专题1.2 椭圆的简单几何性质（高效培优讲义）数学北师大版2019选择性必修第一册

专题1.2 椭圆的简单性质 教学目标 1.掌握椭圆的中心、顶点、长轴、短轴、离心率的概念，理解椭圆的范围和对称性．　 .掌握已知椭圆标准方程时a，b，c，e的几何意义及其相互关系. 教学重难点 1.重点：掌握椭圆的简单性质. 2.难点：用代数法研究曲线的几何性质，在熟练掌握椭圆的几何性质的过程中，体会数形结合的思想. 知识点01 椭圆的简单性质（重点） 1.对称性 (1)在椭圆的标准方程中,用代换x(用-y代换y),方程不变,所以椭圆关于x轴(轴)对称,即 是椭圆的对称轴. (2)同时以-x代换x,-y代换y,方程不变,则椭圆关于 对称,这个对称中心称为椭圆的中心. 2.范围 因为椭圆上的点的坐标都适合不等式，，即有，，所以这说明椭圆位于由直线和所围成的矩形里,如图所示. 3.顶点 椭圆与它的对称轴的交点称为椭圆的顶点. 如图,椭圆四个顶点的坐标分别为,. 线段A1A2叫做椭圆的长轴，它的长等于 ；线段B1B2叫做椭圆的短轴，它的长等于 ；a,b分别叫作椭圆的长半轴长与短半轴长. 4.离心率 (1)我们规定,椭圆的焦距与长轴长的比叫做椭圆的离心率,用e表示,即 . (2)因为a>c>0,所以0<e<1. 【知识剖析】 细解椭圆的范围和顶点 1.从椭圆的方程或图形中可以直接看出它的范围. 2.在画椭圆时,常利用椭圆上的点的横、纵坐标的取值范围先画出矩形，然后在矩形内画出椭圆的草图. 3.椭圆有四个顶点、两个焦点，共六个特殊点，研究椭圆时一定要注意这六个特殊点的位置. 4.已知椭圆的四个顶点，可以使用几何作图找出其焦点，方法是：以短轴的端点为圆心，以a为半径作弧交长轴于两点，这两点就是该椭圆的焦点. 【即学即练】 1.椭圆＋＝1与＋＝1(0＜k＜9)的(　　) A．长轴长相等　　　　 B．短轴长相等 C．离心率相等 D．焦距相等 2.已知椭圆的标准方程为＋＝1，则椭圆上的点P到椭圆中心|OP|的范围为(　　) A．[6，10] B．[6，8] C．[8，10] D．[16，20] ∴8≤|OP|≤10. 3.求椭圆的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标． 知识点02 椭圆标准方程中的三个量a、b、c的几何意义 椭圆标准方程中，a、b、c三个量的大小与坐标系无关，是由椭圆本身的形状大小所确定的，分别表示椭圆的长半轴长、短半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：，，且． 可借助下图帮助记忆： a、b、c恰构成一个直角三角形的三条边，其中a是斜边，b、c为两条直角边．和a、b、c有关的椭圆问题常与与焦点三角形有关，这样的问题考虑到用椭圆的定义及余弦定理（或勾股定理）、三角形面积公式相结合的方法进行计算与解题，将有关线段、、，有关角（）结合起来，建立、之间的关系． 【即学即练】 1.已知椭圆的短轴长为，焦距为，则椭圆的上顶点到右焦点的距离为（     ） A． B． C． D． 2．已知椭圆的左、右焦点分别为是上在第二象限内的一点，且，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 知识点03椭圆和的简单性质比较（难点） 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 ＋＝1(a＞b＞0) ＋＝1(a＞b＞0) 对称性 对称轴 ，对称中心 范围 且 且 顶点 轴长 短轴长＝ ，长轴长＝ 焦点 焦距 |F1F2|＝ 离心率 e＝(0＜e＜1) 【知识剖析】 离心率对椭圆扁圆程度的影响 1.如图所示，在Rt△BF2O中，cos∠BF2O＝，记e＝则0<e<1，e越大，∠BF2O越小，椭圆越扁；e越小，∠BF2O越大，椭圆越圆． 2.当且仅当a=b时,两焦点重合,图形变为圆,它的方程为,也可认为圆是椭圆在e=0时的特例. 【即学即练】 1. 已知椭圆的方程为＋＝1，则此椭圆的长轴长为(　　) A．3 B．4 C．6 D．8 2．已知椭圆C1：＋＝1，C2：＋＝1，则(　　) A．C1与C2顶点相同 B．C1与C2长轴长相同 C．C1与C2短轴长相同 D．C1与C2焦距相等 题型01 利用性质求椭圆的标准方程 【典例1】求适合下列条件的椭圆的标准方程． (1)长轴长是10，离心率是； (2)在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6． 由椭圆的简单性质求椭圆标准方程的步骤 1.确定焦点所在的位置，进而确定椭圆标准方程的形式，若焦点位置不确定，则需分类讨论. 2.由条件直接确定a,b的值或建立关于a,b,c的方程（组），解出a,b的值. 3.写出椭圆的标准方程. 【变式1-1】设椭圆的一个焦点为，离心率为，则此椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2025河北石家庄高二上期中联考）.阿基米德不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他最早利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆的对称轴为坐标轴，焦点在轴上，且椭圆C的离心率为，面积为，则椭圆C的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】求满足下列各条件的椭圆的标准方程． (1)已知椭圆的中心在原点，焦点在y轴上，其离心率为，焦距为8； (2)已知椭圆的离心率为e＝，短轴长为8. 题型02 利用方程研究椭圆的性质 【典例2-1】（多选）（2025·高二·四川广元·阶段练习）已知分别是椭圆C：的左､右焦点，P为椭圆C上异于长轴端点的动点，则下列结论正确的是（      ） A．的周长为10 B．面积的最大值为25 C．的最小值为1 D．椭圆C的离心率为 【典例2-2】（多选）（2025·河南开封·三模）椭圆的焦点为，，上顶点为A，直线与C的另一个交点为B，若，则（    ） A．C的焦距为2 B．C的短轴长为 C．C的离心率为 D．的周长为8 由椭圆方程研究其性质的步骤 已知椭圆方程讨论其几何性质时，首先要将其化为标准方程，确定a,b的值，然后求解其几何性质中的其他相关量.若不能确定焦点是在x轴上还是y轴上，则需分情况讨论. 【变式2-1】（多选）已知椭圆的左、右焦点分别为，点）是椭圆E上的一个动点，则下列说法正确的是（    ） A．椭圆E的长轴长为5 B．椭圆E的离心率为 C． D．恰好存在两个点P使得 【变式2-2】已知焦点在x轴上的椭圆的焦距与长轴长的比值恰好是黄金分割数，则实数m的值为 ． 题型03 定义法求椭圆的离心率 【典例3-1】（24-25高二下·河南周口·开学考试）已知椭圆的左、右焦点分别为，，P是椭圆C上任意一点．若，则椭圆C的离心率为（    ）． A． B． C． D． 【典例3-2】已知F是双曲线的右焦点，直线与C交于P，Q两点，若以为直径的圆经过点F，则C的离心率为（    ） A．2 B． C．3 D． 定义法求椭圆的离心率 所谓定义法，是指利用离心率的定义求解，即建立a,c的关系式，求出的值，再利用定义式求得离心率e，或整体得到. 