上海市延安中学2023-2024学年高二上学期期末考试数学试卷

上海市延安中学2023学年第一学期期末考试 高二年级数学试卷 （考试时间：90分钟 满分：100分） 一、填空题（每题3分，共36分） 1. 若球的半径为5，则其表面积为______. 2. 已知向量，，，则______. 3. 已知圆锥的底面直径为8，高是3，则母线长为______. 4. 经过，两点的直线方程的一般式是______. 5. 已知直线：恒过定点，则定点坐标______. 6. 方程表示一个圆，则实数取值范围是______. 7. 一个正三棱锥的底面边长为6，侧棱长为，则这个三棱锥的体积为______. 8. 直线的斜率的取值范围为，则其倾斜角的取值范围是______. 9. 动点在圆上移动，它与点连线的中点轨迹方程是______． 10. 已知双曲线方程，直线，在第一象限内与双曲线及渐近线围成的图形绕轴旋转一周所得几何体的体积为______.（提示：利用祖暅原理） 11. 设，为双曲线的左右焦点，为双曲线右支上一点，点，当取最小值时，的值为______. 12. 已知中心在原点，离心率为椭圆的一个焦点为圆：的圆心，点是椭圆上第三象限内的一点，过点作两条斜率之积为的直线都与圆相切时，点的坐标是______. 二、选择题（每题3分，共12分） 13. 已知实常数、，是为双曲线方程的______条件. A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充要 D. 非充分非必要 14. 下列命题是假命题的是______. A. 不在平面上的一条直线与这个平面上的一条直线平行，则该直线与这个平面平行 B. 如果一条直线与平面上的两条直线都垂直，则该直线与这个平面垂直 C. 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 D. 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面垂直 15. 设双曲线经过点，且与具有相同的渐近线，则经过点且与双曲线有且只有一个公共点的直线有______条. A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 16. 在平面直角坐标系中，当不是原点时，定义的“伴随点”为；当是原点时，定义的“伴随点”为它自身；平面曲线上所有点的“伴随点”构成的曲线定义为曲线的“伴随曲线”，则下列命题： ①若点的“伴随点”是点，则点的“伴随点”是点； ②圆心在原点的单位圆的“伴随曲线”是它自身； ③若曲线关于轴对称，则其“伴随曲线”关于轴对称； ④一条直线的“伴随曲线”是一条直线. 真命题的序号是______. A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ①④ 三、解答题（共5大题，共52分） 17. 已知直线经过点，且被两平行线所截得的线段长为5. （1）求，之间的距离； （2）求直线的方程. 18. 已知圆经过原点且与轴相切，与轴正半轴交于点. （1）求圆的方程； （2）判断点与圆的位置关系，并求经过点的圆的切线方程. 19. 已知双曲线方程（，），渐近线方程，并且经过点. （1）求双曲线方程； （2）设A，是双曲线上的两点，线段的中点为，求直线的方程. 20. 如图，在四棱锥中，平面，，且，，，，，为的中点. （1）求平面与平面所成锐二面角的余弦值； （2）求点到平面的距离； （3）在线段上，是否存在一点，使得直线与平面所成角正弦值为？若存在，求出的值：若不存在，请说明理由. 21. 已知椭圆方程为（），离心率为且过点. （1）求椭圆方程； （2）动点在椭圆上，过原点的直线交椭圆于A，两点，证明：直线、的斜率乘积为定值； （3）过左焦点的直线交椭圆于，两点，是否存在实数，使恒成立？若存在，求此时的最小值；若不存在，请说明理由. 上海市延安中学2023学年第一学期期末考试 高二年级数学试卷 （考试时间：90分钟 满分：100分） 一、填空题（每题3分，共36分） 【1题答案】 【答案】 【2题答案】 【答案】 【3题答案】 【答案】5 【4题答案】 【答案】 【5题答案】 【答案】 【6题答案】 【答案】 【7题答案】 【答案】9 【8题答案】 【答案】 【9题答案】 【答案】 【10题答案】 【答案】 【11题答案】 【答案】## 【12题答案】 【答案】 二、选择题（每题3分，共12分） 【13题答案】 【答案】C 【14题答案】 【答案】B 【15题答案】 【答案】D 【16题答案】 【答案】B 三、解答题（共5大题，共52分） 【17题答案】 【答案】（1） （2）或 【18题答案】 【答案】（1） （2）点在圆外，切线方程为或 【19题答案】 【答案】（1） （2） 【20题答案】 【答案】（1） （2） （3）存在点，且 【21题答案】 【答案】（1） （2）证明见解析. （3）存在，使成立，最小为3. 第1页/共1页 学科网（北京）股份