2.1.2 第2课时 椭圆的简单几何性质课件-2023-2024学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

2.1.2 第2课时 新授课 椭圆的简单几何性质 1.进一步熟悉求解椭圆方程的方法. 2.会利用椭圆的几何性质解决一些简单的实际问题. 3.了解代入法求解轨迹方程的方法. 新课讲授 学习目标 课堂总结 2 标准方程 范围 对称性 顶点坐标 焦点坐标 半轴长 离心率 a, b, c的关系 -a ≤ x≤ a, - b≤ y≤ b 关于x轴、y轴成轴对称; 关于原点成中心对称 (a,0), (-a,0), (0,b), (0,-b) (c,0), (-c,0) 长半轴长为a, 短半轴长为b a2=b2+c2 (b,0), (-b,0), (0,a), (0,-a) (0,c), (0, -c) 关于x轴、y轴成轴对称;关于原点成中心对称 长半轴长为a,短半轴长为b -a ≤ y ≤ a, - b≤ x ≤ b a2=b2+c2 新课讲授 学习目标 课堂总结 例1:求适合下列条件的椭圆的标准方程: (1)长轴在x轴上,长轴的长为12,离心率为 ; (2)经过点P(-6,0)和Q(0,8). ∴椭圆的标准方程为 由已知2a=12, 得a=6,c=4, 从而b2=a2-c2=20, 解:(1)根据题意设椭圆的标准方程为 新课讲授 学习目标 课堂总结 例1:求适合下列条件的椭圆的标准方程: (1)长轴在x轴上,长轴的长为12,离心率为 ; (2)经过点P(-6,0)和Q(0,8). 由椭圆的几何性质可得,b=6,a=8, ∴椭圆的标准方程为 解:(2)短轴、长轴分别在x轴和y轴上,设椭圆的标准方程为 新课讲授 学习目标 课堂总结 归纳总结 利用椭圆的几何性质求标准方程的步骤 (4)写出椭圆标准方程. (3)根据已知条件构造关于参数的关系式,利用方程(组)求参数. (2)设出相应椭圆的标准方程. (1)确定焦点位置. 新课讲授 学习目标 课堂总结 1.求经过点P (4, 1),且长轴长是短轴长的2倍的椭圆的标准方程. 注意:当焦点位置不确定时,要讨论,此时有两个解! 解:若焦点在x轴上,设椭圆方程为 则 解得 ∴椭圆方程为 若焦点在y轴上,同理求得 故椭圆方程为 或 练一练 新课讲授 学习目标 课堂总结 例2:酒泉卫星发射中心将一颗人造卫星送人到距地球表面近地点(离地面最近的点)高度约200km,远地点(离地面最远的点)高度约350km的椭圆轨道(将地球看作一个球,其半径约为6371km),求椭圆轨道的标准方程.(注:地心(地球的中心)位于椭圆轨道的一个焦点,且近地点、远地点与地心共线) 解:如图,设地心为椭圆轨道右焦点F2,近地点、远地点分别为A2,A1,以直线A1A2为x轴,线段A1A2的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系,则F2,A1,A2三点都在x轴上, 新课讲授 学习目标 课堂总结 设所求椭圆方程为 |F2A2|=a-c=200+6371,① |A1F2|=a+c=350+6371.② 联立①②解得a=6646,c=75, 从而b2=a2-c2=44163691. ∴椭圆轨道的标准方程为 新课讲授 学习目标 课堂总结 归纳总结 解决和椭圆有关的实际问题的思路 (3)用解得的结果说明原来的实际问题. (2)确定椭圆的位置及要素,并利用椭圆的方程或几何性质求出数学问题的解. (1)通过数学抽象,找出实际问题中涉及的椭圆,将原问题转化为数学问题. 新课讲授 学习目标 课堂总结 练一练 解得a=16, 2.某隧道的拱线设计为半个椭圆的形状,最大拱高h为6米(如图所示),路面设计是双向车道,车道总宽为 米,如果限制通行车辆的高度不超过4.5米,那么隧道设计的拱宽d至少应是 米. 32 解:设所求椭圆方程为 由题知点 在椭圆上,则 ∵车辆高度不超过4.5米,∴a≥16,d=2a≥32,故拱宽至少为32米. 新课讲授 学习目标 课堂总结 例3:如图,点P是圆O:x2+y2=4上的动点,作PH⊥x轴于点H,求线段PH的中点M的轨迹方程,并指出该轨迹是什么图形. 解:设点M的坐标为(x,y),则点P的坐标为(x,2y). ∵点P在圆O上, ∴点M的轨迹是长轴长为4,短轴长为2,焦点在x轴上的椭圆. ∴x2+(2y)2=4,即 新课讲授 学习目标 课堂总结 归纳总结 相关点代入法求轨迹方程的一般步骤 (4)化简方程得所求方程. (3)将x0,y0代入其所在的曲线方程. (2)找出(x,y)与(x0,y0)之间的等量关系,用x,y表示x0,y0. (1)建立平面直角坐标系,设所求动点的坐标为(x,y),其相关动点的坐标为(x0,y0). 新课讲授 学习目标 课堂总结 练一练 3.点B是椭圆 上的动点,A(2a,0)为定点,求线段AB的中点M的轨迹方程. 解:设动点M的坐标为(x,y),B点坐标为(x0,y0), ∴点B的坐标可表示为(2x-2a,2