2.1.1 第2课时 椭圆的标准方程课件-2023-2024学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

2.1.1 第2课时 新授课 椭圆的标准方程 1.根据椭圆的定义推导椭圆的标准方程. 3.会求简单的椭圆的标准方程. 新课讲授 学习目标 课堂总结 2 1.椭圆的定义： 2.椭圆的对称性： 复习回顾 定义：平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的集合(或轨迹)叫做椭圆. 椭圆是轴对称图形，直线F1F2及线段F1F2的垂直平分线都是它的对称轴； 椭圆也是中心对称图形，线段F1F2的中点是它的对称中心. F1 F2 P 新课讲授 学习目标 课堂总结 思考1：根据椭圆的定义，你能求出椭圆的方程吗？ 知识点：椭圆的标准方程 设椭圆的焦距|F1F2|=2c(c>0)，椭圆上任意一点到两个焦点F1，F2距离之和为2a(a>c). 如图，椭圆与直线F1F2相交于点A1，A2，与线段F1F2的垂直平分线相交于点B1，B2，根据椭圆的定义和椭圆的对称性，得|B2F1|+|B2F2|=2a，且|B2F1|=|B2F2|，所以|B2F1|=|B2F2|=a. 于是有 为方便起见，记|B2O|=b，则 从而b2=a2-c2. 新课讲授 学习目标 课堂总结 如图，以直线F1F2为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，则焦点F1，F2的坐标分别为(-c,0)，(c,0). 设P(x,y)是椭圆上任意一点，根据椭圆的定义可知点P满足|PF1|+|PF2|=2a. F1 F2 P x O y (x,y) 即 新课讲授 学习目标 课堂总结 两边平方、整理，得 上式两边再平方整理，得 两边同时除以 得 将b2=a2-c2代入上式,得 ① 这说明椭圆上任意一点的坐标都满足方程①. 思考：以方程①的每一组解为坐标的点是否都在椭圆上？ F1 F2 P x O y (x,y) 详细证明见教材P48小字部分. 新课讲授 学习目标 课堂总结 归纳总结 椭圆上任意一点的坐标都是方程 的解；以方程 的解为坐标的点都在椭圆上.我们将方程 叫作椭圆的标准方程，它的焦点在x轴上，两个焦点分别是F1(-c,0)，F2(c,0)，其中b2=a2-c2. F1 F2 P x O y (x,y) 新课讲授 学习目标 课堂总结 思考2： 如果焦点F1,F2在y轴上，且F1,F2的坐标分別为(0,-c), (0,c)，a,b的意义同上，那么椭圆的方程是什么？ F1 F2 P x O y 其中b2=a2-c2. 新课讲授 学习目标 课堂总结 归纳总结 椭圆标准方程 定义 图形 方程 焦点 a,b,c之间的关系 F1 F2 P x O y F1 F2 P x O y F1(-c,0),F2(c,0) F1(0,-c)，F2(0,c) a2=b2+c2 新课讲授 学习目标 课堂总结 练一练 1.椭圆 的焦点坐标为( ) A.(±5,0) B.(0，±5) C.(0，±12) D.(±12,0) C 解：椭圆的焦点在y轴上，且a2＝169，b2＝25， 所以c2＝a2－b2＝144， 所以c＝12，故焦点坐标为(0，±12). 新课讲授 学习目标 课堂总结 练一练 2.已知椭圆 (a>b>0)的右焦点为F(3,0)，点(0,-3)在椭圆上，则椭圆的方程为( ) A. B. C. D. D 解得 解：由题意得 所以椭圆方程为 新课讲授 学习目标 课堂总结 例1:已知椭圆的两个焦点坐标分别是F1(0,-2),F2(0,2),并且经过点P 求椭圆的标准方程. 解法1:由于椭圆的焦点在y轴上，所以设它的标准方程为 由椭圆的定义知 所以 又c=2，所以b2=a2-c2=10-4=6， 所以椭圆的标准方程为 新课讲授 学习目标 课堂总结 例1:已知椭圆的两个焦点坐标分别是F1(0,-2),F2(0,2),并且经过点P 求椭圆的标准方程. 解法2:由于椭圆的焦点在y轴上，所以设它的标准方程为 则a2=10. 所以椭圆的标准方程为 因为点P 在椭圆上， 又c=2，所以 解得b2=6或b2= (舍)， 新课讲授 学习目标 课堂总结 归纳总结 (1)定义法：根据椭圆定义，确定a2，b2的值，结合焦点位置写出椭圆方程