上海市行知中学2023-2024学年高二上学期期末数学试卷

上海市行知中学2023学年第一学期期末 高二年级数学试卷 一、填空题（本题满分54分，共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分） 1. 双曲线的左焦点坐标是__________． 2. 已知事件与事件相互独立，且，，则________. 3. 已知一个等比数列的第4项是，公比是，它的第1项是________. 4. 一组数据3，5，8，a，11，15，18平均数为10，则该数据的中位数是________. 5. 在四面体中，若底面的一个法向量为，且，则顶点P到底面的距离为________. 6. 已知直线：经过点，则直线l倾斜角的大小为________. 7. 如图，正方体中，，点在线段上，且，为线段的中点，则异面直线与所成的角为________. 8. 某新学校高一、高二、高三共有学生950名，为了了解同学们的兴趣爱好，计划采用分层抽样的方法，从这950名学生中抽取一个样本容量为190的样本，若从高一、高二、高三抽取的人数恰好组成一个以为公比的等比数列，则此学校高一年级的学生人数为________人. 9. 已知直线与圆没有公共点，则的取值范围是________. 10. 在四棱锥中，底面为正方形，，为空间中一动点，为的中点，平面.若，则的轨迹围成封闭图形的体积为________. 11. 已知点是曲线（其中，为常数）上的一点，设，是直线上任意两个不同的点，且.则下列结论正确的是________. ①当时，方程表示椭圆； ②当时，方程表示双曲线； ③当，，且时，使得是等腰直角三角形的点有6个； ④当，，且时，使得是等腰直角三角形的点有8个. 12. 如图，在矩形中，，，分别为边，的中点，，分别为线段（不含端点）和上的动点，满足，直线，的交点为，已知点的轨迹为双曲线的一部分，则该双曲线的渐近线方程为________. 二.选择题（本题满分18分，共有4题，13-14每题4分，15-16每题5分） 13. 已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“⊥”是“⊥”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 14. 对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图（如图所示），则该样本的极差是（ ） A. 56 B. 53 C. 55 D. 51 15. 先后抛掷两颗骰子，设出现的点数之和是2，3，4的概率依次是，，，则（ ） A. B. C. D. 16. 已知等差数列（公差不为零）和等差数列的前项和分别为，，如果关于x的实系数方程有实数解，那么以下2023个方程中，无实数解的方程最多有（ ） A 1010个 B. 1011个 C. 1012个 D. 1013个 三.解答题（本题满分78分，共有5题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域内写出必要的步骤） 17. 已知直线的倾斜角为，，且这条直线经过点. （1）求直线的方程； （2）直线恒过定点，求点到直线的距离. 18. 某校近期举行了“2023年新闻时事知识竞赛”，现在随机抽查参赛200名学生的得分（满分100分），按照，，，，，，制作成如图所示的频率分布直方图，已知0.015，，成等差数列. （1）求出，的值，并计算参赛得分在的学生人数； （2）学校为进一步了解学生对新闻时事获取的途径，准备从得分在与的学生中按分层抽样的方法抽出6名学生，然后从中再选出2名学生交流新闻时事获取的途径，求这2人的得分都在内的概率. 19. 亭子是一种中国传统建筑，多建于园林，人们在欣赏美景的同时也能在亭子里休息、避雨、乘凉（如图1）.假设我们把亭子看成由一个圆锥与一个圆柱构成的几何体（如图2，其中，，三点共线）.一般地，设圆锥中母线与底面所成角的大小为，当时，方能满足建筑要求.已知圆锥高为1.6米，底面半径为2.4米.圆柱高为3米，底面半径为2米. （1）求几何体的体积； （2）如图2，设为圆柱底面半圆弧的三等分点，求圆柱母线和圆锥母线所在异面直线所成角的正切值，并判断该亭子是否满足建筑要求. 20. 已知是首项为1的等比数列，是首项为2的等差数列，且. （1）求和的通项公式； （2）将和中的所有项按从小到大的顺序排列组成新数列，求数列的前50项和； （3）设数列的通项公式为，，记的前项和为，若对任意的都成立，求正数的取值范围. 21. 已知椭圆：与抛物线：在第一象限交于点，，分别为左、右顶点. （1）若，且椭圆的焦距为2，求的准线方程； （2）设点是和的一个共同焦点，过点的一条直线与相交于，两点，与相交于，两点，，若直线的斜率为1，求的值； （3）设直线，直线分别与直线交于，两点，与的面积分别为，，若的最小值为，求点的坐标. 上海市行知中学2023学年第一学期期末 高