5.4 第2课时 二项式系数的性质课件-2023-2024学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

5.4 第2课时 新授课 二项式系数的性质 回顾：二项式定理: 二项式系数: 通项: 1.了解杨辉三角，会用杨辉三角求二项式乘方次数较小时的各项的二项式系数. 2.理解二项式系数的性质并灵活运用. 新课讲授 学习目标 课堂总结 3 当n依次取1，2，3，...时，(a+b)n展开式的二项式系数如图. 知识点一：杨辉三角 如图的表叫作二项系数表，历史上 也称为杨辉三角. 观察上图，你发现什么规律？ ①在同一行中,每行两端都是1,与这两个1“等距离”的二项式系数相等. 对称性 变化趋势： 先增大后减小. 新课讲授 学习目标 课堂总结 增减性与最大值 即 因为 当 ，即 时， 由对称性知， 时， Cnk随k的增加而增加； Cnk随k的增加而减小. 当n是偶数时，中间的一项 取得最大值； 当n是奇数时，中间的两项 和 相等,且同时取得最大值. 新课讲授 学习目标 课堂总结 观察上图，你发现什么规律？ ②在相邻的两行中,除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和. 新课讲授 学习目标 课堂总结 例1 根据杨辉三角，写出(a+b)7的二项式系数. 解：由杨辉三角知道，(a+b)6的各二项系数为1,6,15,20,15,6,1.根据其规律，有 1 6 15 20 6 15 1 1 1 7 21 35 21 7 35 ∴(a+b)7的各二项系数为1，7，21，35，35，21，7，1. 新课讲授 学习目标 课堂总结 变式 如图是与杨辉三角有类似性质的三角形数垒，a，b是某行的前两个数，当a＝7时，b等于（ ） A.20 B.21 C.22 D.23 C 新课讲授 学习目标 课堂总结 练一练 1.在(a＋b)20展开式中,与第五项的二项式系数相同的项是( ) A.第15项 B.第16项 C.第17项 D.第18项 C 2.在(a＋b)10展开式中,二项式系数最大的项是( ). A.第6项 B.第7项 C.第6项和第7项 D.第5项和第7项 A 新课讲授 学习目标 课堂总结 例2 求证 解：由二项式定理有 令a=b=1，则得 赋值法 知识点二：二项展开式的系数和问题 分析：∵ 中的a，b可以取任意实数，∴ 可以通过对a,b适当赋值来得到上述等式. (a+b)n的展开式的各二项式系数的和等于2n. 新课讲授 学习目标 课堂总结 变式 求证:在(a+b)n 的展开式中,奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和. 令a=1，b=-1，则得 即 因此 证明：在展开式 中， 奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和. 新课讲授 学习目标 课堂总结 练一练 解：(1)令展开式左、右两边x＝1，得各项系数和为1； (2)各二项式系数之和为26＝64. 在(2x－1)6展开式中,求： (1)各项系数的和; (2)各项的二项式系数和. 新课讲授 学习目标 课堂总结 归纳总结 一般地， 展开式的二项式系数 有如下性质： (1) (2) (4) (3) 当 时， 当 时， (5) 新课讲授 学习目标 课堂总结 根据今天所学,回答下列问题： 1.二项式系数的性质分别是什么？ 新课讲授 课堂总结 学习目标 $$