精品解析：山东师范大学附属中学2026-2027学年高三上学期10月阶段性诊断考试数学试题

山东师大附中2024级高三10月阶段性诊断考试 数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】，因式分解得，解得， 即，又， 所以. 2. 若，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用充分条件和必要条件的定义判断即可． 【详解】， 所以“”是“”的充分不必要条件． 故选：A． 3. 随机变量．若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据正态分布曲线的对称性求解. 【详解】因为且， 所以， 根据正态分布曲线的对称性，可得， 所以. 故选：D 4. 有4辆车停放5个并排车位，货车甲车体较宽，停放时需要占两个车位，并且乙车与货车甲相邻停放，则共有多少种停放方法?（ ） A. 8 B. 12 C. 16 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】将甲乙和一个空位捆绑放置，再考虑余下辆车的停放方法后可得不同停放方法的总数. 【详解】先停放甲乙，共有停放方法，余下辆车，共有， 则共有种停法. 故选：B. 5. 一个袋中有大小、形状完全相同的3个球，颜色分别为红、黄、蓝，从袋中无放回地取出2个球，在第一次取到红球的条件下，第二次取到黄球的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】设第一次取到红球为事件，第二次取到黄球为事件， 则，， 故， 故在第一次取到红球的条件下，第二次取到黄球的概率是. 6. 已知函数，则函数的零点个数为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】将函数零点问题转化为方程 的解的个数问题，对分段函数分定义域分别解方程，再统计所有有效解的总数. 【详解】函数的零点，等价于方程的解的个数， 当时，，令，解得，因为，满足条件； 当时，，令 ，去绝对值得两种情况： ，显然，满足条件； ，显然，满足条件； 综上，方程 共有个解，即函数零点个数为3. 7. 已知函数，若在存在最小值，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别求出和时，函数的最小值，由题意，列出不等式，借助函数的单调性解不等式即可. 【详解】当时，单调递增， 所以当时，有最小值， 当时，单调递减， 所以，无最小值， 因为在存在最小值， 所以， 令， 因为和在上均单调递增， 所以在上均单调递增， 又因为， 所以当时，，即成立， 所以的解集为. 故选：D 8. 已知函数的定义域为，且，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】通过赋值法求出 ，再令 得到函数的递推关系，进而推出函数周期为 3；利用周期将长求和转化为完整周期加剩余项，计算得最终结果. 【详解】， 令 ，得， 整理得 ，解得 或 ， 若 ，令 代入方程可得 ，即 ，与 矛盾， 故 ， 令 ，得， 代入 ，得递推式， 已知 ，，由递推式计算， ， ， ， 可见 ，函数周期为3，且一个周期内， ，即包含 675 个完整周期，剩余 2 项为 ，， 因此. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知一组正实数样本数据，满足，则（ ） A. 若，则样本数据的第60百分位数为 B. 去掉样本的一个数据，样本数据的极差可能不变 C. 若样本数据的频率分布直方图为单峰不对称，且在右边“拖尾”（如图所示），则样本数据的平均数大于中位数 D. 将组中的每个数据变为原来的3倍，则所得的新样本数据的方差变为原数据方差的3倍 【答案】BC 【解析】 【分析】根据百分位数的求法，可判断A的正误；根据极差的概念，分析可判断B的正误；根据中位数、平均数的性质，结合图象，可判断C的正误；根据方差的求法，化简整理，可判断D的正误. 【详解】选项A：因为，为整数， 所以第60百分位数为，故A错误； 选项B：极差为最大值与最小值之差， 若去掉样本为中间数据，则最大值与最小值不变，此时极差不变，故B正确； 选项C：右边“拖尾”，则最高峰偏左，中位数靠近高峰处， 右边“拖尾”，说明数据中存在较大的值，这些较大值会拉高平均值，使平均值靠右， 所以样本数据的平均数大于中位数，故C正确； 选项D：设原数据平均数为，方差为，则， 新数据为，则平均数为，新方差， 所以新样本数据的方差变为原数据方差的9倍，故D错误. 故选：BC 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若，，则一定有 B. 若，，且，则的最小值为0 C. 若，，，则的最小值为4 D. 