【变式3-1】（2025·江西宜春·一模）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在该椭圆上，则该椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】已知椭圆，、是的焦点，过且垂直于轴的直线截椭圆所得弦长为，是上一动点，是圆上一动点，则（    ） A． B．椭圆离心率为 C．圆与圆相切 D．的最大值为4 题型04 构造方程求椭圆的离心率 【典例4】已知椭圆的左右焦点分别为，，右顶点为.过点的直线与椭圆的交点为，与轴的交点为.若，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 方程法求椭圆的离心率 即根据a,c,b,e的关系，构造关于e的方程，解方程求解. 【变式4-1】已知椭圆C：的焦点分别为，，过的直线与C交于P，Q两点，若，，则椭圆C的离心率为（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】（2025·高二·湖北武汉·联考）已知椭圆：（）的左右焦点分别为，，点在上，点在轴上，，，则椭圆的离心率为 ． 题型05 求椭圆离心率的取值范围 【典例5】（2024·高二·安徽安庆·阶段练习）椭圆（a＞b＞0）上存在一点P满足，分别为椭圆的左右焦点，则椭圆的离心率的范围是（   ） A． B． C． D． 求椭圆的离心率的取值范围的策略 利用题设条件或问题中的隐含条件构建关于a,b,c,e的不等关系，进而转化为关于离心率e的不等式（组），通过解不等式（组）求出离心率e的取值范围.求解的同时要注意椭圆的离心率e 【变式5-1】（2024·高二·四川内江·阶段练习）已知点A、B为椭圆的长轴顶点，P为椭圆上一点，若直线PA，PB的斜率之积的范围为，则椭圆的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（2025·高二·江苏盐城·阶段练习）已知椭圆上有一点P，是椭圆的左、右焦点，若使得为直角三角形点P有8个，则椭圆的离心率的范围是（    ） A． B． C． D． 题型06 由椭圆的离心率求参 【典例6】（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）已知椭圆的离心率，则的值为（    ） A．12 B． C．12或 D．或 由椭圆的离心率求参问题求解策略 这类问题一般根据椭圆的离心率列出关于参数的方程，解之即得所求.但求解时还需注意椭圆焦点所在的位置，有时要分焦点在x轴还是y轴讨论求解. 【变式6-1】（2025·湖南湘潭·三模）已知椭圆的离心率为，则的短轴长为（    ） A． B．1 C．2 D．3 【变式6-2】（24-25高二下·湖北·期中）若焦点在轴上的椭圆的离心率为，则的值为（   ） A． B．9 C． D．12 题型07 椭圆对称性的应用 【典例6】已知椭圆的方程为，其中依次将椭圆的下半部分分成10等份，若是椭圆的右焦点，则（    ） A．10 B．16 C．20 D．12 椭圆对称性的应用策略 椭圆关于x轴、y轴，原点对称.应用时，可利用对称简化问题： 求对称点坐标，将非第一象限内的点转化到第一象限来分析；处理弦中点、对称点问题时，用对称性质减少计算，结合椭圆的性质高效解题. 【变式7-1】（多选）已知直线被椭圆截得的弦长为8，则下列直线中被椭圆截得的弦长也为8的有（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】已知椭圆的中心为原点，焦点为，，以为圆心，为半径的圆交椭圆于、两点，且，则椭圆的方程是（    ） A． B． C． D． 题型08 利用椭圆上点的范围求解最值问题 【典例8-1】已知曲线，圆，若A，B分别是M，N上的动点，则的最小值是（    ） A．2 B． C．3 D． 【典例8-2】（2025·高二·辽宁·期中）已知是椭圆上一点，，则的最小值为 . 利用椭圆上点的范围解决最值问题的策略 这类问题往往与椭圆上动点坐标有关，可以将所求最值的量用椭圆上点的坐标表示，从而建立关于椭圆上点的横坐标或纵坐标的函数，借助函数思想及点的坐标范围求得最值. 【变式8-1】设P为椭圆上任意一点，其中，为它的一个焦点，则的最大值为 ，最小值为 ． 【变式8-2】（2025·高二·上海普陀·期中）过椭圆的中心的直线与椭圆交于两点，是椭圆的右焦点，则的面积的最大值为 ． 题型09 几何法求解椭圆的最值问题 【典例9】（24-25高二下·湖南永州·期末）已知椭圆的左、右焦点分别，，椭圆的长轴长为，短轴长为2，P为直线上的任意一点，则的最大值为 . 几何法求解椭圆的最值问题 若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义,则考虑利用图形性质来解决,这就是几何法.解题的关键是能够准确分析出最值问题所隐含的几何意义,并能借助相应曲线的定义及对称知识求解. 【变式9】（2025·山东日照·二模）已知与x轴相交于C，D两点，点，以AB为直径的圆与⊙O内切，则△BCD面积的最大值为 ． 题型10 椭圆简单性质的实际应用 【典例10】某彗星的运行轨道是以太阳为一个焦点的椭圆，测得轨道的近日点（距离太阳最近的点）与太阳中心的距离为，远日点（距离太阳最远的点）与太阳中心的距离为，并且近日点、远日点及太阳中心在同一条直线上，则（    ） A．轨道的焦距为 B．轨道的离心率为 C．轨道的短轴长为 D．当越大时，轨道越圆 解决椭圆的实际应用题的一般思路 根据题意得到几何图形，建立适当的平面直角坐标系，与椭圆知识相联系，找出题目中已知量和隐含条件的关系，求出椭圆方程. 【变式10-1】（2025·广东韶关·模拟预测）韶州大桥是一座独塔双索面钢砼混合梁斜拉桥，具有桩深，塔高、梁重、跨大的特点，它打通了曲江区、浈江区、武江区交通道路的瓶颈，成为连接曲江区与芙蓉新城的重要交通桥梁，大桥承担着实现韶关“三区融合”的重要使命，韶州大桥的桥塔外形近似椭圆，若桥塔所在平面截桥面为线段，且过椭圆的下焦点，米，桥塔最高点距桥面米，则此椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式10-2】（2024·高二·福建福州·期中）“嫦娥四号”探测器实现历史上的首次月背着陆，如图是“嫦娥四号”运行轨道示意图，圆形轨道距月球表面千米，椭圆形轨道的一个焦点是月球球心，一个长轴顶点位于两轨道相切的变轨处，另一个长轴顶点距月球表面千米，则椭圆形轨道的焦距为 千米. 【变式8-3】（2025·高二·湖北武汉·期末）在对表面为曲面的工件进行磨削时应当选用尺寸适当的圆形砂轮，如果砂轮半径太大，则磨削时工件与砂轮接触处附近的那部分会磨去太多．现有一工件，其截面内表面是一长轴长为4，离心率为的椭圆，在对其内表面进行抛光时，所选用砂轮的半径最大为 ． 练基础 1．椭圆25x2＋9y2＝225的长轴长、短轴长、离心率依次是(　　) A．5，3，　　　　　 B．10，6， C．5，3， D．10，6， 2．焦点在x轴上，长、短半轴长之和为10，焦距为4，则椭圆的方程为(　　) A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 3．（24-25高二下·云南玉溪·期末）已知椭圆的离心率为，短轴长为2，则（   ） A． B． C．1 D． 4．