吉林省长春博硕学校2023-2024学年高二上学期期末考试数学试卷

长春博硕学校2023—2024学年度上学期 高二年级期末考试 数学学科试卷 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 已知集合,,则（ ） A. B. C. D. 2. 已知为虚数单位，复数满足，则的虚部为（ ） A. -2 B. C. D. 1 3. 已知直线：，：，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 小明为锻炼身体,增强体质,计划从假期第一天开始慢跑,第一天跑步3公里,以后每天跑步比前一天增加的距离相同.若小明打算用20天跑完98公里,则预计这20天中小明日跑步量超过6公里的天数为（ ） A. 8 B. 9 C. 4 D. 5 5. 若直线经过点 和圆C：的圆心,并且与直线垂直,则m的值为（ ） A. -4 B. 4 C. -1 D. 1 6. 等差数列首项为5,公差不等于零.若,则（ ） A. -2017 B. C. D. -2014 7. 已知等差数列，其前项和为，则（ ） A. 24 B. 36 C. 48 D. 64 8. 已知,为椭圆：的两个焦点P,Q为C上关于坐标原点对称的两点,且,则四边形的面积为（ ） A. 24 B. 33 C. 9 D. 18 二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分） 9. 某士官参加军区射击比赛，打了10发子弹，报靶数据如下：6，5，9，10，7，8，9，10，9，7，（单位：环），下列说法正确的有（ ） A. 这组数据的平均数是8 B. 这组数据的80%分位数是9 C. 这组数据的中位数是8.5 D. 这组数据的方差是2.6 10. 对抛物线,下列描述正确是（ ） A. 开口向左，焦点为 B. 开口向左，准线方程为 C. 开口向下，准线方程为 D. 开口向下，焦点为 11. 已知等差数列 是递减数列，且满足的前项和为，下列选项中正确的是（ ） A. B. 当时，最大 C. D. 12. 已知椭圆，分别为它的左右焦点，A，B分别为它的左右顶点，点P是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（ ） A. 存在P使得 B. 椭圆C的弦MN被点平分，则 C. ，则面积为9 D. 直线PA与直线PB斜率乘积为定值 三、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分） 13. 若直线与圆相交于A，B两点,则__________. 14. 已知数列的前项和,则数列的通项公式为__________. 15. 唐代诗人李颀的《古从军行》中两句诗为：“白日登山望烽火,黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题,即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发,怎样走才能使总路程最短?在平面角坐标系中,设军营所在位置为,若将军从处出发,河岸线所在直线方程为.则“将军饮马”的最短总路程为__________. 16. 在直角坐标系中，抛物线C：的焦点为F，准线为，P为C上一点，垂直于点Q，M，N分别为，的中点，直线与x轴交于点R，若，则__________. 四、解答题（本题共6小题，17题10分，18-22题每题12分，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或者演算步骤） 17. 的内角的对边分别为，设． （1）求； （2）若，求边上的高． 18. 如图，是正方形，是正方形的中心，底面是的中点. （1）求证：平面； （2）若，求三棱锥的体积. 19. 某高校承办了杭州亚运会志愿者选拔的面试工作.现随机抽取了100名候选者的面试成绩,并分成五组：第一组,第二组,第三组,第四组,第五组,绘制成如图所示的频率分布直方图.已知第三、四、五组的频率之和为0.7,第一组和第五组的频率相同. （1）求a,b的值； （2）估计这100名候选者面试成绩的中位数（精确到0.1）； （3）在第四,第五两组志愿者中,采用分层抽样方法从中抽取5人,然后再从这5人中选出2人,求选出的两人来自同一组的概率. 20. 已知为等差数列,,. （1）求的通项公式； （2）求数列的前n项和. 21. 某市为了改善城市中心环境,计划将市区某工厂向城市外围迁移,需要拆除工厂内一个高塔,施工单位在某平台O的北偏东方向处设立观测点A,在平台O的正西方向240m处设立观测点B,以O为坐标原点,O的正东方向为x轴正方向,建立如图所示的平面直角坐标系.已知经过O,A,B三点的圆为圆C. （1）求圆C的方程. （2）规定圆C及其内部区域为安全预警区,经观测发现,在平台O的正南方向200m的P处,有一辆小汽车