若关于的不等式的解集是，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】对A，利用不等式的性质可判断；对B，可得，利用单调性可求；对C，利用基本不等式可求出的范围；对D，可得2和3是方程的两个根，求出可判断. 【详解】对A，由可得，则，又，，即，故A正确； 对B，若，，且，则， 可得，由在上单调递减可得当时，取得最小值为0，故B正确. 对C，，当且仅当等号成立， 即，解得或， 因为，，所以，即的最小值为4，故C正确； 对D，可得2和3是方程的两个根，则，解得，则，故D错误. 故选：ABC. 11. 已知函数，则下面结论成立的是（ ） A. 当时，函数有两个实数根 B. 函数只有一个实数根，则 C. 若函数有两个实数根，，则 D. 若函数有两个实数根，，则 【答案】AC 【解析】 【分析】令参变分离可得，令，利用导数说明其单调性，即可得到函数的函数图象，从而判断A、B，若函数有两个实数根，，则，即可得到，再令，，利用导数研究函数的单调性，即可判断C、D； 【详解】解：根据题意，令则，令，则，所以当时，，当时，，即函数在上单调递增，在上单调递减，画出函数图象如下： 函数的最大值在处取得，最大值为，所以选项A正确，当或时函数只有一个实数根，故选项B不正确， 若函数有两个实数根，，则，所以，令，，对函数求导可得，，令，则恒成立，所以函数单调递增，又，所以，所以在时单调递增，的函数图象如下所示： 可得，所以选项C正确，选项D不正确． 故选：AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 的展开式中的系数是_______（用数字作答）． 【答案】20 【解析】 【分析】先得到的展开式通项公式，从而确定的展开式中的系数 【详解】的展开式通项公式为， 令得，故， 令得，故， 所以的展开式中含的项为， 故的展开式中的系数为20. 13. 已知，，若，则的最小值为_______． 【答案】2 【解析】 【分析】利用基本不等式“1”的代换求最值． 【详解】因为，， 所以 当且仅当时，即时等号成立， 此时的最小值为． 14. 设函数的定义域为，是偶函数，且是奇函数，当时，，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得关于对称，且是周期为4的周期函数，结合周期性与对称性求值即可. 【详解】， 令，，所以，即， 由， 可得， 所以是周期为4的周期函数， 所以. 所以. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 为了探究学生完成数学作业情况与成绩之间的联系，某学校采用按比例分层抽样的方式得到200名学生的测验成绩，样本中认真完成作业的学生成绩频率分布直方图如图1所示.若认为成绩不低于120分为优秀，且数学成绩为优秀的学生年级分布扇形图如图2所示，已知样本中高三年级有15位同学成绩为优秀，且在所有数学成绩为优秀的学生中，认真完成作业的学生占. （1）求a的值，并且计算出样本中认真完成作业的学生成绩的下四分位数； （2）根据样本数据完成下方列联表，依据小概率值的独立性检验，分析认真完成作业与成绩是否有关. 认真完成作业 不认真完成作业 成绩优秀 成绩不优秀 附：. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1），下四分位数 （2）有关 【解析】 【分析】（1）利用频率分布直方图各组频率之和为的性质，列出方程求解参数值；再根据百分位数的定义，通过累计频率确定下四分位数所在的区间，并用插值法计算该分位数； （2）根据分层抽样和条件概率完成列联表，再代入卡方公式计算检验统计量，与临界值比较以判断独立性；最后通过计算两组学生的优秀率并对比，进一步验证独立性检验的结论. 【小问1详解】 根据频率分布直方图的性质，所有组频率和为，组距为， 因此：，解得：， 下四分位数即第百分位数，计算累计频率 频率，累计；频率，累计； 频率，累计；频率，累计。 ，因此第百分位数在区间内， 计算得：下四分位数 【小问2详解】 零假设：认真完成作业与成绩无关 认真完成作业 不认真完成作业 成绩优秀 成绩不优秀 ，因为， 依据小概率值的独立性检验，零假设不成立，即认真完成作业与成绩有关， 该判断出错概率不超过0.001， 认真完成作业的学生中成绩优秀的频率为0.4， 不认真完成作业的学生中成绩优秀的频率为0.1， 可以发现认真完成作业的学生成绩优秀的频率是不认真完成作业的学生的4倍，差异显著. 16. 在“新零售”模式的背景下，某大型零售公司为推广线下分店，计划在市的区开设分店．为了确定在该区开设分店的个数，该公司对该市已开设分店的其他区的数据作了初步处理后得到下列表格．