（24-25高二下·云南丽江·阶段练习）若椭圆的焦距为，则该椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高三下·云南昆明·开学考试）已知椭圆和椭圆有相同的离心率，则（   ） A． B． C．或4 D．或4 6．（24-25高二上·山西·阶段练习）下列四个椭圆中，形状与圆更接近的一个是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高二上·浙江台州·期末）已知椭圆的标准方程为，下列说法正确的是（    ） A．椭圆的长轴长为2 B．椭圆的焦点坐标为 C．椭圆关于直线对称 D．当点在椭圆上时， 8.（多选）（2025·贵州·二模）已知椭圆：，：，则（   ） A．与的离心率相等 B．与的焦距相等 C．与的长轴长相等 D．的短轴长是的短轴长的两倍 9．(多选)（24-25高二上·山东临沂·期末）椭圆：的左、右焦点分别为，，点为上的任意一点，则（   ） A．椭圆的长轴长为3 B．椭圆的离心率为 C．的最大值为5 D．存在点，使得 10．（24-25高二上·宁夏银川·阶段练习）若椭圆：的短轴的一个端点为，则椭圆的长轴长为 11.已知椭圆的短半轴长为1，离心率0<e≤.则长轴长的取值范围为________． 12．（2025·江西新余·二模）已知点是椭圆：上的动点，若，则的最小值为 . 13．已知椭圆x2＋(m＋3)y2＝m(m＞0)的离心率e＝，求m的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标． 14．如图，椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线交椭圆于P，Q两点，且PQ⊥PF1. (1)若|PF1|＝2＋，|PF2|＝2－，求椭圆的标准方程； (2)若|PF1|＝|PQ|，求椭圆的离心率e. 练提升 15．（24-25高二上·天津·期中），是椭圆的左、右焦点，点P在椭圆上运动，则的最大值是（   ） A．4 B．5 C．2 D．1 16．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）阿基米德在他的著作《关于圆锥体和球体》中计算了一个椭圆的面积，当我们垂直地缩小一个圆时，得到一个椭圆，椭圆的面积等于圆周率与椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．已知椭圆的面积为，两个焦点分别为，点是椭圆上的动点，点是点关于原点的对称点，若四边形的周长为12，则四边形面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 17.（24-25高二下·广东广州·期中）已知直线与椭圆交于A，B两点，椭圆E右焦点为F，直线AF与E的另外一个交点为C，若，若，则E的离心率为（   ） A． B． C． D． 18.（多选）（24-25高二下·海南海口·阶段练习）已知椭圆的两个焦点分别为，，P是C上任意一点，则（   ） A．C的离心率为 B．的周长为12 C．的最小值为3 D．的最大值为16 19．（多选）（24-25高二下·内蒙古·期末）已知为坐标原点，椭圆的左、右焦点分别为，点在上，，且为上一个动点，则（   ） A． B．的长轴长为4 C．的最小值为 D．的最大值是 20．如图，椭圆的中心在坐标原点O，顶点分别是A1，A2，B1，B2，焦点分别为F1，F2，延长B1F2与A2B2交于P点，若∠B1PA2为钝角，则此椭圆的离心率e的取值范围为________． 21.（24-25高二上·上海·期末）已知椭圆方程为，点为椭圆的右顶点，定点在轴上，点为椭圆上一动点，当取得最小值时点恰与点重合，则实数的取值范围为 ． 22．已知椭圆C：经过点，、是椭圆C的左、右两个焦点，，P是椭圆C上的一个动点． (1)求椭圆C的标准方程； (2)若点P在第一象限，且，求点P的横坐标的取值范围． 23．已知椭圆C：，椭圆的长轴长为6，离心率为，M为椭圆上一动点. (1)求椭圆的方程； (2)若点，，求的最小值. 24．（24-25高二上·黑龙江绥化·期中）以椭圆的焦点为焦点，过直线上一点作椭圆，要使所作椭圆的长轴最短，点应在何处？求出坐标，并求出此时的椭圆方程． 练创新 25．（24-25高二上·广东梅州·期中）小明同学某天发现，在阳光的照射下，篮球在地面留下的影子如图所示，设过篮球的中心且与太阳平行光线垂直的平面为，地面所在平面为，篮球与地面的切点为，球心为，球心在地面的影子为点；已知太阳光线与地面的夹角为；如图，为球的一条直径，为在地面的影子，点在线段上，小明经过研究资料发现，当时，篮球的影子为一椭圆，且点为椭圆的焦点，线段为椭圆的长轴，则此时该椭圆的离心率（    ）（用表示）.    A． B． C． D． 26．（24-25高二下·上海·期中）已知曲线：的左、右顶点分别为A，B，设P是曲线上的任意一点， 设点C满足，且的最大值为7，则的值是 ． 27．（23-24高二上·江苏常州·期中）如图，人们打算对长方形地块进行开发建设，其中百米，百米，长方形各边中点分别为E，F，G，H，现计划在此地块正中间铺一块椭圆形草坪，长轴在线段上且长度为6百米，椭圆离心率为.同时计划修一条长为6百米的路（其中，分别在线段，上，路的宽度忽略不计），并在内修建花圃.    (1)求椭圆上的点到直线的最短距离； (2)求线段的中点到椭圆中心的距离的最小值. 27 / 28 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.2 椭圆的简单性质 教学目标 1.掌握椭圆的中心、顶点、长轴、短轴、离心率的概念，理解椭圆的范围和对称性．　 .掌握已知椭圆标准方程时a，b，c，e的几何意义及其相互关系. 教学重难点 1.重点：掌握椭圆的简单性质. 2.难点：用代数法研究曲线的几何性质，在熟练掌握椭圆的几何性质的过程中，体会数形结合的思想. 知识点01 椭圆的简单性质（重点） 1.对称性 (1)在椭圆的标准方程中,用代换x(用-y代换y),方程不变,所以椭圆关于x轴(轴)对称,即坐标轴是椭圆的对称轴. (2)同时以-x代换x,-y代换y,方程不变,则椭圆关于原点对称,这个对称中心称为椭圆的中心. 2.范围 因为椭圆上的点的坐标都适合不等式，，即有，，所以这说明椭圆位于由直线和所围成的矩形里,如图所示. 3.顶点 椭圆与它的对称轴的交点称为椭圆的顶点. 如图,椭圆四个顶点的坐标分别为,. 线段A1A2叫做椭圆的长轴，它的长等于2a；线段B1B2叫做椭圆的短轴，它的长等于2b.a,b分别叫作椭圆的长半轴长与短半轴长. 4.离心率 (1)我们规定,椭圆的焦距与长轴长的比叫做椭圆的离心率,用e表示,即 . (2)因为a>c>0,所以0<e<1. 【知识剖析】 细解椭圆的范围和顶点 1.从椭圆的方程或图形中可以直接看出它的范围. 2.在画椭圆时,常利用椭圆上的点的横、纵坐标的取值范围先画出矩形，然后在矩形内画出椭圆的草图. 3.椭圆有四个顶点、两个焦点，共六个特殊点，研究椭圆时一定要注意这六个特殊点的位置. 4.已知椭圆的四个顶点，可以使用几何作图找出其焦点，方法是：以短轴的端点为圆心，以a为半径作弧交长轴于两点，这两点就是该椭圆的焦点. 【即学即练】 1.椭圆＋＝1与＋＝1(0＜k＜9)的(　　) A．长轴长相等　　　　 B．短轴长相等 C．离心率相等 D．