5.3 第2课时 组合数及其性质课件-2023-2024学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

5.3 第2课时 新授课 组合数及其性质 上节课已知从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活动，通过列举法知有3种组合方式： 甲、乙； 甲、丙； 乙、丙. 若从50名同学中选择选择2名同学参加一项活动，求有多少种组合方式，上述方法是否便捷？ 1.理解组合数的概念，能利用计数原理推导组合数公式. 2.能运用组合数公式进行简单计算. 3.通过对实际问题的分析，掌握组合数的两个性质. 新课讲授 学习目标 课堂总结 3 知识点一：组合数的概念 从n个不同元素中取出m(m≤n且m,n∈N+)个元素的所有组合的个数，叫作从n个不同元素中取出m(m≤n且m,n∈N+)个元素的一个组合数.记作 . 概念讲解 例如，从3个不同元素中取出2个元素的组合数表示为 从4个不同元素中取出3个元素的组合数表示为 新课讲授 学习目标 课堂总结 第2步，将取出的2个元素进行排列，共有 种排法. 第1步，从a,b,c,d这4个不同元素中取出2个元素，共有 种取法; 从a,b,c,d这4个不同元素中取出2个元素，有多少种排法？多少种取法？ 因此，根据分步乘法计数原理， 从而 思考：类似的，说一说计算组合数的一般化表示. 知识点二：组合数公式 该排列问题可以分解成以下2个步骤： 新课讲授 学习目标 课堂总结 2因此 一般地，考虑 与 的关系：把“从n个不同元素中取出m(m≤n,且m,n ∈N+)个元素进行排列”这件事，可以分解成以下2个步骤： 第1步，从n个不同元素中取出m个元素，共有 种取法; 第2步，将取出的m个元素进行排列，共有 种排法. 因此，根据分步乘法计数原理，我们得到“从n个不同元素中取出m(m≤n, 且m,n∈N+)个元素进行排列”共有 种排法，即 . 新课讲授 学习目标 课堂总结 规定 从n个不同元素中取出m(m≤n,且m,n∈N+)个元素的组合数为 概念生成 上述这个公式叫作组合数公式. 新课讲授 学习目标 课堂总结 例1.计算： (1) (2) 解：根据组合数公式，可得 (1) (2) 新课讲授 学习目标 课堂总结 例2.已知平面内有12个点，任何3个点均不在同直线上，以每3个点为顶点画一个三角形，一共可以画多少个三角形？ 解：依题意知题目所求为从12个不同元素中取出3个元素的组合数，即 分析：这是一个组合问题吗？为什么？ 因此，一共可以画220个三角形. 新课讲授 学习目标 课堂总结 问题1：分别计算“从10人中选出6人参加比赛”与“从10人中选出4人不参加比赛”的方法数. 解：“从10人中选出6人参加比赛”即 “从10人中选出4人不参加比赛”即 新课讲授 学习目标 课堂总结 思考：通过计算问题1你发现了什么？说出你的猜想并说明理由. 通过计算发现 猜想 理由为：每次从n个不同元素中取出m个元素的组合，等价于每次从n个不同元素中取出（n-m）个元素的组合，一一对应即可得 又 所以 证明： 新课讲授 学习目标 课堂总结 一般地，组合数有如下性质： 概念讲解 性质1： 注： (1)体现了“取”与“剩”是一一对应的思想； (2)两边下标相同，上标之和等于下标. 新课讲授 学习目标 课堂总结 1.计算：(1) (2) 练一练 解：(1) (2) 2.解方程： 解：由原方程，得x+1=2x-3或x+1+2x-3=13，解得x=4或x=5. 新课讲授 学习目标 课堂总结 问题2：从10名普通战士和1名班长中选出5名参加军事比武大赛. （1）共有多少种方案？（2）班长被选中的方案有几种？ （3）班长没被选中的方案有几种？ 解：（1）选择方案共有 种. （2）班长被选中的选择方案共有 种. （3）班长没被选中的选择方案共有 种. 思考：在整个选派过程中，班长要么被选中，要么不被选中，对比（1）你发现了什么？你能猜想得出一般性的结论吗？ 发现： 猜想： 新课讲授 学习目标 课堂总结 通过构造下面的情境来说明猜想：