1.2 第2课时直线的斜率与倾斜角、方向向量的关系 课件-2023-2024学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

1.2 第2课时 新授课 直线的斜率与倾斜角、方向向量的关系 1.理解直线斜率与倾斜角的关系. 2.理解直线斜率与方向向量的关系. 新课讲授 学习目标 课堂总结 2 知识点1：倾斜角、斜率的范围 问题2：如图，A(x1，y1)，B(x2，y2)是倾斜角为α的直线l上的两点，则该直线的斜率k与倾斜角有什么关系？ 问题1：直线l的斜率k和它的倾斜角α的取值范围分别是多少？ k∈(－∞,＋∞)，α∈[0,π). 而BC＝y2－y1，AC＝x2－x1， 过A作直线平行于x轴，过B作直线垂直于x轴，交于一点C，则△ABC是直角三角形，故有 即k＝tan α. α α 新课讲授 学习目标 课堂总结 如图，根据正切函数的图象变化可知， 当倾斜角为锐角时，斜率为正，斜率随着倾斜角的增大而增大； 当α= 时，直线l与x轴垂直，此时直线l的斜率不存在. 当倾斜角为钝角时，斜率为负，斜率随着倾斜角的增大而增大. 新课讲授 学习目标 课堂总结 归纳总结 1.直线的斜率k与倾斜角α 满足k＝tan α(其中 ). 2.斜率k与倾斜角α有如下关系： 当α∈ 时，斜率k≥0，且k随倾斜角α的增大而增大； 当α∈ 时，斜率k<0，且k随倾斜角α的增大而增大. 当α＝ 时，直线l与x轴垂直，此时直线l的斜率不存在. 新课讲授 学习目标 课堂总结 例1:已知直线l的倾斜角为α，斜率为k. （1）若0≤α≤ ，求斜率k的取值范围； （2）若 ≤α≤ ，求斜率k的取值范围； 解:（1）由 及正切函数的性质，可得 ∴斜率k的取值范围是 当 时， 综上，斜率k的取值范围是{k|k≤-1或k≥1}. （2）由正切函数的性质，可得当 时， 当 时，斜率k不存在. 新课讲授 学习目标 课堂总结 解:（3）由 ，可得 又0≤α<π，∴由正切函数的性质，得倾斜角α的取值范围是 例1:已知直线l的倾斜角为α，斜率为k. （3）若 ≤k≤ ，求倾斜角α的取值范围； （4）若-1≤k≤ ，求倾斜角α的取值范围. （4）由 ，可得 又0<α<π，∴由正切函数的性质，得倾斜角α的取值范围是{α|0≤α≤ 或 ≤α<π}. 新课讲授 学习目标 课堂总结 例2:已知直线l1的倾斜角α=30°，且l2⊥l1，求直线l1和l2的斜率. 解：依题意画图，由于直线山的倾斜角α=30°， 于是，直线l1的斜率k1=tan30°= ， 直线l2的斜率k2=tan120°= . 且l2⊥l1，则直线l2的倾斜角β=120°. 新课讲授 学习目标 课堂总结 思考1：什么是直线的方向向量？如何求？ 知识点2：直线斜率与方向向量的关系 直线上的向量及与之平行的非零向量称为直线的方向向量， 思考2：直线的斜率与方向向量有何关系？ 当x1＝x2时， ＝(0，y2－y1)是垂直于x轴的直线的方向向量. 则 ＝(x2－x1，y2－y1)是直线l的一个方向向量. 如果P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是直线l上两个不同的点， 新课讲授 学习目标 课堂总结 归纳总结 1.在直线l上任取两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，向量 是直线l的方向向量，它的坐标是(x2－x1，y2－y1)，直线的倾斜角α、斜率k、方向向量 之间的关系是 2.若k是直线l的斜率，则v＝(1，k)是它的一个方向向量；若直线l的一个方向向量的坐标为(x，y)，其中x≠0，则它的斜率k＝ 新课讲授 学习目标 课堂总结 例3:已知直线l的斜率为2，求它的一个方向向量的坐标. 解:设P1(x1,y1)，P2(x2,y2)(其中x1≠x2)为直线l上的两点，则直线l的一个方向向量v=(x2－x1,y2－y1)． 即y2－y1＝2(x2－x1). 所以v=(x2－x1,y2－y1)=(x2－x1)(1,2). 因此，(1,2)是直线l的一个方向向量的坐标. 由经过两点的直线斜率的计算公式，可得 新课讲授 学习目标 课堂总结 解:设直线l的倾斜角为α． 例4:根据下列条件，求直线l的倾斜角： (1)斜率为 ; (2)经过A(－2，0)，B(－5,3)两点； (3)一个方向向量为 (1)∵直线l的斜率为 ，∴tanα= 又∵0≤α<π,∴ (2)由经过两点的直线斜率的计算公式