焦距相等 【答案】C 【解析】椭圆＋＝1中c＝25－9＝16， 椭圆＋＝1中c＝25－k－(9－k)＝16， ∴两椭圆焦距相等． 2.已知椭圆的标准方程为＋＝1，则椭圆上的点P到椭圆中心|OP|的范围为(　　) A．[6，10] B．[6，8] C．[8，10] D．[16，20] 【答案】C 【解析】设P(x0，y0)，则|OP|＝. 由椭圆的范围，知|x0|≤a＝10，|y0|≤b＝8， 又∵P在椭圆上，∴＋＝1， ∴y＝64－x，∴|OP|＝ ∵0≤x≤100，∴64≤x＋64≤100， ∴8≤|OP|≤10. 3.求椭圆的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标． 【解析】把已知方程化成标准方程＋＝1， 于是a＝4，b＝3，c＝＝， ∴椭圆的长轴长和短轴长分别是2a＝8和2b＝6， 离心率e＝＝， 两个焦点坐标分别是(－，0)，(，0)， 四个顶点坐标分别是(－4,0)，(4,0)，(0，－3)，(0,3)． 知识点02 椭圆标准方程中的三个量a、b、c的几何意义 椭圆标准方程中，a、b、c三个量的大小与坐标系无关，是由椭圆本身的形状大小所确定的，分别表示椭圆的长半轴长、短半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：，，且． 可借助下图帮助记忆： a、b、c恰构成一个直角三角形的三条边，其中a是斜边，b、c为两条直角边．和a、b、c有关的椭圆问题常与与焦点三角形有关，这样的问题考虑到用椭圆的定义及余弦定理（或勾股定理）、三角形面积公式相结合的方法进行计算与解题，将有关线段、、，有关角（）结合起来，建立、之间的关系． 【即学即练】 1.已知椭圆的短轴长为，焦距为，则椭圆的上顶点到右焦点的距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆的性质求出，即可得解. 【详解】依题意，所以，则， 则椭圆的上顶点到右焦点的距离为. 故选：B 2．已知椭圆的左、右焦点分别为是上在第二象限内的一点，且，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由条件可知，，得，，且 所以，且， 设直线的倾斜角为，则， 所以直线的斜率为. 故选：B 知识点03椭圆和的简单性质比较（难点） 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 ＋＝1(a＞b＞0) ＋＝1(a＞b＞0) 对称性 对称轴x轴和y轴，对称中心(0，0) 范围 －a≤x≤a且 －b≤y≤b －b≤x≤b且 －a≤y≤a 顶点 A1(－a，0)、A2(a，0)， B1(0，－b)、B2(0，b) A1(0，－a)、A2(0，a)， B1(－b，0)、B2(b，0) 轴长 短轴长＝2b，长轴长＝2a 焦点 F1(－c，0)、F2(c，0) F1(0，－c)、F2(0，c) 焦距 |F1F2|＝2c 离心率 e＝(0＜e＜1) 【知识剖析】 离心率对椭圆扁圆程度的影响 1.如图所示，在Rt△BF2O中，cos∠BF2O＝，记e＝则0<e<1，e越大，∠BF2O越小，椭圆越扁；e越小，∠BF2O越大，椭圆越圆． 2.当且仅当a=b时,两焦点重合,图形变为圆,它的方程为,也可认为圆是椭圆在e=0时的特例. 【即学即练】 1. 已知椭圆的方程为＋＝1，则此椭圆的长轴长为(　　) A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【解析】该椭圆的标准方程为＋＝1，故a＝4，故长轴长＝2a＝8. 2．已知椭圆C1：＋＝1，C2：＋＝1，则(　　) A．C1与C2顶点相同 B．C1与C2长轴长相同 C．C1与C2短轴长相同 D．C1与C2焦距相等 【答案】D 【解析】由两个椭圆的标准方程可知：C1的顶点坐标为(±2，0)，(0，±2)，长轴长为4，短轴长为4，焦距为4；C2的顶点坐标为(±4，0)，(0，±2)，长轴长为8，短轴长为4，焦距为4.故选D. 题型01 利用性质求椭圆的标准方程 【典例1】求适合下列条件的椭圆的标准方程． (1)长轴长是10，离心率是； (2)在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6． 【解析】(1)设椭圆的方程为 ＋＝1(a>b>0)或＋＝1(a>b>0)． 由已知得2a＝10，a＝5． 又∵e＝＝，∴c＝4． ∴b2＝a2－c2＝25－16＝9． ∴椭圆方程为＋＝1或＋＝1． (2)依题意可设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)． 如图所示，△A1FA2为一等腰直角三角形，OF为斜边A1A2的中线(高)，且|OF|＝c，|A1A2|＝2b， 则c＝b＝3， a2＝b2＋c2＝18， 故所求椭圆的方程为＋＝1． 由椭圆的简单性质求椭圆标准方程的步骤 1.确定焦点所在的位置，进而确定椭圆标准方程的形式，若焦点位置不确定，则需分类讨论. 2.由条件直接确定a,b的值或建立关于a,b,c的方程（组），解出a,b的值. 3.写出椭圆的标准方程. 【变式1-1】设椭圆的一个焦点为，离心率为，则此椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为椭圆的一个焦点为，所以焦点在轴上， 又离心率为，所以，解得，所以椭圆的方程为， 故选：A. 【变式1-2】（2025河北石家庄高二上期中联考）.阿基米德不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他最早利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆的对称轴为坐标轴，焦点在轴上，且椭圆C的离心率为，面积为，则椭圆C的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设椭圆的标准方程为，则椭圆的面积为，又， 联立解得．所以椭圆的标准方程为． 故选：D. 【变式1-3】求满足下列各条件的椭圆的标准方程． (1)已知椭圆的中心在原点，焦点在y轴上，其离心率为，焦距为8； (2)已知椭圆的离心率为e＝，短轴长为8. 【解析】(1)由题意知，2c＝8，c＝4， ∴e＝＝＝，∴a＝8， 从而b2＝a2－c2＝48， ∴椭圆的标准方程是＋＝1. (2)由e＝＝得c＝a， 又2b＝8，a2＝b2＋c2，所以a2＝144，b2＝80， 所以椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1. 题型02 利用方程研究椭圆的性质 【典例2-1】（多选）（2025·高二·四川广元·阶段练习）已知分别是椭圆C：的左､右焦点，P为椭圆C上异于长轴端点的动点，则下列结论正确的是（      ） A．的周长为10 B．面积的最大值为25 C．的最小值为1 D．椭圆C的离心率为 【答案】AD 【解析】由题意可知：， 则，， 对于选项A：的周长为，故A正确； 对于选项B：当P为短轴顶点时，面积取到最大值为，故B错误； 对于选项C：的最小值为，此时P为长轴顶点， 但本题取不到长轴顶点，故没有最小值，故C错误； 对于选项D：椭圆C的离心率为，故D正确； 故选：AD. 