记表示在各区开设分店的个数，表示这个分店的年收入之和． （个） 2 3 4 5 6 （百万元） 2.5 3 4 4.5 6 （1）该公司已经过初步判断，可用线性回归模型拟合与的关系，求关于的线性回归方程； （2）假设该公司在区获得的总年利润（单位：百万元）与，之间的关系为，请结合（1）中的线性回归方程，估算该公司应在区开设多少个分店时，才能使区平均每个分店的年利润最大？ 参考公式：，，． 【答案】（1）；（2）4个． 【解析】 【分析】（1）根据所给数据计算回归方程中的系数得回归方程； （2）求得总年利润的预测值与之间的关系，再计算出每个分店的平均利润，然后由基本不等式得结论． 【详解】解：（1）由表中数据和参考数据得，，，，， ∴， ∴，∴线性回归方程． ∴线性回归方程． （2）由题可知总年利润的预测值与之间的关系为，设该区每个分店的平均利润为，则， ∴的预测值与之间的关系为 ， 当且仅当，即时，取得最大值， ∴该公司在区开设4个分店时，才能使区的每个分店的平均年利润最大． 17. 已知函数． （1）若，求曲线在处的切线方程； （2）讨论的单调性． 【答案】（1） （2）当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增． 【解析】 【分析】（1）当时，求得，得到且，结合导数的几何意义，即可求解； （2）求得，分，，和，四种情况讨论，结合导函数值与函数的关系，即可求解. 【小问1详解】 解：当时，，可得， 则，且，所以切线方程为，即． 【小问2详解】 解：由函数，可得其定义域为， 且， 令，可得或． ①当时，与如下表所示： x 0 + 单调递减 单调递增 所以函数在上单调递减，在上单调递增． ②当时，与如下表所示： x a + 0 0 + 单调递增 单调递减 单调递增 所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增． ③当时，恒成立但不恒为零，在上单调递增． ④当时，与如下表所示： + 0 0 + 单调递增 单调递减 单调递增 所以，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增． 综上所述，当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增． 18. 有一个摸奖游戏，在一个口袋中装有6个红球和4个黑球，这些球除颜色外完全相同．游戏规定：每位参与者进行次摸球，每次从袋中摸出一个球，有两种摸球方式：一是有放回摸球，每次摸球后将球均放回袋中，再进行下一次摸球，摸到红球的次数记为X；二是不放回摸球，每次摸球后将球均不放回袋中，直接进行下一次摸球，摸到红球的次数记为Y． （1）若， （i）求随机变量Y的分布列和数学期望： （ii）游戏规定摸到的红球数不少于摸到的黑球数则中奖，在这个规则下，设有放回摸球中奖概率为，无放回摸球中奖概率为，求和并比较它们大小． （2）若，求当取得最大值时的k值，并说明理由． 【答案】（1）（i）分布列： Y 0 1 2 3 4 P 数学期望为；（ii），，； （2），理由：当，则，若最大，则， 即，得，又， ，即时，取得最大值． 【解析】 【分析】（1）（i）根据题设有Y可取0，1，2，3，4，应用超几何分布求对应概率并写出分布列，进而求期望；（ii）应用二项分布模型求新规则下随机变量的分布列，进而求期望，比较期望的大小； （2）由独立重复试验的概率求法及不等式法求概率最大时对应参数值即可. 【小问1详解】 （i）对于不放回摸球，各次试验的结果不独立， Y可取0，1，2，3，4，， ， Y服从超几何分布，Y的分布列为： Y 0 1 2 3 4 P ，所以； （ⅱ）由题意得游戏规定摸到的红球数不少于摸到的黑球数则中奖， 在这个规则下，设有放回摸球中奖概率为，无放回摸球中奖概率为， 对于有放回摸球，各次试验的结果互相独立，， 则， 故， 由（i）可知， 因为，所以； 【小问2详解】 略 19. 已知函数，. （1）求函数的极值； （2）若不等式在上恒成立，求a的取值范围； （3）证明不等式：. 【答案】（1） 极小值为，无极大值 （2） （3） 证明：由（2）得在上恒成立， 令，则有 ， , , ， . 【解析】 【分析】（1）对求导，借助的正负判断的单调性，进而求出的极值； （2）不等式上恒成立，等价转化为， 然后分离参数得，设，求即可. （3）由（2）知在上恒成立，令，则有，然后借助不等式同向可加性及等比数列前n项和公式求证. 【小问1详解】 由可得，此时单调递增； 由可得，此时单调递减； 所以当时，有极小值，极小值为，无极大值. 【小问2详解】 由不等式上恒成立， 得， 因为，， 所以在上恒成立 ， 设，则， 由得， 所以在上递减，在上递增， 所以即， 所以. 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛： 本题（2）考察不等式恒成立问题，可以分离参数，转化为求最值问题： 本题（3）的证明需要借助（2）的结论，即在上恒成立，然后令，则有，然后借助不等式同向可加性及等比数列前n项和公式求证. