． (2)若y的取值范围如图所示，求x的最小值． 考点六、解|x|≥a型的不等式 例题：先阅读下面的解题过程，然后回答下列问题． 例：解绝对值方程：．