【典例2-2】（多选）（2025·河南开封·三模）椭圆的焦点为，，上顶点为A，直线与C的另一个交点为B，若，则（    ） A．C的焦距为2 B．C的短轴长为 C．C的离心率为 D．的周长为8 【答案】ABD 【解析】由于，所以, 故， 因此，故， 所以椭圆， 对于A，焦距为，故A正确， 对于B，短轴长为，B正确， 对于C，离心率为，C错误， 对于D，的周长为，D正确， 故选：ABD 由椭圆方程研究其性质的步骤 已知椭圆方程讨论其几何性质时，首先要将其化为标准方程，确定a,b的值，然后求解其几何性质中的其他相关量.若不能确定焦点是在x轴上还是y轴上，则需分情况讨论. 【变式2-1】（多选）已知椭圆的左、右焦点分别为，点）是椭圆E上的一个动点，则下列说法正确的是（    ） A．椭圆E的长轴长为5 B．椭圆E的离心率为 C． D．恰好存在两个点P使得 【答案】BC 【详解】对于椭圆，，故椭圆长轴长为，A错误； 椭圆离心率为，B正确； 点）是椭圆E上的一个动点，则，即，C正确； 由可知P点位于以为直径的圆上，， 则该圆方程为，联立，解得， 则或或或，故满足题意的点P有4个，D错误， 故选：BC 【变式2-2】已知焦点在x轴上的椭圆的焦距与长轴长的比值恰好是黄金分割数，则实数m的值为 ． 【答案】 【分析】根据焦距和长轴定义以及黄金分割的相关概念得到方程，解出即可. 【详解】焦点在x轴上的椭圆中，，， 所以，由题意得，即， 即，解得． 题型03 定义法求椭圆的离心率 【典例3-1】（24-25高二下·河南周口·开学考试）已知椭圆的左、右焦点分别为，，P是椭圆C上任意一点．若，则椭圆C的离心率为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆方程及其定义和焦点位置得，，进而求离心率. 【详解】由椭圆的定义及题意，得，所以． 因为，所以，所以， 所以离心率． 故选：B． 【典例3-2】已知F是双曲线的右焦点，直线与C交于P，Q两点，若以为直径的圆经过点F，则C的离心率为（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【详解】不妨设点P在第一象限，连接FP，FQ，PF1，如图．由题意可得， 易知P，Q两点关于坐标原点O对称，所以O为线段PQ的中点， 所以，故为直角三角形，由题意，，设， 则，解得或（舍）， 所以，． 故选：B 定义法求椭圆的离心率 所谓定义法，是指利用离心率的定义求解，即建立a,c的关系式，求出的值，再利用定义式求得离心率e，或整体得到. 【变式3-1】（2025·江西宜春·一模）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在该椭圆上，则该椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，结合椭圆的定义求出焦距及长轴长，再求出离心率. 【详解】依题意，椭圆的焦距，长轴长， 所以该椭圆的离心率. 故选：A 【变式3-2】已知椭圆，、是的焦点，过且垂直于轴的直线截椭圆所得弦长为，是上一动点，是圆上一动点，则（    ） A． B．椭圆离心率为 C．圆与圆相切 D．的最大值为4 【答案】AC 【详解】AB选项，由通径长，得．所以， 由椭圆的定义，可得，所以A正确； 椭圆离心率，所以B不正确； C选项，圆N的圆心为，半径，圆圆心为，， 因为，所以两圆相内切；C正确； D选项，设点，其中，则满足，可得， 则 ， 当时，取得最大值，， 故，所以D不正确．故选：AC 题型04 构造方程求椭圆的离心率 【典例4】已知椭圆的左右焦点分别为，，右顶点为.过点的直线与椭圆的交点为，与轴的交点为.若，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设椭圆的半焦距为， 椭圆的左右焦点分别为，，右顶点为. 设，因为，所以， 所以，则，将点代入椭圆方程得，所以， 即，则，由得， 又，所以， 化简得， 所以，解得（负根舍去）. 故选：B 方程法求椭圆的离心率 即根据a,c,b,e的关系，构造关于e的方程，解方程求解. 【变式4-1】已知椭圆C：的焦点分别为，，过的直线与C交于P，Q两点，若，，则椭圆C的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，则，， 由，可得， ，所以点为椭圆的上顶点或下顶点， 在中，由余弦定理可得， 在中，由余弦定理可得，即，. 故选：B. 【变式4-2】（2025·高二·湖北武汉·联考）已知椭圆：（）的左右焦点分别为，，点在上，点在轴上，，，则椭圆的离心率为 ． 【答案】 【解析】令椭圆：（）的半焦距为， 设，则，由点在轴上， ，得， 而，，因此， 即，解得， 在中，， 在中，由余弦定理得， 即， 整理得，而， 所以椭圆的离心率为． 题型05 求椭圆离心率的取值范围 【典例5】（2024·高二·安徽安庆·阶段练习）椭圆（a＞b＞0）上存在一点P满足，分别为椭圆的左右焦点，则椭圆的离心率的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为椭圆（a＞b＞0）上存在一点P满足，即， 所以点P落在以为直径的圆上，所以有解， 即有解，所以. 即，所以，所以， 又椭圆的离心率，所以. 故选：D 求椭圆的离心率的取值范围的策略 利用题设条件或问题中的隐含条件构建关于a,b,c,e的不等关系，进而转化为关于离心率e的不等式（组），通过解不等式（组）求出离心率e的取值范围.求解的同时要注意椭圆的离心率e 【变式5-1】（2024·高二·四川内江·阶段练习）已知点A、B为椭圆的长轴顶点，P为椭圆上一点，若直线PA，PB的斜率之积的范围为，则椭圆的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题得：，所以 故选：A． 【变式5-2】（2025·高二·江苏盐城·阶段练习）已知椭圆上有一点P，是椭圆的左、右焦点，若使得为直角三角形点P有8个，则椭圆的离心率的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图所示，当点落在上顶点时，恰好有6个直角三角形，此时，，当椭圆变扁时，椭圆越扁，离心率越大，，此时为直角三角形点P有8个， 故选：C 题型06 由椭圆的离心率求参 【典例6】（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）已知椭圆的离心率，则的值为（    ） A．12 B． C．12或 D．或 【答案】C 【分析】通过讨论和，结合离心率，即可求解. 【详解】①当时，即椭圆的焦点在轴上时， 此时，，解得，符合题意； ②当时，即椭圆的焦点在轴上时， 此时，，解得，符合题意； 综上，的值为或12. 故选：C 由椭圆的离心率求参问题求解策略 这类问题一般根据椭圆的离心率列出关于参数的方程，解之即得所求.但求解时还需注意椭圆焦点所在的位置，有时要分焦点在x轴还是y轴讨论求解. 【变式6-1】（2025·湖南湘潭·三模）已知椭圆的离心率为，则的短轴长为（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】首先判断焦点在轴上，根据离心率求出，即可得解. 【详解】依题意，，即，则的焦点在轴上， 因此，所以，故的短轴长为. 故选：B． 