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山东师大附中2024级高三10月阶段性诊断考试 数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 随机变量．若，则（ ） A. B. C. D. 4. 有4辆车停放5个并排车位，货车甲车体较宽，停放时需要占两个车位，并且乙车与货车甲相邻停放，则共有多少种停放方法?（ ） A. 8 B. 12 C. 16 D. 10 5. 一个袋中有大小、形状完全相同的3个球，颜色分别为红、黄、蓝，从袋中无放回地取出2个球，在第一次取到红球的条件下，第二次取到黄球的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，则函数的零点个数为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 7. 已知函数，若在存在最小值，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数的定义域为，且，，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知一组正实数样本数据，满足，则（ ） A. 若，则样本数据的第60百分位数为 B. 去掉样本的一个数据，样本数据的极差可能不变 C. 若样本数据的频率分布直方图为单峰不对称，且在右边“拖尾”（如图所示），则样本数据的平均数大于中位数 D. 将组中的每个数据变为原来的3倍，则所得的新样本数据的方差变为原数据方差的3倍 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若，，则一定有 B. 若，，且，则的最小值为0 C. 若，，，则的最小值为4 D. 若关于的不等式的解集是，则 11. 已知函数，则下面结论成立的是（ ） A. 当时，函数有两个实数根 B. 函数只有一个实数根，则 C. 若函数有两个实数根，，则 D. 若函数有两个实数根，，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 的展开式中的系数是_______（用数字作答）． 13. 已知，，若，则的最小值为_______． 14. 设函数的定义域为，是偶函数，且是奇函数，当时，，则_______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 为了探究学生完成数学作业情况与成绩之间的联系，某学校采用按比例分层抽样的方式得到200名学生的测验成绩，样本中认真完成作业的学生成绩频率分布直方图如图1所示.若认为成绩不低于120分为优秀，且数学成绩为优秀的学生年级分布扇形图如图2所示，已知样本中高三年级有15位同学成绩为优秀，且在所有数学成绩为优秀的学生中，认真完成作业的学生占. （1）求a的值，并且计算出样本中认真完成作业的学生成绩的下四分位数； （2）根据样本数据完成下方列联表，依据小概率值的独立性检验，分析认真完成作业与成绩是否有关. 认真完成作业 不认真完成作业 成绩优秀 成绩不优秀 附：. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 16. 在“新零售”模式的背景下，某大型零售公司为推广线下分店，计划在市的区开设分店．为了确定在该区开设分店的个数，该公司对该市已开设分店的其他区的数据作了初步处理后得到下列表格．记表示在各区开设分店的个数，表示这个分店的年收入之和． （个） 2 3 4 5 6 （百万元） 2.5 3 4 4.5 6 （1）该公司已经过初步判断，可用线性回归模型拟合与的关系，求关于的线性回归方程； （2）假设该公司在区获得的总年利润（单位：百万元）与，之间的关系为，请结合（1）中的线性回归方程，估算该公司应在区开设多少个分店时，才能使区平均每个分店的年利润最大？ 参考公式：，，． 17. 已知函数． （1）若，求曲线在处的切线方程； （2）讨论的单调性． 18. 有一个摸奖游戏，在一个口袋中装有6个红球和4个黑球，这些球除颜色外完全相同．游戏规定：每位参与者进行次摸球，每次从袋中摸出一个球，有两种摸球方式：一是有放回摸球，每次摸球后将球均放回袋中，再进行下一次摸球，摸到红球的次数记为X；二是不放回摸球，每次摸球后将球均不放回袋中，直接进行下一次摸球，摸到红球的次数记为Y． （1）若， （i）求随机变量Y的分布列和数学期望： （ii）游戏规定摸到的红球数不少于摸到的黑球数则中奖，在这个规则下，设有放回摸球中奖概率为，无放回摸球中奖概率为，求和并比较它们大小． （2）若，求当取得最大值时的k值，并说明理由． 19. 已知函数，. （1）求函数的极值； （2）若不等式在上恒成立，求a的取值范围； （3）证明不等式：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $