1.2.1 第2课时 圆的标准方程的综合应用课件-2023-2024学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

1.2.1 第2课时 新授课 圆的标准方程的综合应用 1.会用待定系数法、几何法求圆的标准方程. 2.掌握圆x2+y2＝r2的一些简单的几何性质. 新课讲授 学习目标 课堂总结 2 知识点1：求圆的标准方程的不同方法 例1:求经过A(1,3)，B(4,2)两点，且圆心C在直线l:x+y-3=0上的圆的标准方程. 解法1:设该圆的标准方程为(x-a) 2 + (y-b) 2 = r2. 由圆经过A，B两点且圆心C在直线l上，可得方程组 ① ② ③ ①-②，得3a-b-5=0. ④ 联立③④解得 代入①，得r2=5. 故所求圆的标准方程为(x-2) 2 + (y-1) 2 =5(如图). 待定系数法 新课讲授 学习目标 课堂总结 思考1：待定系数法求圆的标准方程的要点是什么？ 根据条件设出圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2＝r2，再由题目给出的条件，列出关于a，b，r的方程组，求出a，b，r，代入标准方程即可. 归纳总结 新课讲授 学习目标 课堂总结 例1:求经过A(1,3)，B(4,2)两点，且圆心C在直线l:x+y-3=0上的圆的标准方程. 解法2:如图，连接AB，作AB的垂直平分线交AB于点D，则圆心C是线段AB的垂直平分线与直线l的交点.线段AB的垂直平分线的方程为3x-y-5=0. 故所求圆的标准方程为(x-2) 2 + (y-1) 2 =5. 联立线段AB的垂直平分线方程和直线l的方程得方程组 解得 即圆心C的坐标为(2,1). 又该圆经过点A，则r2=(1-2) 2 + (3-1) 2 =5， 几何法 新课讲授 学习目标 课堂总结 思考2：几何法求圆的标准方程的要点是什么？ 可以根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径： (1)圆心在弦的垂直平分线上； (2)过圆心的直线平分圆； (3)圆与x轴相切时，r＝|b|，圆与y轴相切时，r＝|a|. 归纳总结 新课讲授 学习目标 课堂总结 1.已知圆心为 C 的圆经过 A (1，1)，B (2，-2) 两点，且圆心 C 在直线 l：x – y + 1 = 0 上，请用两种不同的方法求此圆的标准方程. 待定系数法:设圆心C的坐标为 (a，b)，由已知得：a–b+1=0①； 又A，B是圆上两点，所以 |CA| = |CB|，根据两点间距离公式，有 综上，所求圆的标准方程为：(x+3) 2 + (y+2) 2 = 25. 由①② 得：a=-3，b=-2，所以圆心C的坐标为 (-3，-2)； 即a–3b–3= 0 ②； 圆的半径 r = |AC| = 练一练 新课讲授 学习目标 课堂总结 O x y A B D C l 由垂径定理可知，圆心 C 在线段AB垂直平分线上， 综上，所求圆的标准方程为：( x + 3 ) 2 + ( y + 2 ) 2 = 25. 几何法：如图，设线段AB的中点为D，由A(1,1)，B(2,–2)两点的坐标得： 线段AB的垂直平分线l′的方程为：x – 3y – 3 = 0， 经过A (1,1)，B (2,–2)两点，且圆心在 x – y + 1 = 0 上的圆的标准方程. 所以圆心 C 的坐标为 (-3,-2)；圆的半径 r = |AC| = 即圆心坐标是方程组 的解，解得 点 D 的坐标为 ，直线 AB 的斜率为 kAB = –3， 新课讲授 学习目标 课堂总结 问题1：对于圆x2+y2＝2，该圆上任意一点P(x,y)的x与y应满足的条件是什么？ 知识点2：圆x2+y2＝r2的简单几何性质 问题2：对于圆x2+y2＝2上的任意一点P(x,y)，关于原点的对称点(-x,-y)，关于x轴的对称点(x,-y)，关于y轴的对称点(-x,y)是否在该圆上？ 由题(-x) 2 + (-y) 2 =x2+y2＝2，所以关于原点的对称点(-x,-y)在圆上； O x y P r y＝ y＝ x＝ x＝ 同理关于x轴的对称点(x,-y)，关于y轴的对称点(-x,y)也在在该圆上. 新课讲授 学习目标 课堂总结 归纳总结 对于任何一个半径为r的圆，为了方便研究，我们可以以圆心为原点建立平面直角坐标系，再依据圆的定义得到圆的方程为x2+y2＝r2①. 由圆的方程①，可得圆的简单几何性质： (1)范围：|x|≤r，|y|≤r， (2)对称性：该圆既是关于x轴和y轴的轴对称图形，也是关于原点的中心对称图形. O x y P r y＝r y＝-r x＝-r x＝r 新课讲授 学习目标 课堂总结 2.已知点P(x，y)为圆x2+y2＝1上的动点，求x2-4y的最小值. 解：∵点P(x，y)为圆x2+y2＝1上的动点， ∴x2-4y＝1-y2-4y＝-(y+2)2+5. 由