【变式6-2】（24-25高二下·湖北·期中）若焦点在轴上的椭圆的离心率为，则的值为（   ） A． B．9 C． D．12 【答案】B 【分析】由离心率的定义即可求解. 【详解】由题意可知：， 所以， 解得：， 故选：B 题型07 椭圆对称性的应用 【典例6】已知椭圆的方程为，其中依次将椭圆的下半部分分成10等份，若是椭圆的右焦点，则（    ） A．10 B．16 C．20 D．12 【答案】C 【分析】设椭圆的左焦点为，连接，得到，结合椭圆的定义，即可求解. 【详解】因为若是椭圆的右焦点，且，可得， 设椭圆的左焦点为，连接， 由椭圆的对称性，可得， 所以. 故选：C. 椭圆对称性的应用策略 椭圆关于x轴、y轴，原点对称.应用时，可利用对称简化问题： 求对称点坐标，将非第一象限内的点转化到第一象限来分析；处理弦中点、对称点问题时，用对称性质减少计算，结合椭圆的性质高效解题. 【变式7-1】（多选）已知直线被椭圆截得的弦长为8，则下列直线中被椭圆截得的弦长也为8的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据椭圆的对称性，结合直线之间的对称性，可得答案. 【详解】由椭圆是关于轴、轴、原点对称， 对于A，由直线与直线关于轴对称，则A正确； 对于B，直线是由直线向上平移个单位，则B错误； 对于C，由直线与直线关于轴对称，则C正确； 对于D，由直线与直线关于原点对称，则D正确. 故选 ：ACD 【变式7-2】已知椭圆的中心为原点，焦点为，，以为圆心，为半径的圆交椭圆于、两点，且，则椭圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接、，即可得到为等边三角形，从而得到点在椭圆的短轴的顶点，又，，再求出，即可得解. 【详解】连接、，根据对称性可知， 又，所以为等边三角形，即， 所以点为椭圆的短轴的顶点， 又，所以，则， 所以椭圆方程为. 故选：C 题型08 利用椭圆上点的范围求解最值问题 【典例8-1】已知曲线，圆，若A，B分别是M，N上的动点，则的最小值是（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】C 【分析】根据题意可得曲线M的方程为，设出，利用两点间距离公式并由二次函数性质可求得，进而利用点与圆的位置关系求解即可. 【详解】根据题意，曲线， 则曲线M上的点到点和距离之和为， 根据椭圆定义知曲线M的是以和为焦点的椭圆， 其中，则，所以曲线M的的方程为， 设点满足且，可得， 圆的圆心为，半径为1， 则， 又函数在单调递减，所以， 所以的最小值是. 故选：C 【典例8-2】（2025·高二·辽宁·期中）已知是椭圆上一点，，则的最小值为 . 【答案】 【解析】设, 所以, 由于，故当，取最小值， 利用椭圆上点的范围解决最值问题的策略 这类问题往往与椭圆上动点坐标有关，可以将所求最值的量用椭圆上点的坐标表示，从而建立关于椭圆上点的横坐标或纵坐标的函数，借助函数思想及点的坐标范围求得最值. 【变式8-1】设P为椭圆上任意一点，其中，为它的一个焦点，则的最大值为 ，最小值为 ． 【答案】， 【分析】代入两点间距离公式，转化为根据定义域求函数的最值. 【详解】设，， , ，函数在区间上单调递增， 当时，的最大值为，当时，的最小值是. 【变式8-2】（2025·高二·上海普陀·期中）过椭圆的中心的直线与椭圆交于两点，是椭圆的右焦点，则的面积的最大值为 ． 【答案】12 【解析】由椭圆，得，，．设点，则， 故的面积. 题型09 几何法求解椭圆的最值问题 【典例9】（24-25高二下·湖南永州·期末）已知椭圆的左、右焦点分别，，椭圆的长轴长为，短轴长为2，P为直线上的任意一点，则的最大值为 . 【答案】 【分析】先计算得出，，，再结合两角差正切公式计算应用基本不等式计算求解即可. 【详解】由题意有，，， 设直线与x轴的交点为Q， 设，有，， 可得， 当且仅当时取等号，可得的最大值为. 故答案为： 几何法求解椭圆的最值问题 若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义,则考虑利用图形性质来解决,这就是几何法.解题的关键是能够准确分析出最值问题所隐含的几何意义,并能借助相应曲线的定义及对称知识求解. 【变式9】（2025·山东日照·二模）已知与x轴相交于C，D两点，点，以AB为直径的圆与⊙O内切，则△BCD面积的最大值为 ． 【答案】8 【分析】由两圆内切可以判定得到B的轨迹方程为椭圆，根据椭圆的性质即可确定最大值. 【详解】 如图，设以为直径的圆的圆心为，， 因为两圆内切，所以， 又为的中位线，所以， 所以， 所以的轨迹为以，为焦点的椭圆， ，， 显然当为椭圆短轴顶点即时，的面积最大， 最大值为. 题型10 椭圆简单性质的实际应用 【典例10】某彗星的运行轨道是以太阳为一个焦点的椭圆，测得轨道的近日点（距离太阳最近的点）与太阳中心的距离为，远日点（距离太阳最远的点）与太阳中心的距离为，并且近日点、远日点及太阳中心在同一条直线上，则（    ） A．轨道的焦距为 B．轨道的离心率为 C．轨道的短轴长为 D．当越大时，轨道越圆 【答案】BCD 【详解】设椭圆的长轴长为，短轴长为，焦距为，根据题意得到；故， 对于A：焦距，故选项A错误； 对于B：因为离心率，故选项B正确； 对于C：短轴长，故选项C正确； 对于D：离心率， 当越大时，椭圆的离心率越小，即椭圆越圆，故D正确； 故选：BCD 解决椭圆的实际应用题的一般思路 根据题意得到几何图形，建立适当的平面直角坐标系，与椭圆知识相联系，找出题目中已知量和隐含条件的关系，求出椭圆方程. 【变式10-1】（2025·广东韶关·模拟预测）韶州大桥是一座独塔双索面钢砼混合梁斜拉桥，具有桩深，塔高、梁重、跨大的特点，它打通了曲江区、浈江区、武江区交通道路的瓶颈，成为连接曲江区与芙蓉新城的重要交通桥梁，大桥承担着实现韶关“三区融合”的重要使命，韶州大桥的桥塔外形近似椭圆，若桥塔所在平面截桥面为线段，且过椭圆的下焦点，米，桥塔最高点距桥面米，则此椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如图按椭圆对称轴所在直线建立直角坐标系， 设椭圆方程为， 令，即，解得，依题意可得， 所以，所以，所以． 故选：D． 【变式10-2】（2024·高二·福建福州·期中）“嫦娥四号”探测器实现历史上的首次月背着陆，如图是“嫦娥四号”运行轨道示意图，圆形轨道距月球表面千米，椭圆形轨道的一个焦点是月球球心，一个长轴顶点位于两轨道相切的变轨处，另一个长轴顶点距月球表面千米，则椭圆形轨道的焦距为 千米. 【答案】 【解析】设椭圆长轴长为，焦距为，月球半径为，则， 两式作差，可得，椭圆形轨道的焦距为千米. 故答案为：85. 【变式8-3】（2025·高二·湖北武汉·期末）在对表面为曲面的工件进行磨削时应当选用尺寸适当的圆形砂轮，如果砂轮半径太大，则磨削时工件与砂轮接触处附近的那部分会磨去太多．现有一工件，其截面内表面是一长轴长为4，离心率为的椭圆，在对其内表面进行抛光时，所选用砂轮的半径最大为 ． 【答案】/1.5 【解析】，，离心率，故，， 不妨设椭圆方程为：， 设圆半径为，椭圆与圆相切于左顶点或者右顶点时有最大值， 圆方程为：，联立方程：， 消去得到，， 解得. 练基础 1．椭圆25x2＋9y2＝225的长轴长、短轴长、离心率依次是(　　) A．5，3，　　　　　 B．10，6， C．5，3， D．