1.2.2 圆的一般方程课件-2023-2024学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

1.2.2 圆的一般方程 新授课 1.理解圆的一般方程与标准方程的联系. 2.掌握圆的一般方程及其特点. 3.能根据某些具体条件，运用待定系数法确定圆的方程. 新课讲授 学习目标 课堂总结 2 知识点1：圆的一般方程 圆的标准方程: (x-a)2+(y-b)2=r2 圆心C(a,b),半径r. 试一试：把(x-a)2+(y-b)2=r2展开，会得到怎样的式子？ 由于 a, b, r 均为常数，所以令 结论：任何一个圆方程可以写成:x2+y 2+Dx+Ey+F＝0. x2 +y 2-2ax-2by+a2+b2-r2＝0. 新课讲授 学习目标 课堂总结 思考：是不是任何一个形如 x2+y2+Dx+Ey+F＝0①的方程表示的曲线都是圆呢？ 方程①配方可得： (3)当D2+E2-4F<0时，方程①无实数解，所以不表示任何图形. (1)当D2+E2-4F >0时, ①表示以 为圆心， 以 为半径的圆; (2)当D2+E2-4F=0时，方程①只有一组解 ，表示一个点 新课讲授 学习目标 课堂总结 概念讲解 x2+y2+Dx+Ey+F＝0 (D2+E2-4F>0) 圆的一般方程: 对于二元二次方程Ax2+Cxy+By2+Dx+Ey+F＝0而言，圆的一般方程突出了二元二次方程表示圆时，其在代数结构上的典型特征： 1.x2与y2系数相同并且不等于0，即A=B≠0； 2.没有xy这样的二次项，即C=0. 具备上述两个特征是一般二元二次方程表示圆的必要条件，但不是充分条件. 新课讲授 学习目标 课堂总结 练一练 1.下列二元二次方程中，哪些表示圆？如果是圆，求出它的圆心和半径： (1)2x2+y2+2x-y＝0; (2)x2+y2+2x+4y＝0; (3)x2+2y2-y+1＝0; (4)2x2+2y2+2x-4y+1＝0; (5)x2+y2-2x+y+2＝0. (1)不是; (2)是，圆心为(-1,-2)，半径为 ; (3)不是; (4)是，圆心为 ，半径为 ; (5)不是. 新课讲授 学习目标 课堂总结 例1:求过三点A(1,3), B(4,2), C(5,-5) 的圆的方程. 解：设圆的方程是x2+y2+Dx+Ey+F＝0.① ∴所求圆的方程是x2+y2-8x+6y＝0(如图). 得 解得 ∵A,B,C三点都在圆上，把它们的坐标依次代入方程① 新课讲授 学习目标 课堂总结 归纳总结 待定系数法求圆的方程的步骤 (1)根据题意，选择标准方程或一般方程； (2)根据条件列出关于a, b, r或D, E, F的方程组； (3)解出a, b, r或D, E, F，得到标准方程或一般方程. 新课讲授 学习目标 课堂总结 练一练 2.求过三点O(0,0), M1(1,1), M2(4,2) 的圆的方程，并求这个圆的圆心坐标和半径. 解：设圆的方程是x2+y2+Dx+Ey+F＝0.① 因为O,M1,M2三点都在圆上，把它们的坐标依次代入方程① ∴所求圆的方程是x2+y2-8x+6y＝0. 得 解得 故所求圆的圆心坐标是(4,-3)，半径 新课讲授 学习目标 课堂总结 思考交流：能从代数角度说明“不共线的三点可以确定一个圆”吗？ 新课讲授 学习目标 课堂总结 例2:讨论方程λ(x2+y2)=(x-3)2+y表示的是怎样的图形. 解：将原方程整理为(λ-1)x2+(λ-1)y2+6x-9=0.① 当λ=1时，方程①是一元一次方程6x-9=0，表示与x轴垂直的直线. 当λ<0时，方程②无解，故原方程不表示任何图形； 当λ=0时，方程②只有一组解 ,故原方程表示一个点(3,0)； 当λ＞0且λ≠1时，原方程表示一个圆心在点 ，半径为 的圆. 当λ≠1时，方程①可进一步整理为 ② 新课讲授 学习目标 课堂总结 根据本节课所学，回答下列问题： 1.圆的一般方程是什么？ 2.待定系数法求圆的方程的步骤有哪些？ 新课讲授 课堂总结 学习目标 $$