10，6， 【答案】B 【解析】变形＋＝1，∵焦点在y轴上，∴a＝5，b＝3， ∴长轴长10，短轴长6，e＝. 2．焦点在x轴上，长、短半轴长之和为10，焦距为4，则椭圆的方程为(　　) A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 【答案】A 【解析】设椭圆方程＋＝1(a>b>0)，∴⇒，∴椭圆方程＋＝1.] 3．（24-25高二下·云南玉溪·期末）已知椭圆的离心率为，短轴长为2，则（   ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】由离心率、短轴长以及的关系式，建立方程组，可得答案. 【详解】由题可知，所以. 故选：A. 4．（24-25高二下·云南丽江·阶段练习）若椭圆的焦距为，则该椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意求出、、的值，结合椭圆离心率公式求解即可. 【详解】由题意可知，椭圆的焦点在轴上，且，则， 又因为，则，因此，该椭圆的离心率为. 故选：B. 5．（24-25高三下·云南昆明·开学考试）已知椭圆和椭圆有相同的离心率，则（   ） A． B． C．或4 D．或4 【答案】D 【分析】根据题意，求出椭圆离心率，分焦点在轴或轴上讨论列出方程，即可求解. 【详解】易知椭圆的离心率为， 对于椭圆， 当焦点在轴上时离心率为，解得； 当焦点在轴上时离心率为，解得， 所以或. 故选：D． 6．（24-25高二上·山西·阶段练习）下列四个椭圆中，形状与圆更接近的一个是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出所有选项的椭圆离心率，根据离心率越小，椭圆越接近圆，离心率越大，椭圆越扁，选出离心率最小的即可． 【详解】由椭圆的性质知，离心率越小，椭圆越接近圆，离心率越大，椭圆越扁， 四个椭圆的离心率分别为，其中离心率最小的为， 所以椭圆的形状与圆更接近. 故选：C. 7．（24-25高二上·浙江台州·期末）已知椭圆的标准方程为，下列说法正确的是（    ） A．椭圆的长轴长为2 B．椭圆的焦点坐标为 C．椭圆关于直线对称 D．当点在椭圆上时， 【答案】D 【分析】由椭圆的标准方程先确定求得，得到长轴长，焦点为即可判断A，B； 将方程中的互换，根据所得方程是否与原方程相同可判别C；根据椭圆的范围可判断D. 【详解】对于A、B，由得， ∴长轴长，焦点为.故A、B不正确； 对于C，将互换，得椭圆与原椭圆方程不相同，故椭圆不关于直线对称.故C不正确； 对于D，因为点在椭圆上，则，∴，故D正确. 故选：D 8.（多选）（2025·贵州·二模）已知椭圆：，：，则（   ） A．与的离心率相等 B．与的焦距相等 C．与的长轴长相等 D．的短轴长是的短轴长的两倍 【答案】BD 【分析】求出给定的两个椭圆的长短半轴长、半焦距及离心率，再逐项判断即可. 【详解】椭圆：的长半轴长，短半轴长，半焦距， 椭圆：的长半轴长，短半轴长，半焦距， 对于A，椭圆的离心率，椭圆的离心率，A错误； 对于B，椭圆与的焦距长都为6，相等，B正确； 对于C，椭圆与的长轴长不相等，C错误； 对于D，椭圆的短轴长是的短轴长的两倍，D正确. 故选：BD 9．(多选)（24-25高二上·山东临沂·期末）椭圆：的左、右焦点分别为，，点为上的任意一点，则（   ） A．椭圆的长轴长为3 B．椭圆的离心率为 C．的最大值为5 D．存在点，使得 【答案】BC 【分析】根据给定的椭圆方程，求出其长短半轴长、半焦距，再逐项判断得解. 【详解】椭圆：的长半轴长，短半轴长，半焦距， 对于A，椭圆的长轴长为6，A错误； 对于B，椭圆的离心率为，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，，以线段为直径的圆在椭圆内，因此不存在点，使得，D错误. 故选：BC. 10．（24-25高二上·宁夏银川·阶段练习）若椭圆：的短轴的一个端点为，则椭圆的长轴长为 【答案】 【解析】由题意知C的焦点在x轴上，椭圆C的标准方程为，且， 所以，所以C的方程为，所以其长轴长为，故A正确. 11.已知椭圆的短半轴长为1，离心率0<e≤.则长轴长的取值范围为________． 【答案】（2，4] 【解析】∵b＝1，∴c2＝a2－1，又＝＝1－≤，∴≥，∴a2≤4， 又∵a2－1>0，∴a2>1，∴1<a≤2，故长轴长2<2a≤4. 12．（2025·江西新余·二模）已知点是椭圆：上的动点，若，则的最小值为 . 【答案】/ 【分析】根据两点间的距离公式列关于的函数式，然后利用二次函数求出最值即可 【详解】由题意得，且.所以 当时，取得最小值为， 故答案为： 13．已知椭圆x2＋(m＋3)y2＝m(m＞0)的离心率e＝，求m的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标． 【解析】椭圆方程可化为＋＝1(m>0)， ∵m－＝＞0，∴m＞， 即a2＝m，b2＝.∴c＝＝. 由e＝，得＝，解得m＝1， ∴椭圆的标准方程为x2＋＝1. ∴a＝1，b＝，c＝. ∴椭圆的长轴长为2，短轴长为1， 两焦点坐标分别为F1，F2， 顶点坐标分别为A1(－1，0)，A2(1，0)，B1，B2. 14．如图，椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线交椭圆于P，Q两点，且PQ⊥PF1. (1)若|PF1|＝2＋，|PF2|＝2－，求椭圆的标准方程； (2)若|PF1|＝|PQ|，求椭圆的离心率e. 【解析】(1)由椭圆的定义，有2a＝|PF1|＋|PF2|＝(2＋)＋(2－)＝4，故a＝2. 设椭圆的半焦距为c，由已知PF1⊥PF2，因此2c＝|F1F2|＝＝＝2.即c＝，从而b＝＝1， 故所求椭圆的标准方程为＋y2＝1. (2)如图，由椭圆的定义，|PF1|＋|PF2|＝2a， |QF1|＋|QF2|＝2a， 从而由|PF1|＝|PQ|＝|PF2|＋|QF2|， 得|QF1|＝4a－2|PF1|. 又由PF1⊥PQ，|PF1|＝|PQ|， 知|QF1|＝|PF1|，因此4a－2|PF1|＝|PF1|，则|PF1|＝2(2－)a，从而|PF2|＝2a－|PF1|＝2a－2(2－)a＝2(－1)a.由PF1⊥PF2，知|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝(2c)2， 因此e＝＝ ＝ ＝＝－. 练提升 15．（24-25高二上·天津·期中），是椭圆的左、右焦点，点P在椭圆上运动，则的最大值是（   ） A．4 B．5 C．2 D．1 【答案】C 【分析】由题意表示出点的坐标，利用向量数量积的坐标表示，结合二次函数的性质，可得答案. 【详解】由椭圆，则，即，所以， 设，则，，， 由在椭圆上，则，即， 易知，所以的最大值为. 故选：C. 16．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）阿基米德在他的著作《关于圆锥体和球体》中计算了一个椭圆的面积，当我们垂直地缩小一个圆时，得到一个椭圆，椭圆的面积等于圆周率与椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．已知椭圆的面积为，两个焦点分别为，点是椭圆上的动点，点是点关于原点的对称点，若四边形的周长为12，则四边形面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆面积得出，结合四边形的周长求得，进而得出椭圆方程，得出，设，根据四边形的面积为即可求解最大面积． 【详解】由题可知，，即， 由四边形的周长为12得，，即，所以， 所以椭圆，则， 设，，则， 所以四边形的面积为， 故选：A．    17.（24-25高二下·广东广州·期中）已知直线与椭圆交于A，B两点，椭圆E右焦点为F，直线AF与E的另外一个交点为C，若，若，则E的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图，设，根据椭圆的对称性和定义可得，，在直角与中，分别利用勾股定理建立方程，解之即可求解. 【详解】设椭圆的左焦点为，连接， 设，由对称性可知， 由定义得，则， 又，，所以， 在直角中，由， 即，解得. 在直角中，，即， 把代入整理得，由解得. 故选：C 18.（多选）（24-25高二下·海南海口·阶段练习）已知椭圆的两个焦点分别为，，P是C上任意一点，则（   ） A．C的离心率为 B．的周长为12 C．的最小值为3 D．的最大值为16 【答案】BD 【分析】A：根据离心率定义计算出并判断；B：根据椭圆定义计算焦点三角形的周长并判断；C：根据的最小值为作出判断；D：根据椭圆定义结合基本不等式计算并判断. 【详解】椭圆即为， 故， 对于A，，故A错误； 对于B，的周长为，故B正确； 对于C，的最小值为，故C错误； 对于D，，当且仅当时等号成立，故D正确， 故选：BD. 19．（24-25高二下·内蒙古·期末）已知为坐标原点，椭圆的左、右焦点分别为，点在上，，且为上一个动点，则（   ） A． B．的长轴长为4 C．的最小值为 D．的最大值是 【答案】ABD 【分析】根据数量积的坐标运算求得，然后由求得判断A，将点B的坐标代入椭圆方程，结合列式求解判断B，根据焦半径的性质判断C，结合椭圆的定义利用三点共线最短求解判断D. 【详解】设，因为，所以， 因为，所以，解得，A正确． 因为点在上，所以解得则的长轴长为，B正确． 的最小值为，C错误． 因为， 当且仅当共线时等号成立，所以的最大值为，D正确． 故选：ABD 20．如图，椭圆的中心在坐标原点O，顶点分别是A1，A2，B1，B2，焦点分别为F1，F2，延长B1F2与A2B2交于P点，若∠B1PA2为钝角，则此椭圆的离心率e的取值范围为________． 【答案】　 【解析】由题意可设椭圆方程为＋＝1，A2(a，0)，B1(0，－b)，B2(0，b)，F2(c，0)，＝(－c，－b)，＝(a，－b)，＝(－c，－b)·(a，－b)＝－ac＋b2<0，又∵a2＝b2＋c2，∴－ac＋a2－c2<0， ∴e2＋e－1>0 又∵0<e<1，∴<e<1. 21.（24-25高二上·上海·期末）已知椭圆方程为，点为椭圆的右顶点，定点在轴上，点为椭圆上一动点，当取得最小值时点恰与点重合，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】设，利用两点间距离公式建立函数关系，借助二次函数探讨最小值. 【详解】椭圆方程为，则圆的右顶点 设，则，， 则， 所以，， 当恰与点重合时，取得最小值， 即要使时取最小值，则必有，所以. 22．已知椭圆C：经过点，、是椭圆C的左、右两个焦点，，P是椭圆C上的一个动点． (1)求椭圆C的标准方程； (2)若点P在第一象限，且，求点P的横坐标的取值范围． 【分析】（1）依题意得焦点坐标，再利用椭圆的定义求得，进而求得即可； （2）设，从而可求得，再把代入求解即可. 【详解】（1）由已知得，， ，，， 同理， ， ，， 椭圆的标准方程为． （2）设，且，则，，   ． 由椭圆方程可得， 整理得，所以， 即点的横坐标的取值范围是． 23．已知椭圆C：，椭圆的长轴长为6，离心率为，M为椭圆上一动点. (1)求椭圆的方程； (2)若点，，求的最小值. 【分析】（1）由已知条件列方程组解出和，得到椭圆方程. （2）设，则，由和的取值范围讨论最小值. 【详解】（1）依题意有：，解得， 所以椭圆的方程为. （2）设，有，得，， 则， 当时，，当，； 当时，，当，. 24．（24-25高二上·黑龙江绥化·期中）以椭圆的焦点为焦点，过直线上一点作椭圆，要使所作椭圆的长轴最短，点应在何处？求出坐标，并求出此时的椭圆方程． 【详解】椭圆的焦点为，，如图所示， 要求所作椭圆的长轴最短，即求的最小值， 设关于直线的对称点为，则，即共线时，取得最小值， 设，则有，解得，故， 所以，故直线的方程为，即， 联立，解得，故， 故所求椭圆的长轴， 所以，又，故， 此时椭圆的方程为， 所以的坐标为，此时椭圆的方程为． 练创新 25．（24-25高二上·广东梅州·期中）小明同学某天发现，在阳光的照射下，篮球在地面留下的影子如图所示，设过篮球的中心且与太阳平行光线垂直的平面为，地面所在平面为，篮球与地面的切点为，球心为，球心在地面的影子为点；已知太阳光线与地面的夹角为；如图，为球的一条直径，为在地面的影子，点在线段上，小明经过研究资料发现，当时，篮球的影子为一椭圆，且点为椭圆的焦点，线段为椭圆的长轴，则此时该椭圆的离心率（    ）（用表示）.    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设篮球半径为，连接，过作交于，则，于是椭圆长轴长，，由二倍角公式化简即可求解. 【详解】   设篮球半径为，显然平面平面，连接平面， 过作交于，则， 于是椭圆长轴长， 在四边形中，， 令椭圆半焦距为，而，则， 解得， 所以该椭圆的离心率为. 故选：A 26．（24-25高二下·上海·期中）已知曲线：的左、右顶点分别为A，B，设P是曲线上的任意一点， 设点C满足，且的最大值为7，则的值是 ． 【答案】7或 【分析】设，写出两点间的距离公式，分类利用配方法求最值，可得m值，结合，求得的值． 【详解】由曲线：，得，则， 设，则，得， 设，则 ， 若，则，得， 即，解得或（舍去）． 此时，则，由，得； 若，，得， 即，解得或（舍去）． 此时，则，由，得 故的值为7或． 故答案为：7或    27．（23-24高二上·江苏常州·期中）如图，人们打算对长方形地块进行开发建设，其中百米，百米，长方形各边中点分别为E，F，G，H，现计划在此地块正中间铺一块椭圆形草坪，长轴在线段上且长度为6百米，椭圆离心率为.同时计划修一条长为6百米的路（其中，分别在线段，上，路的宽度忽略不计），并在内修建花圃.    (1)求椭圆上的点到直线的最短距离； (2)求线段的中点到椭圆中心的距离的最小值. 【分析】（1）根据题意建立平面直角坐标系，求出椭圆的基本量即可得到答案； （2）将题意转化为求圆上一点到定点距离的最小值即可求解. 【详解】（1）以椭圆中心为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，    设椭圆标准方程为， 由题意得，离心率，，所以， 又因为，解得， 所以，椭圆上的点到直线的最短距离百米 （2）设线段的中点为，由知， 由圆的定义知，点在以为圆心，3为半径的圆上. 则点运动轨迹为， 所以线段的中点到椭圆中心的距离的最小值为百米 27 / 28 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$